TRANSFORMACJE IZOMETRYCZNE: SKŁAD, RODZAJE I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

W izometryczne transformacje są zmiany pozycji lub orientacji określonej wartości, która nie zmienia kształt lub rozmiar. Przekształcenia te można podzielić na trzy typy: translacja, rotacja i odbicie (izometria). Ogólnie przekształcenia geometryczne pozwalają na stworzenie nowej figury z danej.

Przekształcenie w figurę geometryczną oznacza, że ​​w pewnym sensie uległa ona zmianie; to znaczy został zmieniony. Zgodnie z sensem oryginału i tym samym w płaszczyźnie przekształcenia geometryczne można podzielić na trzy typy: izometryczne, izomorficzne i anamorficzne.

cechy

Transformacje izometryczne występują, gdy wielkości segmentów i kąty między oryginalną figurą a przekształconą figurą są zachowane.

W tego typu transformacji ani kształt, ani wielkość figury nie ulegają zmianie (są przystające), jest to tylko zmiana jej położenia, czy to w orientacji, czy kierunku. W ten sposób początkowe i końcowe figury będą podobne i geometrycznie przystające.

Izometria odnosi się do równości; innymi słowy, figury geometryczne będą izometryczne, jeśli będą miały ten sam kształt i rozmiar.

W przekształceniach izometrycznych jedyne, co można zaobserwować, to zmiana położenia w płaszczyźnie, następuje sztywny ruch, dzięki któremu figura przechodzi z pozycji wyjściowej do końcowej. Ta liczba jest nazywana homologiczną (podobną) do oryginału.

Istnieją trzy typy ruchów, które klasyfikują transformację izometryczną: przesunięcie, obrót i odbicie lub symetria.

Rodzaje

Tłumaczenie

Są to izometrie, które pozwalają wszystkim punktom płaszczyzny poruszać się po linii prostej w zadanym kierunku i na określoną odległość.

Kiedy figura jest przekształcana przez translację, nie zmienia swojej orientacji w stosunku do pozycji wyjściowej, ani nie traci swoich miar wewnętrznych, miar kątów i boków. Ten rodzaj przemieszczenia określają trzy parametry:

- Jeden kierunek, który może być poziomy, pionowy lub ukośny.

- Jeden kierunek, który może być w lewo, w prawo, w górę lub w dół.

- Odległość lub wielkość, czyli długość od pozycji początkowej do końca dowolnego punktu, który się porusza.

Aby transformacja izometryczna poprzez translację została spełniona, muszą być spełnione następujące warunki:

- Figura musi zawsze zachować wszystkie swoje wymiary, zarówno liniowe, jak i kątowe.

- figura nie zmienia swojego położenia względem osi poziomej; to znaczy jego kąt nigdy się nie zmienia.

- Tłumaczenia zawsze będą podsumowane w jednym, niezależnie od liczby wykonanych tłumaczeń.

Na płaszczyźnie, w której środkiem jest punkt O, o współrzędnych (0,0), przesunięcie jest określone przez wektor T (a, b), który wskazuje przemieszczenie punktu początkowego. To jest do powiedzenia:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Na przykład, jeśli przesunięcie T (-4, 7) zostanie zastosowane do punktu współrzędnych P (8, -2), otrzymamy:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

Na poniższym obrazku (po lewej) można zobaczyć, jak punkt C przesunął się, aby pokryć się z D. Zrobił to w kierunku pionowym, kierunek był w górę, a odległość lub wielkość CD wynosiła 8 metrów. Na prawym obrazie obserwuje się tłumaczenie trójkąta:

Rotacyjnie

Są to izometrie, które pozwalają figurze obracać wszystkie punkty płaszczyzny. Każdy punkt obraca się po łuku, który ma stały kąt i określony stały punkt (środek obrotu).

Oznacza to, że cały obrót będzie określony przez jego środek obrotu i kąt obrotu. Kiedy figura jest przekształcana przez obrót, zachowuje miarę jej kątów i boków.

