Istnieje kilka sposobów znajdowania boków i kątów trójkąta . Zależą one od typu trójkąta, z którym pracujesz.

Przy tej okazji pokażemy, jak obliczyć boki i kąty trójkąta prostokątnego, zakładając, że znane są pewne dane trójkąta.

Elementy, które zostaną użyte to:

- Twierdzenie Pitagorasa

Biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny z odnogami „a”, „b” i przeciwprostokątną „c”, jest prawdą, że „c² = a² + b²”.

- Obszar trójkąta

Wzór na obliczenie pola dowolnego trójkąta to A = (b × h) / 2, gdzie „b” to długość podstawy, a „h” to długość wysokości.

- Kąty trójkąta

Suma trzech wewnętrznych kątów trójkąta wynosi 180º.

- Funkcje trygonometryczne:

Rozważmy trójkąt prostokątny. Następnie funkcje trygonometryczne sinus, cosinus i tangens kąta beta (β) są zdefiniowane w następujący sposób:

sin (β) = CO / Hip, cos (β) = CA / Hip and tan (β) = CO / CA.

Jak znaleźć boki i kąty trójkąta prostokątnego?

Biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny ABC, mogą wystąpić następujące sytuacje:

1- Dwie nogi są znane

Jeśli noga „a” ma 3 cm, a noga „b” 4 cm, to do obliczenia wartości „c” stosuje się twierdzenie Pitagorasa. Podstawiając wartości „a” i „b” otrzymujemy, że c² = 25 cm², co oznacza, że ​​c = 5 cm.

Teraz, jeśli kąt β jest przeciwny do ramienia „b”, to sin (β) = 4/5. Stosując odwrotną funkcję sinusoidalną, w tej ostatniej równości otrzymujemy β = 53,13º. Znane są już dwa wewnętrzne kąty trójkąta.

Niech θ będzie nadal poznanym kątem, a następnie 90º + 53,13º + θ = 180º, z którego otrzymamy θ = 36,87º.

W tym przypadku nie jest konieczne, aby znane boki były dwiema nogami, ważne jest, aby znać wartość dowolnych dwóch boków.

2- Noga jest znana i obszar

Niech a = 3 cm będzie znaną odnogą, a A = 9 cm² polem trójkąta.

W trójkącie prostokątnym jedną nogę można uznać za podstawę, a drugą za wysokość (ponieważ są prostopadłe).

Załóżmy, że „a” jest podstawą, a zatem 9 = (3 × h) / 2, z którego otrzymujemy, że druga noga ma 6 cm. Aby obliczyć przeciwprostokątną, postępuj jak w poprzednim przypadku i otrzymujemy, że c = √45 cm.

Teraz, jeśli kąt β jest przeciwny do nogi „a”, to sin (β) = 3 / √45. Rozwiązując β otrzymujemy, że jego wartość wynosi 26,57º. Pozostaje tylko poznać wartość trzeciego kąta θ.

Przyjmuje się, że 90º + 26,57º + θ = 180º, z czego wynika, że ​​θ = 63,43º.

3- Kąt i noga są znane

Niech β = 45 ° będzie znanym kątem i niech znana noga = 3 cm, gdzie noga „a” jest przeciwna do kąta β. Korzystając ze wzoru na styczną, otrzymujemy, że tg (45º) = 3 / CA, z czego wynika, że ​​CA = 3 cm.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy, że c² = 18 cm², czyli c = 3√2 cm.

Wiadomo, że kąt wynosi 90º, a β 45º, stąd wyciąga się wniosek, że trzeci kąt wynosi 45º.