HISTORYCZNE TŁO GEOMETRII ANALITYCZNEJ - MATEMATYKA - 2026

Do historycznych poprzedników geometrii analitycznej sięgają XVII wieku, kiedy to Pierre de Fermat, a Kartezjusz określił jego podstawową ideę. Jego wynalazek był następstwem modernizacji algebry i notacji algebraicznej François Viète.

Dziedzina ta ma swoje podstawy w starożytnej Grecji, zwłaszcza w pracach Apoloniusza i Euklidesa, którzy wywarli wielki wpływ na tę dziedzinę matematyki.

Podstawową ideą geometrii analitycznej jest to, że zależność między dwiema zmiennymi, tak że jedna jest funkcją drugiej, definiuje krzywą.

Pomysł ten po raz pierwszy rozwinął Pierre de Fermat. Dzięki tym zasadniczym ramom Izaak Newton i Gottfried Leibniz byli w stanie opracować rachunek różniczkowy.

Francuski filozof Kartezjusz również odkrył algebraiczne podejście do geometrii, najwyraźniej samodzielnie. Praca Kartezjusza na temat geometrii pojawia się w jego słynnej książce Dyskurs o metodzie.

Ta książka wskazuje, że konstrukcje geometryczne kompasu i prostych krawędzi obejmują dodawanie, odejmowanie, mnożenie i pierwiastki kwadratowe.

Geometria analityczna reprezentuje połączenie dwóch ważnych tradycji matematycznych: geometrii jako nauki o formie oraz arytmetyki i algebry, które mają do czynienia z ilością lub liczbami. Dlatego geometria analityczna jest badaniem dziedziny geometrii za pomocą układów współrzędnych.

Historia

Podstawy geometrii analitycznej

Związek między geometrią a algebrą ewoluował w całej historii matematyki, chociaż geometria osiągnęła wcześniejszy etap dojrzałości.

Na przykład grecki matematyk Euclid był w stanie uporządkować wiele wyników w swojej klasycznej książce The Elements.

Ale to starożytny grecki Apoloniusz z Perge przewidział rozwój geometrii analitycznej w swojej książce Conics. Zdefiniował stożek jako przecięcie stożka i płaszczyzny.

Korzystając z wyników Euclid dotyczących podobnych trójkątów i siecznych okręgów, odkrył zależność określoną przez odległości od dowolnego punktu „P” stożka do dwóch prostopadłych linii, wielkiej osi stożka i stycznej w punkcie końcowym osi. Apoloniusz wykorzystał tę zależność, aby wydedukować podstawowe właściwości stożków.

Późniejszy rozwój układów współrzędnych w matematyce nastąpił dopiero po dojrzewaniu algebry dzięki matematom islamskim i indyjskim.

Aż do renesansu geometria była używana do uzasadniania rozwiązań problemów algebraicznych, ale niewiele było rzeczy, które algebra mogłaby wnieść do geometrii.

Sytuacja ta uległaby zmianie wraz z przyjęciem wygodnej notacji dla relacji algebraicznych i rozwinięciem koncepcji funkcji matematycznej, co było teraz możliwe.

Wiek XVI

Pod koniec XVI wieku francuski matematyk François Viète wprowadził pierwszą systematyczną notację algebraiczną, używając liter do oznaczania wielkości liczbowych, zarówno znanych, jak i nieznanych.

Opracował również potężne ogólne metody obliczania wyrażeń algebraicznych i rozwiązywania równań algebraicznych.

Dzięki temu matematycy nie byli całkowicie uzależnieni od figur geometrycznych i intuicji geometrycznej do rozwiązywania problemów.

Nawet niektórzy matematycy zaczęli odchodzić od standardowego myślenia geometrycznego, zgodnie z którym zmienne liniowe długości i kwadratów odpowiadają polom, a zmienne sześcienne - objętości.

Pierwszymi, którzy podjęli ten krok, byli filozof i matematyk René Descartes oraz prawnik i matematyk Pierre de Fermat.

