KLASYFIKACJA LICZB RZECZYWISTYCH - NAUKA - 2026

Główna klasyfikacja liczb rzeczywistych jest podzielona na liczby naturalne, liczby całkowite, liczby wymierne i liczby niewymierne. Liczby rzeczywiste są reprezentowane przez literę R.

Różne liczby rzeczywiste można skonstruować lub opisać na wiele sposobów, od prostszych do bardziej złożonych, w zależności od wykonywanej pracy matematycznej.

Jak klasyfikowane są liczby rzeczywiste?

- Liczby naturalne

Liczby naturalne są reprezentowane przez literę (n) i są to liczby używane do liczenia (0,1,2,3,4…). Na przykład „ w ogrodzie jest piętnaście róż”, „Populacja Meksyku wynosi 126 milionów ludzi” lub „Suma dwóch i dwóch to cztery ”. Należy zauważyć, że niektóre klasyfikacje zawierają 0 jako liczbę naturalną, a inne nie.

Dwoje dzieci robi sumę dwóch liczb naturalnych.

Liczby naturalne nie obejmują tych, które mają część dziesiętną. Dlatego „Ludność Meksyku wynosi 126,2 miliona ludzi” lub „Temperatura wynosi 24,5 stopnia Celsjusza” nie mogą być traktowane jako liczby naturalne.

W potocznym języku, jak na przykład w szkołach podstawowych, liczby naturalne można nazwać liczeniem, aby wykluczyć liczby całkowite ujemne i zero.

Liczby naturalne to podstawy, za pomocą których można zbudować wiele innych zbiorów liczb przez rozszerzenie: między innymi liczby całkowite, liczby wymierne, liczby rzeczywiste i liczby zespolone.

Właściwości liczb naturalnych, takie jak podzielność i rozkład liczb pierwotnych, są badane w teorii liczb. Problemy związane z liczeniem i porządkowaniem, takie jak wyliczanie i partycjonowanie, są badane w kombinatoryce.

Mają kilka właściwości, takich jak: dodawanie, mnożenie, odejmowanie, dzielenie itp.

Liczby porządkowe i kardynalne

Liczby naturalne mogą być porządkowe lub kardynalne.

Liczbami kardynalnymi byłyby te, które są używane jako liczby naturalne, jak wspomnieliśmy wcześniej w przykładach. „Mam dwa ciasteczka”, „Jestem ojcem trójki dzieci”, „Pudełko zawiera dwa darmowe kremy”.

Liczby porządkowe to takie, które wyrażają rozkaz lub wskazują pozycję. Na przykład w wyścigu kolejność przybycia biegaczy jest podana, zaczynając od zwycięzcy, a kończąc na ostatnim, który dotarł do mety.

W ten sposób zostanie powiedziane, że zwycięzcą jest „pierwszy”, następny „drugi”, następny „trzeci” i tak dalej, aż do ostatniego. Liczby te można przedstawić za pomocą litery w prawej górnej części, aby uprościć pisanie (1, 2, 3, 4 itd.).

- Liczby całkowite

Liczby całkowite składają się z tych liczb naturalnych i ich przeciwieństw, czyli liczb ujemnych (0, 1, -1, 2, -2, 50, -50…). Podobnie jak liczby naturalne, te również nie obejmują tych, które mają część dziesiętną.

Przykładem liczb całkowitych byłoby „średnio 30 stopni temu w Niemczech”, „pod koniec miesiąca przebywałem na 0”, „Aby zejść do piwnicy, musisz nacisnąć przycisk windy -1”.

Z kolei liczb całkowitych nie można zapisać ze składnikiem ułamkowym. Na przykład liczby takie jak 8,58 lub √2 nie są liczbami całkowitymi.

Całe liczby są reprezentowane przez literę (Z). Z jest podzbiorem grupy liczb wymiernych Q, które z kolei tworzą grupę liczb rzeczywistych R. Podobnie jak liczby naturalne, Z jest nieskończoną grupą policzalną.

Liczby całkowite tworzą najmniejszą grupę i najmniejszy zbiór liczb naturalnych. W algebraicznej teorii liczb liczby całkowite są czasami nazywane liczbami całkowitymi niewymiernymi, aby odróżnić je od liczb całkowitych algebraicznych.

- Liczby wymierne

Zbiór liczb wymiernych jest reprezentowany przez literę (Q) i obejmuje wszystkie liczby, które można zapisać jako ułamek liczb całkowitych.

