ŚRODEK CIĘŻKOŚCI: WŁAŚCIWOŚCI, OBLICZENIA, PRZYKŁADY - FIZYCZNY - 2026

Środek ciężkości korpusu mierzalnego wielkości jest punkt, w którym jego masa jest uważany być stosowane. Dlatego jest to jedna z głównych koncepcji statyki.

Pierwsze podejście w zagadnieniach fizyki elementarnej polega na założeniu, że jakikolwiek obiekt zachowuje się jak masa punktowa, to znaczy nie ma wymiarów i cała masa jest skupiona w jednym punkcie. Dotyczy to pudełka, samochodu, planety lub cząstki subatomowej. Ten model jest znany jako model cząstek.

Rysunek 1. W skoku wzwyż zawodnikowi udaje się tak, że jego środek ciężkości znajduje się poza ciałem. Źródło: Pixabay

Jest to oczywiście przybliżenie, które sprawdza się bardzo dobrze w wielu zastosowaniach. Nie jest łatwym zadaniem rozważenie indywidualnego zachowania tysięcy i milionów cząstek, które może zawierać każdy obiekt.

Jednak aby uzyskać wyniki bliższe rzeczywistości, należy wziąć pod uwagę rzeczywiste wymiary rzeczy. Ponieważ przeważnie przebywamy w pobliżu Ziemi, zawsze obecna siła działająca na każde ciało jest właśnie jego ciężarem.

Rozważania dotyczące znalezienia środka ciężkości

Jeśli należy wziąć pod uwagę wielkość ciała, gdzie konkretnie należy zastosować wagę? Kiedy masz dowolnie ukształtowany ciągły obiekt, jego waga jest siłą rozłożoną na każdą z jego cząstek składowych.

Niech te cząstki będą m ₁ , m ₂ , m ₃ … Każda z nich doświadcza odpowiedniej siły grawitacji m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g…, wszystkie są równoległe. Dzieje się tak, ponieważ pole grawitacyjne Ziemi w zdecydowanej większości przypadków jest uważane za stałe, ponieważ obiekty są małe w porównaniu z rozmiarami planety i znajdują się blisko jej powierzchni.

Rysunek 2. Ciężar obiektu jest masą rozłożoną. Źródło: wykonane samodzielnie.

Z sumy wektorów tych sił wynika ciężar ciała, przyłożony do punktu zwanego środkiem ciężkości, oznaczonego na rysunku jako CG, który następnie pokrywa się ze środkiem masy. Środek masy z kolei jest punktem, w którym całą masę można uznać za skoncentrowaną.

Otrzymana waga ma wielkość Mg, gdzie M jest całkowitą masą obiektu i oczywiście jest skierowana pionowo w kierunku środka Ziemi. Notacja sumująca jest przydatna do wyrażenia całkowitej masy ciała:

Środek ciężkości nie zawsze pokrywa się z punktem materialnym. Na przykład CG pierścienia znajduje się w jego geometrycznym środku, gdzie nie ma samej masy. Mimo to, jeśli chcesz przeanalizować siły działające na obręcz, musisz przyłożyć ciężar do tego precyzyjnego punktu.

W przypadkach, w których obiekt ma dowolny kształt, jeśli jest jednorodny, jego środek masy można nadal obliczyć, znajdując środek ciężkości lub środek ciężkości figury.

Jak obliczany jest środek ciężkości?

W zasadzie, jeśli środek ciężkości (CG) i środek masy (cm) pokrywają się, ponieważ pole grawitacyjne jest jednorodne, wówczas można obliczyć cm i przyłożyć na nie ciężar.

Rozważmy dwa przypadki: pierwszy to taki, w którym rozkład masy jest dyskretny; to znaczy, każda masa składająca się na system może zostać policzona i przypisana do liczby i, tak jak zostało to zrobione w poprzednim przykładzie.

Współrzędne środka masy dla dyskretnego rozkładu masy są następujące:

Oczywiście suma wszystkich mas równa się całkowitej masie układu M, jak wskazano powyżej.

Te trzy równania są zredukowane do postaci zwartej, biorąc pod uwagę wektor r _cm lub wektor położenia środka masy:

A w przypadku ciągłego rozkładu masy, gdzie cząstki mają różną wielkość i nie można ich rozróżnić, aby je policzyć, sumę zastępuje się całką utworzoną z objętości zajmowanej przez przedmiotowy obiekt:

Gdzie r jest wektorem położenia różniczkowej masy dm, a definicja gęstości masy została wykorzystana do wyrażenia różnicy mas dm zawartej w różnicy objętości dV:

Nieruchomości

Oto kilka ważnych uwag dotyczących środka masy:

- Chociaż do ustalenia położenia wymagany jest układ odniesienia, środek ciężkości nie zależy od wyboru dokonanego przez układ, ponieważ jest on właściwością obiektu.

- Gdy obiekt ma oś lub płaszczyznę symetrii, środek masy znajduje się na tej osi lub płaszczyźnie. Skorzystanie z tej okoliczności oszczędza czas obliczeń.

- Wszystkie siły zewnętrzne działające na obiekt można przyłożyć do środka masy. Śledzenie ruchu w tym punkcie daje przegląd ruchu obiektu i ułatwia badanie jego zachowania.

-Znajdowanie środka ciężkości ciała w równowadze statycznej

Załóżmy, że chcesz, aby ciało z poprzedniej figury znajdowało się w równowadze statycznej, to znaczy nie przesuwa się ani nie obraca się wokół dowolnej osi obrotu, która może być O.

Rysunek 3. Schemat do obliczenia momentu obrotowego ciężarka względem punktu O.

