PROSTOKĄTNE SKŁADOWE WEKTORA (Z ĆWICZENIAMI) - MATEMATYKA - 2026

Te prostokątne elementy wektora są dane, które tworzą ten wektor. Aby je określić, niezbędny jest układ współrzędnych, którym jest najczęściej płaszczyzna kartezjańska.

Mając wektor w układzie współrzędnych, możesz obliczyć jego składowe. Są to 2, składowa pozioma (równoległa do osi X), nazywana „komponentem na osi X” i składowa pionowa (równoległa do osi Y), nazywana „komponentem na osi Y”.

Graficzne przedstawienie prostokątnych składowych wektora

Aby określić składowe, konieczna jest znajomość pewnych danych wektora, takich jak jego wielkość i kąt, który tworzy z osią X.

Jak określić prostokątne składowe wektora?

Aby określić te składniki, trzeba znać pewne relacje między prostokątami a funkcjami trygonometrycznymi.

Na poniższym obrazku widać tę zależność.

Zależności między prostokątami prostokątnymi a funkcjami trygonometrycznymi

Sinus kąta jest równy ilorazowi miary nogi przeciwnej do kąta i miary przeciwprostokątnej.

Z drugiej strony cosinus kąta jest równy ilorazowi miary nogi przylegającej do kąta i miary przeciwprostokątnej.

Styczna kąta jest równa ilorazowi miary przeciwległej nogi i wymiaru sąsiedniej nogi.

We wszystkich tych relacjach konieczne jest ustalenie odpowiedniego trójkąta prostokątnego.

Czy są inne metody?

Tak. W zależności od dostarczonych danych sposób obliczenia prostokątnych składników wektora może się różnić. Innym szeroko stosowanym narzędziem jest twierdzenie Pitagorasa.

Ćwiczenia

Poniższe ćwiczenia wprowadzają w życie definicję prostokątnych składowych wektora i opisane powyżej zależności.

Pierwsze ćwiczenie

Wiadomo, że wektor A ma wielkość równą 12, a kąt, jaki tworzy z osią X, ma miarę 30 °. Wyznacz prostokątne składowe wspomnianego wektora A.

Rozwiązanie

Jeśli docenimy obraz i zastosuje się opisane powyżej wzory, można wywnioskować, że składowa na osi Y wektora A jest równa

sin (30 °) = Vy / 12, a zatem Vy = 12 * (1/2) = 6.

Z drugiej strony mamy, że składowa na osi X wektora A jest równa

cos (30 °) = Vx / 12, a zatem Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Drugie ćwiczenie

Jeśli wektor A ma wielkość równą 5, a składowa na osi x jest równa 4, określ wartość składowej A na osi y.

Rozwiązanie

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, mamy, że wielkość wektora A do kwadratu jest równa sumie kwadratów dwóch składowych prostokątnych. Oznacza to, że M² = (Vx) ² + (Vy) ².

Zastępując podane wartości, musisz

5² = (4) ² + (Vy) ², zatem 25 = 16 + (Vy) ².

To implikuje, że (Vy) ² = 9 iw konsekwencji Vy = 3.

Ćwiczenie trzecie

Jeśli wektor A ma wielkość równą 4 i tworzy kąt 45 ° z osią X, wyznacz prostokątne składowe tego wektora.

Rozwiązanie

Korzystając z zależności między trójkątem prostokątnym a funkcjami trygonometrycznymi, można wywnioskować, że składowa na osi Y wektora A jest równa

sin (45 °) = Vy / 4, a zatem Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Z drugiej strony mamy, że składowa na osi X wektora A jest równa

cos (45 °) = Vx / 4, a zatem Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Bibliografia

1. Landaverde, FD (1997). Geometria (przedruk red.). Postęp.
2. Leake, D. (2006). Trójkąty (ilustrowane red.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Obliczenie wstępne. Edukacja Pearson.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. Technologiczne CR.
5. Sullivan, M. (1997). Obliczenie wstępne. Edukacja Pearson.
6. Sullivan, M. (1997). Trygonometria i geometria analityczna. Edukacja Pearson.