Oznacza to, że ten zestaw zawiera liczby naturalne (4/1), liczby całkowite (-4/1) i dokładne liczby dziesiętne (15.50 = 1550/100).

Dystrybucja 1/6 sera to liczba racjonalna.

Dziesiętne rozwinięcie liczby wymiernej zawsze kończy się po skończonej liczbie cyfr (np. 15,5) lub gdy ta sama skończona sekwencja cyfr zaczyna się powtarzać (np. 0,3456666666666666…). Dlatego w zbiorze liczb wymiernych znajdują się liczby. czyste gazety lub gazety mieszane.

Ponadto każde powtarzające się lub końcowe miejsce dziesiętne reprezentuje liczbę wymierną. Te stwierdzenia są prawdziwe nie tylko dla podstawy 10, ale także dla każdej innej podstawy całkowitej.

Liczba rzeczywista, która nie jest racjonalna, nazywana jest nieracjonalną. Liczby nieracjonalne obejmują na przykład √2, π i e. Ponieważ cały zbiór liczb wymiernych jest policzalny, a grupa liczb rzeczywistych nie jest policzalna, można powiedzieć, że prawie wszystkie liczby rzeczywiste są nieracjonalne.

Liczby wymierne można formalnie zdefiniować jako klasy równoważności par liczb całkowitych (p, q) takie, że q ≠ 0 lub relacja równoważna określona przez (p1, q1) (p2, q2) tylko wtedy, gdy p1, q2 = p2q1.

Liczby wymierne wraz z dodawaniem i mnożeniem tworzą pola, które tworzą liczby całkowite i są zawarte w dowolnej gałęzi zawierającej liczby całkowite.

- Liczby nieracjonalne

Liczby nieracjonalne to wszystkie liczby rzeczywiste, które nie są liczbami wymiernymi; liczb niewymiernych nie można wyrazić w postaci ułamków. Liczby wymierne to liczby złożone z ułamków liczb całkowitych.

W wyniku testu Cantora, który mówi, że wszystkie liczby rzeczywiste są niepoliczalne, a liczby wymierne są policzalne, można wywnioskować, że prawie wszystkie liczby rzeczywiste są niewymierne.

Gdy promień długości dwóch odcinków linii jest liczbą niewymierną, można powiedzieć, że te odcinki są niewspółmierne; co oznacza, że ​​nie ma wystarczającej długości, aby każdy z nich mógł zostać „zmierzony” za pomocą określonej całkowitej wielokrotności tego.

Wśród liczb niewymiernych jest promień π obwodu koła do jego średnicy, liczba Eulera (e), liczba złota (φ) i pierwiastek kwadratowy z dwóch; ponadto wszystkie pierwiastki kwadratowe liczb naturalnych są nieracjonalne. Jedynym wyjątkiem od tej reguły są idealne kwadraty.

Można zauważyć, że gdy liczby niewymierne są wyrażane w sposób pozycyjny w systemie liczbowym (na przykład w liczbach dziesiętnych), nie kończą się ani nie powtarzają.

Oznacza to, że nie zawierają one sekwencji cyfr, czyli powtórzenia, w jakim jest wykonana jedna linia przedstawienia.

Uproszczenie liczby niewymiernej pi.

Na przykład: dziesiętna reprezentacja liczby π zaczyna się od 3,14159265358979, ale nie ma skończonej liczby cyfr, które mogą dokładnie reprezentować π, ani nie można ich powtórzyć.

Dowód, że dziesiętne rozszerzenie liczby wymiernej musi się zakończyć lub powtórzyć, różni się od dowodu, że rozszerzenie dziesiętne musi być liczbą wymierną; Chociaż testy te są podstawowe i dość długie, wymagają trochę pracy.

Zwykle matematycy na ogół nie przyjmują pojęcia „zakończenie lub powtórzenie” do zdefiniowania pojęcia liczby wymiernej.

Liczby nieracjonalne można również traktować za pomocą ułamków nieciągłych.

Bibliografia

1. Klasyfikuj liczby rzeczywiste. Odzyskany z chilimath.com.
2. Liczba naturalna. Odzyskany z wikipedia.org.
3. Klasyfikacja liczb. Odzyskany z ditutor.com.
4. Odzyskany z wikipedia.org.
5. Liczba niewymierna. Odzyskany z wikipedia.org.