Obrót następuje w określonym kierunku, jest dodatni, gdy obrót jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara (kierunek przeciwny do tego, jak obracają się wskazówki zegara) i ujemny, gdy obrót jest zgodny z ruchem wskazówek zegara.

Jeżeli punkt (x, y) zostanie obrócony względem początku - to znaczy, że jego środek obrotu wynosi (0,0) - pod kątem 90 ^lub 360 ^lub współrzędne punktów będą:

W przypadku, gdy obrót nie ma środka w początku, początek układu współrzędnych musi zostać przeniesiony do nowego podanego początku, aby móc obrócić figurę z początkiem jako środkiem.

Na przykład, jeśli punkt P (-5,2) zostanie zastosowany obrót o 90 ^lub , wokół początku i dodatnio, jego nowe współrzędne wynoszą (-2,5).

Przez odbicie lub symetrię

Są to te transformacje, które odwracają punkty i figury płaszczyzny. To odwrócenie może dotyczyć punktu lub może również dotyczyć linii.

Innymi słowy, w tego typu transformacji każdy punkt pierwotnej figury jest powiązany z innym punktem (obrazem) figury homologicznej w taki sposób, że punkt i jego obraz znajdują się w tej samej odległości od prostej zwanej osią symetrii. .

W ten sposób lewa część figury będzie odbiciem prawej części, bez zmiany jej kształtu ani wymiarów. Symetria przekształca figurę w inną równą, ale w przeciwnym kierunku, jak widać na poniższym obrazku:

Symetria jest obecna w wielu aspektach, np. W niektórych roślinach (słoneczniki), zwierzętach (paw) i zjawiskach naturalnych (płatki śniegu). Człowiek odbija to na swojej twarzy, która jest uważana za czynnik piękna. Odbicie lub symetria mogą być dwojakiego rodzaju:

Centralna symetria

To ta transformacja zachodzi w odniesieniu do punktu, w którym figura może zmienić swoją orientację. Każdy punkt oryginalnej figury i jej obrazu znajdują się w tej samej odległości od punktu O, zwanego środkiem symetrii. Symetria ma kluczowe znaczenie, gdy:

- Zarówno punkt, jak i jego obraz i środek należą do tej samej linii.

- Przy obrocie o 180 ^o środka O uzyskuje się figurę równą oryginałowi.

- Linie początkowej figury są równoległe do linii uformowanej figury.

- Sens figury się nie zmienia, zawsze będzie zgodny z ruchem wskazówek zegara.

Skład rotacji

Złożenie dwóch zwojów o tym samym środku skutkuje kolejnym zakrętem, który ma ten sam środek i którego amplituda będzie sumą amplitud obu zwojów.

Jeśli środek zwojów ma inny środek, przecięcie dwusiecznej dwóch segmentów podobnych punktów będzie środkiem zakrętu.

Skład symetrii

W takim przypadku skład będzie zależał od sposobu jej zastosowania:

- Jeśli ta sama symetria zostanie zastosowana dwukrotnie, wynikiem będzie tożsamość.

- Jeżeli zastosujemy dwie symetrie względem dwóch równoległych osi, wynikiem będzie przesunięcie, a jego przemieszczenie będzie dwukrotnie większe od odległości tych osi:

- Jeżeli dwie symetrie zostaną zastosowane względem dwóch osi, które przecinają się w punkcie O (środek), zostanie uzyskany obrót ze środkiem w O, a jego kąt będzie dwukrotnie większy od kąta utworzonego przez osie:

Bibliografia

1. V Bourgeois, JF (1988). Materiały do ​​budowy geometrii. Madryt: Synteza.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Rysunek techniczny II. Paraninfo SA: Editions of the Tower.
3. Coxeter, H. (1971). Podstawy geometrii. Meksyk: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometria Podejście transformacyjne. USA: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Indukcja i formalizacja w nauczaniu sztywnych transformacji w środowisku CABRI.
6. , PJ (1996). Grupa izometrii samolotu. Madryt: Synteza.
7. Suárez, AC (2010). Transformacje w płaszczyźnie. Gurabo, Portoryko: AMCT.