DWUMIAN SPRZĘŻONY: JAK GO ROZWIĄZAĆ, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Sprzężoną dwumianowy innego dwumianowy jest jeden, w którym są zróżnicowane tylko znakiem operacji. Dwumian, jak sama nazwa wskazuje, jest strukturą algebraiczną składającą się z dwóch wyrazów.

Niektóre przykłady dwumianów to: (a + b), (3m - n) i (5x - y). A ich odpowiednie sprzężone dwumiany to: (a - b), (-3m - n) i (5x + y). Jak widać od razu, różnica tkwi w znaku.

Rysunek 1. Dwumian i jego koniugat dwumianowy. Mają te same terminy, ale różnią się znakiem. Źródło: F. Zapata.

Dwumian pomnożony przez jego koniugat daje niezwykły produkt, który jest szeroko stosowany w algebrze i nauce. Wynikiem mnożenia jest odjęcie kwadratów składników pierwotnego dwumianu.

Na przykład (x - y) jest dwumianem, a jego koniugatem jest (x + y). Zatem iloczyn dwóch dwumianów jest różnicą kwadratów wyrażeń:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Jak rozwiązać dwumian sprzężony?

Podana reguła sprzężonych dwumianów jest następująca:

Jako przykład zastosowania zaczniemy od zademonstrowania poprzedniego wyniku, który można wykonać za pomocą własności rozdzielczej iloczynu w odniesieniu do sumy algebraicznej.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

Powyższe mnożenie zostało uzyskane, wykonując następujące kroki:

- Pierwszy wyraz pierwszego dwumianu jest mnożony przez pierwszy wyraz drugiego

- Potem pierwszy z pierwszego, drugi z drugiego

- Następnie drugi z pierwszego do pierwszego z drugiego

- Wreszcie drugi z pierwszego przez drugi z drugiego.

Teraz dokonajmy małej zmiany, używając właściwości przemiennej: yx = xy. To wygląda tak:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Ponieważ istnieją dwa równe terminy, ale o przeciwnym znaku (podświetlone kolorem i podkreślone), są one anulowane i jest to uproszczone:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Na koniec przyjmuje się, że pomnożenie liczby przez siebie jest równoznaczne z podniesieniem jej do kwadratu, tak że xx = x ^2, a także yy = y ² .

W ten sposób pokazano to, co wskazano w poprzednim rozdziale, że iloczynem sumy i jej różnicy jest różnica kwadratów:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Rysunek 2. Suma pomnożona przez jej różnicę to różnica kwadratów. Źródło: F. Zapata.

Przykłady

- Sprzężone dwumiany różnych wyrażeń

Przykład 1

Znajdź koniugat (y ² - 3y).

Odpowiedź : (y ² + 3y)

Przykład 2

Uzyskaj produkt (y ² - 3y) i jego koniugat.

Odpowiedź: (Y ² - 3y) (Y ² + 3y) = (R ² ) ² - (3y) ² = Y ⁴ - 3 ² r ² = Y ⁴ - 9y ²

Przykład 3

Opracuj produkt (1 + 2a). (2a -1).

Odpowiedź: poprzednie wyrażenie jest równoważne (2a + 1). (2a -1), to znaczy odpowiada iloczynowi dwumianu i jego koniugatu.

Wiadomo, że iloczyn dwumianu przez jego sprzężony dwumian jest równy różnicy kwadratów wyrażeń dwumianu:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Przykład 4

Zapisz iloczyn (x + y + z) (x - y - z) jako różnicę kwadratów.

Odpowiedź: możemy przyswoić powyższe trójomiany do sprzężonej postaci dwumianowej, ostrożnie używając nawiasów kwadratowych i nawiasów kwadratowych:

(x + y + z) (x - y - z) =

W ten sposób można zastosować różnicę kwadratów:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Przykład 5

Wyraź iloczyn (m ² - m -1). (M ² + m -1) jako różnicę kwadratów.

Odpowiedź : poprzednie wyrażenie jest iloczynem dwóch trójmianów. Najpierw należy go przepisać jako iloczyn dwóch sprzężonych dwumianów:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ^{2 -} 1 + m) =.

