TRAPEZ SKALENOWY: WŁASNOŚCI, WZORY I RÓWNANIA, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

Różnoboczny trapezu jest wielokątem o czterech bokach, z których dwie są ustawione równolegle do siebie, a także z czterech kątów wewnętrznych różnych środków.

Czworokąt ABCD pokazano poniżej, gdzie boki AB i DC są równoległe do siebie. To wystarczy, aby był trapezem, ale również kąty wewnętrzne α, β, γ i δ są różne, dlatego trapez jest skalenem.

Rysunek 1. Czworokąt ABCD jest trapezem według warunku 1 i skalenem według warunku 2. Źródło: F. Zapata.

Elementy trapezu łuskowego

Oto najbardziej charakterystyczne elementy:

-Podstawy i boki: równoległe boki trapezu to jego podstawy, a dwa nierównoległe boki to boki.

W trapezoidzie łuski podstawy są różnej długości, a także boczne. Jednak trapez łuskowy może mieć długość poprzeczną równą podstawie.

-Median: to odcinek, który łączy punkty środkowe z bocznymi.

-Diagonals: przekątna trapezu to odcinek, który łączy dwa przeciwległe wierzchołki. Trapez, jak każdy czworokąt, ma dwie przekątne. W trapezie łuski mają różną długość.

Inne trapezoidy

Oprócz trapezu skalenego istnieją inne szczególne trapezoidy: prawy trapez i trapez równoramienny.

Trapez jest prostokątem, gdy jeden z jego kątów jest prosty, podczas gdy trapez równoramienny ma boki równej długości.

Kształt trapezu ma liczne zastosowania na poziomie projektowym i przemysłowym, np. W konfiguracji skrzydeł samolotów, kształtach przedmiotów codziennego użytku, takich jak stoły, oparcia krzeseł, opakowania, torebki, nadruki na tekstyliach i nie tylko.

Rysunek 2. Kształt trapezu jest powszechny w konfiguracji skrzydeł samolotów. Źródło: Wikimedia Commons.

Nieruchomości

Właściwości trapezu pochyłego są wymienione poniżej, z których wiele obejmuje inne typy trapezów. W dalszej części, gdy mówimy o „trapezie”, właściwość będzie miała zastosowanie do każdego typu, w tym do skalenu.

1. Środek trapezu, to znaczy odcinka łączącego punkty środkowe jego nierównoległych boków, jest równoległy do ​​którejkolwiek z podstaw.

2.- Środek trapezu ma długość, która jest połową długości jego podstaw i przecina jego przekątne w punkcie środkowym.

3.- Przekątne trapezu przecinają się w punkcie, który dzieli je na dwie części, które są proporcjonalne do ilorazów podstaw.

4.- Suma kwadratów przekątnych trapezu jest równa sumie kwadratów jego boków plus podwójny iloczyn jego podstaw.

5.- Odcinek, który łączy punkty środkowe przekątnych, ma długość równą połowie różnicy podstaw.

6.- Kąty przylegające do bocznych mają charakter uzupełniający.

7.- W trapezie łuskowym długości jego przekątnych są różne.

8.- Trapez ma wpisany obwód tylko wtedy, gdy suma jego podstaw jest równa sumie jego boków.

9.- Jeżeli trapez ma wpisany obwód, to kąt z wierzchołkiem pośrodku tego obwodu i bokami przechodzącymi przez końce boku trapezu jest prosty.

10.- Trapez skalenowy nie ma określonego obwodu, jedynym rodzajem trapezu, który ma, jest równoramienny.

Wzory i równania

Poniższe relacje trapezu pochyłego odnoszą się do poniższego rysunku.

1. - Jeśli AE = ED i BF = FC → EF - AB i EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2 czyli: m = (a + c) / 2.

3. Di = IB = D ₁ /2 i AG = GC = D ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) podobnie CJ / JA = (c / a).

Rysunek 3. Mediana i przekątne trapezu łuskowego. Źródło: F. Zapata.

5. - DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Odpowiednio:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6. - GI = (AB - DC) / 2

To jest do powiedzenia:

n = (a - c) / 2

7. - α + δ = 180⁰ i β + γ = 180⁰

8.- Jeśli α ≠ β ≠ γ ≠ δ to d1 ≠ d2.

9.- Rysunek 4 przedstawia trapez skalenowy z wpisanym obwodem, w tym przypadku prawdą jest, że:

a + c = d + b

10.- W trapezie skalennym ABCD z wpisanym obwodem środka O, obowiązuje również:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Rysunek 4. Jeśli w trapezie zweryfikuje się, że suma jego podstaw jest równa sumie podstaw bocznych, to jest wpisany w niego obwód. Źródło: F. Zapata.

Wysokość

Wysokość trapezu jest definiowana jako odcinek, który biegnie od punktu podstawy prostopadle do przeciwnej podstawy (lub jej przedłużenia).

Wszystkie wysokości trapezu mają ten sam wymiar h, więc przez większość czasu słowo wysokość odnosi się do jego pomiaru. Krótko mówiąc, wysokość to odległość lub separacja między podstawami.

Wysokość h można określić znając długość jednego boku i jednego z kątów sąsiadujących z bokiem:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Mediana

Miarą m mediany trapezu jest półsuma podstaw:

m = (a + b) / 2

Przekątne

d ₁ = √

d ₂ = √

Można to również obliczyć, jeśli znana jest tylko długość boków trapezu:

d ₁ = √

d ₂ = √

Obwód

Obwód to całkowita długość konturu, czyli suma wszystkich jego boków:

P = a + b + c + d

Powierzchnia

Obszar trapezu to połowa jego podstaw pomnożona przez jego wysokość:

A = h ∙ (a + b) / 2

Można ją również obliczyć, jeśli znana jest mediana m, a wysokość h:

A = m ∙ h

W przypadku, gdy znana jest tylko długość boków trapezu, powierzchnię można określić za pomocą wzoru Herona na trapez:

A = ∙ √

Gdzie s to półmetr: s = (a + b + c + d) / 2.

