KONGRUENCJA: PRZYSTAJĄCE FIGURY, KRYTERIA, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Zbieżność w geometrii mówi, że jeśli dwie postacie płaskie mają ten sam kształt i wymiary, są przystające. Na przykład dwa segmenty są przystające, gdy ich długości są równe. Podobnie kąty przystające mają tę samą miarę, chociaż nie są zorientowane w ten sam sposób w płaszczyźnie.

Termin „kongruencja” pochodzi od łacińskiego congruentia, co oznacza korespondencję. Zatem dwie przystające figury dokładnie sobie odpowiadają.

Rysunek 1. Czworokąty ABCD i A'B'C'D 'na rysunku są przystające: ich boki mają taką samą miarę, jak ich wewnętrzne kąty. Źródło: F. Zapata.

Na przykład, jeśli nałożymy na siebie dwa czworoboki na obrazie, stwierdzimy, że są one przystające, ponieważ układ ich boków jest identyczny i mierzą tak samo.

Umieszczając czworokąty ABCD i A'B'C'D 'jeden na drugim, liczby będą dokładnie pasować. Zbiegające się boki nazywane są bokami homologicznymi lub odpowiadającymi, a symbol ≡ jest używany do wyrażenia zgodności. Możemy więc powiedzieć, że ABCD ≡ A'B'C'D '.

Kryteria kongruencji

Następujące cechy są wspólne dla przystających wielokątów:

-Ten sam kształt i rozmiar.

-Identyczne pomiary ich kątów.

-Ten sam środek po obu stronach.

W przypadku, gdy dwa rozpatrywane wielokąty są regularne, to znaczy wszystkie boki i kąty wewnętrzne mierzą to samo, zgodność jest zapewniona, gdy spełniony jest jeden z następujących warunków:

-Boki są przystające

- Apotemy mają tę samą miarę

- Promień każdego wielokąta jest taki sam

Apothem regularnego wielokąta to odległość między środkiem a jednym z boków, podczas gdy promień odpowiada odległości między środkiem a wierzchołkiem lub rogiem figury.

Kryteria kongruencji są często używane, ponieważ tak wiele części i elementów wszelkiego rodzaju jest produkowanych masowo i muszą mieć ten sam kształt i wymiary. W ten sposób można je łatwo wymienić w razie potrzeby, na przykład nakrętki, śruby, arkusze lub kostkę brukową na ziemi na ulicy.

Rysunek 2. Kostka brukowa ulicy to figury przystające, ponieważ ich kształt i wymiary są dokładnie takie same, chociaż ich położenie na podłodze może się zmieniać. Źródło: Pixabay.

Kongruencja, tożsamość i podobieństwo

Istnieją koncepcje geometryczne związane z kongruencją, na przykład identyczne figury i podobne figury, co niekoniecznie oznacza, że ​​figury są przystające.

Zwróć uwagę, że przystające figury są identyczne, jednakże czworoboki na fig. 1 mogą być zorientowane w różny sposób na płaszczyźnie i nadal pozostają przystające, ponieważ różne orientacje nie zmieniają rozmiaru ich boków ani ich kątów. W takim przypadku nie byłyby już identyczne.

Drugą koncepcją jest podobieństwo figur: dwie figury płaskie są podobne, jeśli mają ten sam kształt, a ich wewnętrzne kąty mierzą ten sam, chociaż rozmiar figur może być inny. W takim przypadku liczby nie są przystające.

Przykłady kongruencji

- Kongruencja kątów

Jak wskazaliśmy na początku, kąty przystające mają tę samą miarę. Istnieje kilka sposobów uzyskania przystających kątów:

Przykład 1

Dwie linie ze wspólnym punktem definiują dwa kąty, zwane kątami przeciwnymi ze względu na wierzchołek. Te kąty mają tę samą miarę, dlatego są przystające.

Rysunek 3. Przeciwne kąty przy wierzchołku. Źródło: Wikimedia Commons.

Przykład 2

Istnieją dwie równoległe linie i linia t, która przecina obie. Tak jak w poprzednim przykładzie, kiedy ta linia przecina się z równoległościami, generuje przystające kąty, po jednym na każdej linii po prawej stronie i dwa po lewej stronie. Rysunek pokazuje α i α ₁ , na prawo od linii t, które są przystające.