-Resolved przykład

Cienki pręt z jednolitego materiału ma 6 m długości i waży 30 N. Na lewym końcu zawieszono obciążnik 50 N, a na prawym końcu obciążnik 20 N. Znajdź: a) wielkość siły skierowanej do góry niezbędną do utrzymania równowagi pręta, b) środek ciężkości zespołu.

Rozwiązanie

Wykres siły przedstawiono na poniższym rysunku. Ciężar pręta jest przykładany do środka ciężkości, który pokrywa się z jego geometrycznym środkiem. Jedynym branym pod uwagę wymiarem sztabki jest jego długość, ponieważ w oświadczeniu jest napisane, że jest cienki.

Rysunek 4. Schemat sił na pręt.

Aby układ pręt + ciężarki pozostał w równowadze postępowej, suma sił musi wynosić zero. Siły są pionowe, jeśli weźmiemy pod uwagę znak + i dół ze znakiem - to:

F - 50 - 20 - 30 N = 0

F = 100 N.

Siła ta gwarantuje równowagę translacyjną. Biorąc momenty skręcające wszystkich sił w odniesieniu do osi przechodzącej przez skrajną lewą stronę układu i stosując definicję:

t = rx F

Momenty wszystkich tych sił wokół wybranego punktu są prostopadłe do płaszczyzny pręta:

A zatem:

Środek ciężkości zestawu sztangi + ciężarki znajduje się 2,10 m od lewego końca sztangi.

Różnica od środka masy

Jak zaznaczono, środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy, o ile pole grawitacyjne Ziemi jest stałe dla wszystkich punktów rozpatrywanego obiektu. Pole grawitacyjne Ziemi to nic innego jak dobrze znana i znajoma wartość g = 9,8 m / s ² skierowana pionowo w dół.

Chociaż wartość g zmienia się w zależności od szerokości i wysokości, zwykle nie ma to wpływu na obiekty, które są omawiane przez większość czasu. Byłoby zupełnie inaczej, gdyby wziąć pod uwagę duże ciało w pobliżu Ziemi, na przykład asteroidę znajdującą się bardzo blisko planety.

Asteroida ma swój własny środek masy, ale jej środek ciężkości nie musiałby się już z nim pokrywać, ponieważ g prawdopodobnie podlegałby znacznym zmianom wielkości, biorąc pod uwagę rozmiar asteroidy i że masy każdej cząstki mogą nie być równoległe.

Inną zasadniczą różnicą jest to, że środek ciężkości znajduje się niezależnie od tego, czy na obiekt działa siła zwana ciężarem. Jest to nieodłączna właściwość obiektu, która ujawnia nam, jak rozkłada się jego masa w stosunku do jego geometrii.

Środek masy istnieje niezależnie od tego, czy jest obciążony, czy nie. Znajduje się w tej samej pozycji, nawet jeśli obiekt przenosi się na inną planetę, na której pole grawitacyjne jest inne.

Z drugiej strony środek ciężkości jest wyraźnie powiązany z zastosowaniem ciężaru, jak widzieliśmy w poprzednich akapitach.

Przykłady środka ciężkości

Środek ciężkości nieregularnych przedmiotów

Bardzo łatwo jest ustalić, gdzie znajduje się środek ciężkości nieregularnego przedmiotu, takiego jak kubek. Najpierw jest zawieszony w dowolnym punkcie, a stamtąd rysowana jest pionowa linia (na rysunku 5 jest to linia w kolorze fuksji na lewym zdjęciu).

Następnie jest zawieszany w innym punkcie i rysowany jest nowy pion (turkusowa linia na prawym obrazku). Punkt przecięcia obu linii to środek ciężkości kubka.

Rycina 5. CG lokalizacja kubka. Źródło: zmodyfikowane z Pixabay.

Równoważenie obiektów

Przeanalizujmy stabilność ciężarówki poruszającej się po drogach. Gdy środek ciężkości znajduje się powyżej podstawy ciężarówki, ciężarówka się nie przewróci. Obraz po lewej stronie to najbardziej stabilna pozycja.

Rysunek 6. Wyważanie wózka. Źródło: wykonane samodzielnie.

Nawet gdy ciężarówka przechyli się w prawo, będzie mogła powrócić do stabilnej pozycji równowagi, jak na środkowym rysunku, ponieważ pion nadal przechodzi przez podstawę. Jednak gdy ta linia wyjdzie na zewnątrz, ciężarówka się przewróci.

Diagram przedstawia siły w punkcie podparcia: normalne na żółto, ciężar na zielono i statyczne tarcie w lewo w kolorze fuksji. Normalne i tarcie są przykładane do osi obrotu, więc nie wywierają momentu obrotowego. Dlatego nie przyczynią się do przewrócenia ciężarówki.

Pozostaje ciężar, który wywiera moment obrotowy, na szczęście w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i który ma tendencję do przywracania ciężarówki do pozycji równowagi. Zwróć uwagę, że pionowa linia przechodzi przez powierzchnię nośną, którą jest opona.

Gdy wózek znajduje się w skrajnym prawym położeniu, moment obrotowy ciężarka zmienia się na prawoskrętny. Nie można przeciwdziałać po raz kolejny, ciężarówka przewróci się.

Bibliografia

1. Bauer, W. 2011. Fizyka dla inżynierii i nauki. Tom 1. Mc Graw Hill. 247-253.
2. Giancoli, D. 2006. Fizyka: Zasady z zastosowaniami. 6th .. Ed Prentice Hall. 229-238.
3. Resnick, R. (1999). Fizyczny. Vol. 1. 3. wydanie w języku hiszpańskim. Compañía Editorial Continental SA de CV 331-341.
4. Rex, A. 2011. Podstawy fizyki. Pearson.146-155.
5. Sears, Zemansky. 2016. Fizyka uniwersytecka z fizyką współczesną. 14. Ed. Tom 1340-346.