Podstawy geometrii analitycznej

Kartezjusz i Fermat niezależnie założyli geometrię analityczną w latach trzydziestych XVII wieku, przyjmując algebrę Viète'a do badania miejsca.

Ci matematycy zdali sobie sprawę, że algebra jest potężnym narzędziem w geometrii i wynaleźli to, co dziś jest znane jako geometria analityczna.

Jednym z przełomów, których dokonali, było przewyższenie Viète poprzez użycie liter do reprezentowania odległości, które są zmienne, a nie stałe.

Kartezjusz użył równań do badania geometrycznie zdefiniowanych krzywych i podkreślił potrzebę rozważenia ogólnych krzywych algebraiczno-graficznych równań wielomianowych w stopniach „x” i „y”.

Ze swojej strony Fermat podkreślił, że każda zależność między współrzędnymi „x” i „y” określa krzywą.

Korzystając z tych pomysłów, zrestrukturyzował wypowiedzi Apoloniusza na warunkach algebraicznych i przywrócił część utraconej pracy.

Fermat wskazał, że każde równanie kwadratowe w „x” i „y” można umieścić w standardowej postaci jednego z przekrojów stożkowych. Mimo to Fermat nigdy nie opublikował swojej pracy na ten temat.

Dzięki swoim postępom, to, co Archimedes mógł rozwiązać tylko z wielkim trudem, aw pojedynczych przypadkach, Fermat i Kartezjusz mogli rozwiązać szybko i dla dużej liczby krzywych (obecnie znanych jako krzywe algebraiczne).

Ale jego idee zyskały powszechną akceptację dopiero dzięki wysiłkom innych matematyków w drugiej połowie XVII wieku.

Matematycy Frans van Schooten, Florimond de Beaune i Johan de Witt pomogli rozszerzyć pracę Decartesa i dodali ważne dodatkowe materiały.

Wpływ

W Anglii John Wallis spopularyzował geometrię analityczną. Użył równań do zdefiniowania stożków i wyprowadzenia ich właściwości. Chociaż swobodnie używał ujemnych współrzędnych, to Izaak Newton użył dwóch ukośnych osi, aby podzielić płaszczyznę na cztery ćwiartki.

Newton i Niemiec Gottfried Leibniz zrewolucjonizowali matematykę pod koniec XVII wieku, niezależnie demonstrując siłę rachunku różniczkowego.

Newton zademonstrował znaczenie metod analitycznych w geometrii i ich rolę w rachunku różniczkowym, gdy stwierdził, że każdy sześcian (lub dowolna krzywa algebraiczna trzeciego stopnia) ma trzy lub cztery standardowe równania dla odpowiednich osi współrzędnych. Z pomocą samego Newtona udowodnił to w 1717 szkocki matematyk John Stirling.

Geometria analityczna trzech i więcej wymiarów

Chociaż zarówno Kartezjusz, jak i Fermat zasugerowali użycie trzech współrzędnych do badania krzywych i powierzchni w przestrzeni, trójwymiarowa geometria analityczna rozwijała się powoli aż do 1730 roku.

Matematycy Euler, Hermann i Clairaut stworzyli ogólne równania dla cylindrów, stożków i powierzchni obrotu.

Na przykład Euler użył równań do translacji w przestrzeni, aby przekształcić ogólną powierzchnię kwadratową tak, aby jej główne osie pokrywały się z osiami współrzędnych.

Euler, Joseph-Louis Lagrange i Gaspard Monge uniezależnili geometrię analityczną od geometrii syntetycznej (nieanalitycznej).

Bibliografia

1. Rozwój geometrii analitycznej (2001). Odzyskany z encyclopedia.com
2. Historia geometrii analitycznej (2015). Odzyskany z maa.org
3. Analiza (matematyka). Odzyskany z britannica.com
4. Geometria analityczna. Odzyskany z britannica.com
5. Kartezjusz i narodziny geometrii analitycznej. Odzyskany z sciencedirect.com