ŁUK (GEOMETRIA): MIARA, RODZAJE ŁUKÓW, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

W geometrii łuk to dowolna zakrzywiona linia łącząca dwa punkty. Linia zakrzywiona, w przeciwieństwie do prostej, to taka, której kierunek jest inny w każdym punkcie. Przeciwieństwem łuku jest odcinek, ponieważ jest to prosta sekcja łącząca dwa punkty.

Łuk najczęściej używany w geometrii to łuk obwodu. Inne powszechnie stosowane łuki to łuk paraboliczny, eliptyczny i łańcuchowy. Forma łukowa jest również często wykorzystywana w architekturze jako element dekoracyjny i element konstrukcyjny. Tak jest w przypadku nadproży drzwi i okien, a także mostów i akweduktów.

Rysunek 1. Tęcza to zakrzywiona linia łącząca dwa punkty na horyzoncie. Źródło: Pixabay

Łuk i jego miara

Miarą łuku jest jego długość, która zależy od rodzaju krzywej łączącej dwa punkty i ich położenia.

Długość łuku kołowego jest jedną z najłatwiejszych do obliczenia, ponieważ znana jest długość całego łuku lub obwód obwodu.

Obwód koła jest dwa razy równy pi razy jego promień: p = 2 π R. Wiedząc to, jeśli chcemy obliczyć długość s łuku kołowego kąta α (mierzonego w radianach) i promienia R, stosuje się proporcję:

(s / p) = (α / 2 π)

Następnie, usuwając s z poprzedniego wyrażenia i podstawiając obwód p dla jego wyrażenia w funkcji promienia R, otrzymujemy:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Oznacza to, że miara łuku kołowego jest iloczynem jego kątowego otwarcia razy promienia łuku kołowego.

W przypadku łuku w ogóle problem jest bardziej skomplikowany, do tego stopnia, że ​​wielcy myśliciele starożytności twierdzili, że było to niemożliwe.

Dopiero pojawienie się rachunku różniczkowego i całkowego w 1665 r. Przyniosło zadowalające rozwiązanie problemu pomiaru dowolnego łuku.

Przed wynalezieniem rachunku różniczkowego rozwiązania można było znaleźć tylko za pomocą wielokątnych linii lub łuków obwodu, które przybliżały prawdziwy łuk, ale rozwiązania te nie były dokładne.

Rodzaje łuków

Z punktu widzenia geometrii łuki są klasyfikowane według zakrzywionej linii łączącej dwa punkty na płaszczyźnie. Istnieją inne klasyfikacje w zależności od jego zastosowania i formy architektonicznej.

Łuk kołowy

Gdy linia łącząca dwa punkty na płaszczyźnie jest kawałkiem obwodu o pewnym promieniu, mamy łuk kołowy. Rysunek 2 przedstawia łuk kołowy c o promieniu R łączący punkty A i B.

Rysunek 2. Okrągły łuk o promieniu R, który łączy punkty A i B. Opracował Ricardo Pérez.

Łuk paraboliczny

Parabola to ścieżka, którą podąża obiekt, który został ukośnie wyrzucony w powietrze. Kiedy krzywa łącząca dwa punkty jest parabolą, mamy łuk paraboliczny, taki jak na rysunku 3.

Rysunek 3. Paraboliczny łuk łączący punkty A i B. Opracował Ricardo Pérez.

To jest kształt strumienia wody wychodzącego z węża skierowanego do góry. W źródłach wody można zaobserwować łuk paraboliczny.

Rysunek 4. Łuk paraboliczny utworzony przez wodę z fontanny w Dreźnie. Źródło: Pixabay.

Łuk łańcuchowy

Łuk trakcyjny to kolejny naturalny łuk. Sieć trakcyjna to krzywa, która tworzy się naturalnie, gdy łańcuch lub lina zwisa luźno w dwóch oddzielnych punktach.

Rycina 5. Łuk sieciowy i porównanie z łukiem parabolicznym. Przygotowane przez Ricardo Péreza.

Łańcuch jest podobny do paraboli, ale nie jest dokładnie taki sam, jak pokazano na ryc.4.

Odwrócony łuk trakcyjny jest stosowany w architekturze jako element konstrukcyjny o wysokiej wytrzymałości na ściskanie. W rzeczywistości można wykazać, że jest to najsilniejszy rodzaj łuku spośród wszystkich możliwych kształtów.