Stosujemy fakt, że iloczynem dwumianu przez jego koniugat jest kwadratowa różnica jego terminów, jak zostało wyjaśnione:

. = (m ² -1) ² - m ²

Ćwiczenia

Jak zwykle zaczynasz od najprostszych ćwiczeń, a następnie zwiększasz poziom ich złożoności.

- Ćwiczenie 1

Napisz (9 - do ² ) jako produkt.

Rozwiązanie

Najpierw przepisujemy wyrażenie jako różnicę kwadratów, aby zastosować to, co zostało wcześniej wyjaśnione. A zatem:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

Następnie bierzemy pod uwagę, co jest równoważne zapisaniu tej różnicy kwadratów jako iloczynu, zgodnie z żądaniem w oświadczeniu:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3 -a)

- Ćwiczenie 2

Czynnik 16x ² - 9 lat ⁴ .

Rozwiązanie

Faktoring wyrażenie oznacza zapisanie go jako produktu. W takim przypadku konieczne jest wcześniejsze przepisanie wyrażenia, aby uzyskać różnicę kwadratów.

Nie jest to trudne, ponieważ patrząc uważnie, wszystkie czynniki są idealnymi kwadratami. Na przykład 16 to kwadrat 4, 9 to kwadrat 3, a ⁴ to kwadrat y ^2, a x ² to kwadrat x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² R ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (R ² ) ²

Następnie zastosujemy to, co już wiemy wcześniej: że różnica kwadratów jest iloczynem sprzężonych dwumianów:

(4x) ² - (3 i ² ) ² = (4x - 3 i ² ). (4x + 3 i ² )

- Ćwiczenie 3

Napisz (a - b) jako iloczyn dwumianów

Rozwiązanie

Powyższą różnicę należy zapisać jako różnice kwadratów

(√a) ² - (√b) ²

Następnie stosuje się, że różnica kwadratów jest iloczynem sprzężonych dwumianów

(√a - √b) (√a + √b)

- Ćwiczenie 4

Jednym z zastosowań dwumianu sprzężonego jest racjonalizacja wyrażeń algebraicznych. Procedura ta polega na wyeliminowaniu pierwiastków mianownika wyrażenia ułamkowego, co w wielu przypadkach ułatwia operacje. Wymagane jest użycie dwumianu koniugatu w celu zracjonalizowania następującego wyrażenia:

√ (2-x) /

Rozwiązanie

Pierwszą rzeczą jest zidentyfikowanie sprzężonego dwumianu mianownika:

Teraz mnożymy licznik i mianownik oryginalnego wyrażenia przez dwumian sprzężony:

√ (2-x) / {.}

W mianowniku poprzedniego wyrażenia rozpoznajemy iloczyn różnicy przez sumę, o której już wiemy, że odpowiada różnicy kwadratów dwumianów:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Uproszczenie mianownika to:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Teraz mamy do czynienia z licznikiem, dla którego zastosujemy właściwość dystrybucyjną iloczynu względem sumy:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

W poprzednim wyrażeniu rozpoznajemy iloczyn dwumianu (2-x) po jego koniugacie, który jest znaczącym iloczynem równym różnicy kwadratów. W ten sposób ostatecznie uzyskuje się zracjonalizowane i uproszczone wyrażenie:

/ (1 - x)

- Ćwiczenie 5

Opracuj następujący produkt, korzystając z właściwości dwumianu koniugatu:

.

Rozwiązanie

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x). A ^(6y) - 9a ^(2x). A ^(-6y) = .a ^(2x)

Uważny czytelnik zauważy wspólny czynnik, który został wyróżniony kolorem.

Bibliografia

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Od redakcji Cultural Venezolana SA
2. González J. Sprzężone ćwiczenia dwumianowe. Odzyskany z: academia.edu.
3. Nauczyciel matematyki Alex. Niezwykłe produkty. Odzyskany z youtube.com.
4. Math2me. Sprzężone dwumiany / godne uwagi produkty. Odzyskany z youtube.com.
5. Sprzężone produkty dwumianowe. Odzyskany z: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Sprzężone dwumiany. Odzyskany z: youtube.com.