Rysunek 4. Kąty pokazane na rysunku są przystające. Źródło: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Przykład 3

W równoległoboku są cztery kąty wewnętrzne, które są przystające od dwóch do dwóch. Są to te pomiędzy przeciwległymi wierzchołkami, jak pokazano na poniższym rysunku, na którym dwa kąty zaznaczone na zielono są przystające, a dwa kąty zaznaczone na czerwono.

Rysunek 5. Kąty wewnętrzne równoległoboku są przystające dwa na dwa. Źródło: Wikimedia Commons.

- Kongruencja trójkątów

Przystające są dwa trójkąty o tym samym kształcie i rozmiarze. Aby to zweryfikować, istnieją trzy kryteria, które można zbadać w poszukiwaniu zgodności:

- kryterium LLL : trzy boki trójkątów mają takie same miary, a zatem L ₁ = L ' ₁ ; L ₂ = L ' ₂ i L ₃ = L' _3.

Rysunek 6. Przykład przystających trójkątów, których boki są takie same. Źródło: F. Zapata.

- Kryteria ALA i AAL : trójkąty mają dwa równe kąty wewnętrzne, a bok między tymi kątami ma tę samą miarę.

Rysunek 7. Kryteria ALA i AAL dla zgodności trójkąta. Źródło: Wikimedia Commons.

- Kryterium LAL : dwie strony są identyczne (odpowiadają) i jest między nimi taki sam kąt.

Rysunek 8. Kryterium LAL dla zgodności trójkątów. Źródło: Wikimedia Commons.

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Na poniższym rysunku pokazano dwa trójkąty: ΔABC i ΔECF. Wiadomo, że AC = EF, że AB = 6 i że CF = 10. Ponadto kąty ∡BAC i ∡FEC są przystające, a kąty ∡ACB i ∡FCB są również przystające.

Rysunek 9. Trójkąty dla przykładu roboczego 1. Źródło: F. Zapata.

Wówczas długość odcinka BE jest równa:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Rozwiązanie

Ponieważ oba trójkąty mają bok o równej długości AC = EF pomiędzy równymi kątami ∡BAC = ∡CEF i ∡BCA = ∡CFE, można powiedzieć, że te dwa trójkąty są przystające według kryterium ALA.

To znaczy ΔBAC ≡ ΔCEF, więc musimy:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Ale segment do obliczenia to BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Zatem prawidłowa odpowiedź to (iii).

- Ćwiczenie 2

Poniższy rysunek przedstawia trzy trójkąty. Wiadomo również, że oba wskazane kąty mają wymiary 80º każdy i że odcinki AB = PD i AP = CD. Znajdź wartość kąta X wskazaną na rysunku.

Rysunek 10. Trójkąty dla rozwiązanego przykładu 2. Źródło: F. Zapata.

Rozwiązanie

Musisz zastosować właściwości trójkątów, które są szczegółowo opisane krok po kroku.

Krok 1

Wychodząc z kryterium zgodności trójkąta LAL, można stwierdzić, że trójkąty BAP i PDC są przystające:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Krok 2

Powyższe prowadzi do stwierdzenia, że ​​BP = PC, a zatem trójkąt ΔBPC jest równoramienny, a ∡PCB = ∡PBC = X.

Krok 3

Jeśli nazwiemy kąt BPC γ, wynika z tego, że:

2x + γ = 180º

Krok 4

A jeśli nazwiemy kąty APB i DCP β i α kątami ABP i DPC, otrzymamy:

α + β + γ = 180º (ponieważ APB jest kątem płaskim).

Krok 5

Ponadto α + β + 80º = 180º przez sumę kątów wewnętrznych trójkąta APB.

Krok 6

Łącząc wszystkie te wyrażenia, które mamy:

α + β = 100º

Krok 7

I dlatego:

γ = 80º.

Krok 8

W końcu wynika, że:

2X + 80º = 180º

Przy X = 50º.

Bibliografia

1. Baldor, A. 1973. Geometria płaszczyzny i przestrzeni. Kultura Ameryki Środkowej.
2. Fundacja CK-12. Przystępne wielokąty. Odzyskany z: ck 12.org.
3. Ciesz się matematyką. Definicje: promień (wielokąt). Odzyskany z: enjoylasmatematicas.com.
4. Math Open Reference. Testowanie wielokątów pod kątem zgodności. Odzyskany z: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Kongruencja (geometria). Odzyskane z: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Trójkąty, historia, elementy, klasyfikacja, własności. Odzyskany z: lifeder.com.