Aby zbudować solidny łuk nośny, wystarczy skopiować kształt wiszącej liny lub łańcucha, a następnie skopiowany kształt jest odwracany, aby odtworzyć go na nadprożu drzwi lub okna.

Łuk eliptyczny

Łuk jest eliptyczny, jeśli krzywa łącząca dwa punkty jest fragmentem elipsy. Elipsa jest zdefiniowana jako zbiór punktów, których odległość od dwóch danych punktów zawsze sumuje się do stałej ilości.

Elipsa jest krzywą występującą w naturze: jest to krzywa trajektorii planet wokół Słońca, jak zademonstrował Johannes Kepler w 1609 roku.

W praktyce elipsę można narysować, przypinając do ziemi dwie rozpórki lub dwie szpilki w kawałku papieru i przywiązując do nich sznurek. Lina jest następnie napinana markerem lub ołówkiem i rysowana jest krzywa. Fragment elipsy to eliptyczny łuk. Poniższa animacja ilustruje sposób rysowania elipsy:

Rysunek 5. Rysowanie elipsy za pomocą naprężonej liny. Źródło: Wikimedia Commons

Rysunek 6 przedstawia eliptyczny łuk łączący punkty G i H.

Rysunek 6. Łuk eliptyczny łączący dwa punkty. Przygotowane przez Ricardo Péreza.

Przykłady łuków

Poniższe przykłady dotyczą sposobu obliczania obwodu niektórych określonych łuków.

Przykład 1

Rysunek 7 przedstawia okno zakończone ciętym łukiem kołowym. Wymiary pokazane na rysunku podano w stopach. Znajdź długość łuku.

Rysunek 7. Obliczenie długości łuku kołowego okna. (Własne adnotacje - obraz okna na Pixabay)

Aby uzyskać środek i promień łuku kołowego nadproża okna, na obrazie wykonujemy następujące konstrukcje:

- Segment KL jest rysowany, a jego dwusieczna jest rysowana.

-Następnie znajduje się najwyższy punkt nadproża, który nazywamy M. Następnie rozważany jest odcinek KM i śledzony jest jego pośrednik.

Punkt przecięcia dwóch dwusiecznych to punkt N i jest to również środek łuku kołowego.

-Teraz musimy zmierzyć długość odcinka NM, który pokrywa się z promieniem R łuku kołowego: R = 2,8 stopy.

-Aby poznać długość łuku oprócz promienia, konieczna jest znajomość kąta, który tworzy łuk. Które można określić dwoma metodami, albo mierzy się za pomocą kątomierza, albo alternatywnie oblicza się za pomocą trygonometrii.

W przedstawionym przypadku kąt utworzony przez łuk wynosi 91,13 °, który należy przeliczyć na radiany:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radiana

Na koniec obliczamy długość s łuku za pomocą wzoru s = α R.

s = 1,59 * 2,8 stopy = 4,45 stopy

Przykład 2

Znajdź długość łuku eliptycznego pokazanego na rysunku 8, znając półoś większą oś r i półoś małą s elipsy.

Rysunek 8. Łuk eliptyczny pomiędzy GH. Przygotowane przez Ricardo Péreza.

Znalezienie długości elipsy było od dawna jednym z najtrudniejszych problemów matematycznych. Możesz otrzymać rozwiązania wyrażone przez całki eliptyczne, ale aby mieć wartość liczbową, musisz rozszerzyć te całki w szeregach potęgowych. Dokładny wynik wymagałby nieskończonych terminów tych serii.

Na szczęście hinduski geniusz matematyczny Ramanujan, który żył w latach 1887-1920, znalazł wzór, który bardzo precyzyjnie przybliża obwód elipsy:

Obwód elipsy o r = 3 cm i s = 2,24 cm wynosi 16,55 cm. Jednak pokazany łuk eliptyczny ma połowę tej wartości:

Długość łuku eliptycznego GH = 8,28 cm.

Bibliografia

1. Clemens S. 2008. Geometria i trygonometria. Edukacja Pearson.
2. García F. Procedury numeryczne w Javie. Długość elipsy. Odzyskany z: sc.ehu.es
3. Dynamiczna geometria. Łuki. Odzyskany z geometriadinamica.es
4. Piziadas. Wokół nas elipsy i parabole. Odzyskany z: piziadas.com
5. Wikipedia. Łuk (geometria). Odzyskany z: es.wikipedia.com