Inne wskaźniki dla trapezu skalenowego

Przecięcie środkowej z przekątnymi i równoległość, która przechodzi przez przecięcie przekątnych, daje początek innym relacjom.

Rysunek 5. Inne relacje dla trapezu skalenowego. Źródło: F. Zapata.

-Relacje dla mediany EF

EF = (a + c) / 2; EG = JEŻELI = c / 2; EI = GF = a / 2

- Relacje dla odcinka równoległego do baz KL i przechodzącego przez punkt przecięcia J przekątnych

Jeśli KL - AB - DC z J ∈ KL, to KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Budowa trapezu łuskowego z linijką i kompasem

Biorąc pod uwagę podstawy długości a i c, gdzie a> cy z bokami o długości b i d, gdzie b> d, wykonaj następujące czynności (patrz rysunek 6):

1. - Zgodnie z regułą rysowany jest segment wielkiej AB.

2.- Z A se i na AB zaznacz punkt P tak, aby AP = c.

3. - Za pomocą kompasu ze środkiem w P i promieniem d rysowany jest łuk.

4.- Środek jest tworzony w B o promieniu b, rysując łuk, który przecina łuk narysowany w poprzednim kroku. Nazywamy Q punktem przecięcia.

Rysunek 6. Budowa trapezu łuskowego z uwzględnieniem jego boków. Źródło: F. Zapata.

5. - Ze środkiem w A, narysuj łuk o promieniu d.

6.- Ze środkiem w Q, narysuj łuk o promieniu c, który przecina łuk narysowany w poprzednim kroku. Punkt odcięcia będzie nazywany R.

7.- Segmenty BQ, QR i RA są rysowane linijką.

8.- Czworokąt ABQR jest trapezem skalennym, ponieważ APQR jest równoległobokiem, co gwarantuje, że AB - QR.

Przykład

Następujące długości są podane w cm: 7, 3, 4 i 6.

a) Określić, czy za ich pomocą można skonstruować trapez skalenny, który może otoczyć okrąg.

b) Znajdź obwód, pole powierzchni, długość przekątnych i wysokość wspomnianego trapezu, a także promień wpisanego koła.

- Rozwiązanie

Wykorzystując segmenty o długości 7 i 3 jako podstawy, a segmenty o długości 4 i 6 jako boki, można zbudować trapez skalenowy, stosując procedurę opisaną w poprzedniej sekcji.

Pozostaje sprawdzić, czy ma wpisany obwód, ale pamiętając o właściwości (9):

Widzimy to skutecznie:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Wtedy warunek istnienia wpisanego obwodu jest spełniony.

- Rozwiązanie b

Obwód

Obwód P uzyskuje się przez dodanie boków. Ponieważ podstawy sumują się do 10, a także boczne, obwód wynosi:

P = 20 cm

Powierzchnia

Aby określić obszar, znany tylko z jego boków, stosuje się zależność:

A = ∙ √

Gdzie s to półmierznik:

s = (a + b + c + d) / 2.

W naszym przypadku semiperymetr jest wart s = 10 cm. Po podstawieniu odpowiednich wartości:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Pozostaje:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Wysokość

Wysokość h jest powiązana z obszarem A za pomocą następującego wyrażenia:

A = (a + c) ∙ h / 2, z którego wysokość można uzyskać usuwając:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Promień wpisanego koła

Promień wpisanego koła jest równy połowie wysokości:

r = h / 2 = 1,984 cm

Przekątne

Wreszcie znajdujemy długość przekątnych:

d ₁ = √

d ₂ = √

Prawidłowe podstawienie wartości, które mamy:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

To znaczy: d ₁ = 4,69 cm id ₂ = 8,49 cm

Rysunek 7. Trapez łuskowy spełniający warunek istnienia obwodu wpisanego. Źródło: F. Zapata.

Ćwiczenie rozwiązane

Wyznacz kąty wewnętrzne trapezu o podstawach AB = a = 7, CD = c = 3 i kątach bocznych BC = b = 6, DA = d = 4.

Rozwiązanie

Do określenia kątów można zastosować twierdzenie cosinus. Na przykład kąt ∠A = α jest określany z trójkąta ABD, w którym AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 i DA = d = 4.

Twierdzenie cosinus zastosowane do tego trójkąta wygląda następująco:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), czyli:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Rozwiązując cosinus kąta α otrzymujemy:

Cos (α) = -1/8

Oznacza to, że α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Pozostałe kąty uzyskuje się w ten sam sposób, a ich wartości to:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ i ostatecznie δ = 82,82⁰.

Bibliografia

1. CEA (2003). Elementy geometrii: z ćwiczeniami i geometrią kompasu. Uniwersytet Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematyka 2. Grupo Od redakcji Patria.
3. Uwolniony, K. (2007). Odkryj wielokąty. Firma edukacyjna Benchmark.
4. Hendrik, V. (2013). Uogólnione wielokąty. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematyka w pierwszym semestrze Tacaná. IGER.
6. Jr. geometria. (2014). Wielokąty. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren i Hornsby. (2006). Matematyka: rozumowanie i zastosowania (wydanie dziesiąte). Edukacja Pearson.
8. Patiño, M. (2006). Matematyka 5. Od redakcji Progreso.
9. Wikipedia. Trapez. Odzyskany z: es.wikipedia.com