WSPÓŁCZYNNIK POISSONA: WSPÓŁCZYNNIK, WZORY, WARTOŚCI, PRZYKŁADY - FIZYCZNY - 2025

Współczynnik Poissona jest wielkością bezwymiarową, charakterystyczną dla każdego materiału. Wskazuje na odkształcenie kawałka materiału przed przyłożeniem pewnych sił.

Kiedy kawałek materiału, który jest poddawany rozciąganiu lub ściskaniu, ulega odkształceniu, iloraz między odkształceniem poprzecznym a odkształceniem podłużnym jest dokładnie współczynnikiem Poissona.

Rysunek 1. Współczynnik Poissona mierzy zależność między rozciągnięciem podłużnym a zwężeniem poprzecznym. (Przygotowane przez Ricardo Péreza)

Na przykład cylinder gumowy, który jest poddawany naprężeniom na końcach, rozciąga się w kierunku wzdłużnym, ale zwęża się poprzecznie. Rysunek 1 przedstawia pręt, którego oryginalne wymiary to: długość L i średnica D.

Pręt poddawany jest na końcach rozciąganiu T iw konsekwencji tego napięcia ulega rozciągnięciu, tak że nowa długość wynosi L '> L. Ale gdy jest rozciągany, jego średnica również zwęża się do nowej wartości: D „<D.

Iloraz między rozciągnięciem (dodatnim) a zwężeniem (ujemnym) pomnożonym przez (-1) jest liczbą dodatnią z przedziału od 0 do 0,5. Liczba ta to tak zwany współczynnik Poissona ν (grecka litera nu).

Wzór na współczynnik Poissona

Aby obliczyć współczynnik Poissona, konieczne jest określenie odkształcenia podłużnego i poprzecznego.

Odkształcenie podłużne ε _L to rozciągnięcie podzielone przez pierwotną długość:

ε _L = (L '- L) / L

Podobnie odkształcenie poprzeczne ε _T jest promieniowym zwężeniem podzielonym przez pierwotną średnicę:

ε _T = (D '- D) / D

Dlatego współczynnik Poissona jest obliczany według następującego wzoru:

ν = - ε _T / ε _L.

Związek z modułem sprężystości i modułem sztywności

Współczynnik Poissona ν jest powiązany z modułem sprężystości E (lub modułem Younga) i modułem sztywności G za pomocą następującego wzoru:

Wartość współczynnika Poissona dla materiałów

Rysunek 2. Stal nierdzewna ma współczynnik Poissona między 0,30 a 0,31. Źródło: Pixabay.

Przykłady obliczeń

Przykład 1

Pręt z pewnego tworzywa sztucznego ma długość 150 mm i okrągły przekrój o średnicy 20 mm. Pod działaniem siły ściskającej F 612,25 kg-f obserwuje się skrócenie o 14 mm i jednocześnie wzrost średnicy pręta o 0,85 mm.

Oblicz:

a) Odkształcenie wzdłużne.

b) odkształcenie poprzeczne.

c) Współczynnik Poissona tego materiału.

d) moduł sprężystości Younga odpowiadający materiałowi.

e) moduł sztywności tego tworzywa sztucznego.

Rozwiązanie

Przypomnijmy, że odkształcenie podłużne εL jest rozciągnięciem podzielonym przez pierwotną długość:

εL = (L '- L) / L

εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Należy zauważyć, że odkształcenie podłużne jest bezwymiarowe iw tym przypadku było ujemne, ponieważ nastąpił spadek jego wymiaru wzdłużnego.

Rozwiązanie b

Podobnie odkształcenie poprzeczne εT jest zwężeniem promieniowym podzielonym przez pierwotną średnicę:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Odkształcenie poprzeczne było dodatnie, ponieważ nastąpił wzrost średnicy pręta.

Rozwiązanie c

Do obliczenia współczynnika Poissona musimy pamiętać, że jest on definiowany jako ujemny iloraz odkształcenia poprzecznego i odkształcenia wzdłużnego:

ν = - εT / εL

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Należy pamiętać, że współczynnik Poissona jest dodatnią liczbą bezwymiarową i dla większości materiałów wynosi od 0 do 0,5.

Rozwiązanie d

Moduł sprężystości Younga, oznaczony literą E, jest stałą proporcjonalności w prawie Hooke'a. Przez E normalne naprężenie σL jest powiązane z odkształceniem εL, jak następuje:

σL = E εL

Naprężenie normalne definiuje się jako iloraz siły normalnej (w tym przypadku równoległej do osi pręta) i pola przekroju poprzecznego:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

W tym ćwiczeniu siła F wynosi 612,25 kg-f, co należy przeliczyć na niutony, czyli jednostkę siły w układzie SI:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

Z kolei przekrój obszaru A wynosi:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Wreszcie normalne naprężenie przyłożone do pręta wynosi:

σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa

Aby obliczyć moduł sprężystości Younga, obliczamy E z prawa Hooke'a σL = E εL:

E = σL / εL = 19 098 593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa

Rozwiązanie e

Moduł sztywności G jest powiązany z modułem Younga E i współczynnikiem Poissona ν za pomocą następującego wzoru:

E / (2 G) = 1 + ν

Stamtąd możemy rozwiązać dla G:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Przykład 2

Jest kabel miedziany o średnicy 4 mm i długości 1 m. Wiedząc, że moduł Younga miedzi wynosi 110 000 MPa, a jego współczynnik Poissona wynosi 0,34, oszacuj rozciąganie i zwężanie średnicy, którym przechodzi drut, gdy jest na nim zawieszony ciężar 100 kg-f.

Rozwiązanie

Najpierw należy obliczyć normalne naprężenie rozciągające, które ciężarek wywiera na drut, zgodnie z następującym wzorem:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Siła F wynosi 980 N, a pole przekroju poprzecznego wynosi:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Wtedy naprężenie rozciągające wynosi:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77 986 000 Pa

Obliczanie odkształcenia drutu

Moduł sprężystości Younga, oznaczony literą E, jest stałą proporcjonalności w prawie Hooke'a, która wiąże normalne naprężenie σL z odkształceniem εL:

σL = E εL

Stamtąd można rozwiązać naprężenie wzdłużne drutu miedzianego:

εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

Obliczanie odkształcenia poprzecznego

Z drugiej strony, aby poznać odkształcenie poprzeczne, stosuje się współczynnik Poissona:

ν = - εT / εL

Wreszcie odkształcenie poprzeczne wynosi:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Obliczanie bezwzględnego rozciągnięcia kabla

Wreszcie, aby poznać absolutną rozciągliwość kabla, należy zastosować następującą zależność:

ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

Oznacza to, że przy tej masie kabel ledwo rozciągnął się na 0,709 milimetra.

Obliczanie zmniejszenia średnicy

Aby uzyskać bezwzględny skurcz średnicy, używamy następującego wzoru:

ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0,000964 milimetrów.

To zwężenie średnicy jest tak małe, że trudno je zobaczyć gołym okiem, nawet jego pomiar wymaga przyrządu o wysokiej precyzji.

Bibliografia

1. Beer F. .. Mechanika materiałów. 5. Wydanie. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Mechanika materiałów. Ósma edycja. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Mechanika materiałów. Ósma edycja. Cengage Learning. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Fizyka: Zasady z zastosowaniami. 6th Ed. Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Uwagi dotyczące fizyki ogólnej. UNAM. 87-98.