NIESKOŃCZONY ZBIÓR: WŁAŚCIWOŚCI, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

Przez nieskończony zbiór rozumie się zbiór, w którym liczba jego elementów jest niepoliczalna. Oznacza to, że bez względu na to, jak duża może być liczba jego elementów, zawsze można znaleźć więcej.

Najbardziej znanym przykładem jest nieskończony zbiór liczb naturalnych, N . Nie ma znaczenia, jak duża jest ta liczba, ponieważ zawsze możesz uzyskać większą w procesie, który nie ma końca:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Rysunek 1. Symbol nieskończoności. (pixabay)

Zbiór gwiazd we wszechświecie jest z pewnością ogromny, ale nie wiadomo na pewno, czy jest skończony czy nieskończony. W przeciwieństwie do liczby planet w Układzie Słonecznym, o którym wiadomo, że jest zbiorem skończonym.

Właściwości nieskończonego zbioru

Spośród właściwości zbiorów nieskończonych możemy wskazać:

1- Połączenie dwóch nieskończonych zestawów powoduje powstanie nowego nieskończonego zestawu.

2- Połączenie skończonego zbioru z nieskończonym rodzi nowy nieskończony zbiór.

3- Jeśli podzbiór danego zbioru jest nieskończony, to pierwotny zbiór również jest nieskończony. To wzajemne stwierdzenie nie jest prawdą.

Nie można znaleźć liczby naturalnej zdolnej do wyrażenia liczności lub liczby elementów nieskończonego zbioru. Jednak niemiecki matematyk Georg Cantor wprowadził pojęcie liczby pozaskończonej w odniesieniu do nieskończonej liczby porządkowej większej niż jakakolwiek liczba naturalna.

Przykłady

Naturalny N

Najczęstszym przykładem nieskończonego zbioru są liczby naturalne. Liczby naturalne to te, które są używane do liczenia, jednak liczby całkowite, które mogą istnieć, są niepoliczalne.

Zbiór liczb naturalnych nie zawiera zera i jest powszechnie określany jako zbiór N , który w postaci rozszerzonej wyraża się następująco:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} I jest wyraźnie nieskończonym zbiorem.

Wielokropek służy do wskazania, że ​​po jednej liczbie następuje kolejna, a następnie następna w nieskończonym lub nieskończonym procesie.

Zbiór liczb naturalnych połączonych ze zbiorem zawierającym liczbę zero (0) jest znany jako zbiór N + .

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Co jest wynikiem połączenia nieskończonego zbioru N ze skończonym zbiorem O = {0}, co daje nieskończony zbiór N + .

Liczby całkowite Z

Zbiór liczb całkowitych Z składa się z liczb naturalnych, liczb naturalnych ze znakiem ujemnym i zerem.

Liczby całkowite Z są uważane za ewolucję w odniesieniu do liczb naturalnych N używanych pierwotnie i pierwotnie w procesie liczenia.

W liczbowym zbiorze Z liczb całkowitych zero jest włączone do zliczania lub zliczania niczego, a liczby ujemne do obliczenia ekstrakcji, utraty lub braku czegoś.

Aby zilustrować ten pomysł, załóżmy, że na koncie bankowym pojawia się ujemne saldo. Oznacza to, że konto jest poniżej zera i nie tylko jest puste, ale ma brakującą lub ujemną różnicę, którą jakoś trzeba wymienić na bank.

W rozszerzonej formie nieskończony zbiór liczb całkowitych Z jest zapisany w ten sposób:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

Wymogi Q

W ewolucji procesu liczenia i wymiany rzeczy, towarów lub usług pojawiają się liczby ułamkowe lub wymierne.

Np. Przy wymianie pół bochenka na dwa jabłka, w momencie rejestrowania transakcji, komuś przyszło do głowy, że połowę należy zapisać jako podzieloną lub podzieloną na dwie części: ½. Ale połowa chleba byłaby zapisana w księgach w następujący sposób: ½ / ½ = ¼.

Oczywiste jest, że w teorii ten proces podziału może być nieskończony, chociaż w praktyce trwa do osiągnięcia ostatniej cząstki chleba.

Zbiór liczb wymiernych (lub ułamkowych) oznaczamy w następujący sposób:

Q = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0,… .., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

Wielokropek między dwiema liczbami całkowitymi oznacza, że ​​między tymi dwiema liczbami lub wartościami istnieje nieskończona liczba podziałów lub podziałów. Dlatego mówi się, że zbiór liczb wymiernych jest nieskończenie gęsty. Dzieje się tak, ponieważ bez względu na to, jak blisko siebie mogą znajdować się dwie liczby wymierne, można znaleźć nieskończone wartości.

Aby zilustrować powyższe, załóżmy, że jesteśmy proszeni o znalezienie liczby wymiernej między 2 a 3. Ta liczba może wynosić 2, czyli tak zwaną liczbę mieszaną składającą się z 2 całych części plus jednej trzeciej jednostki, która jest odpowiednik pisania 4/3.

Między 2 a 2⅓ można znaleźć inną wartość, na przykład 2⅙. Między 2 a 2⅙ można znaleźć inną wartość, na przykład 2⅛. Między tymi dwoma innymi i między nimi innym, innym i innym.

Rysunek 2. Nieskończone podziały liczb wymiernych. (wikimedia commons)

Liczby nieracjonalne I.

Istnieją liczby, których nie można zapisać jako dzielenia lub ułamka dwóch liczb całkowitych. To właśnie ten zbiór liczbowy jest znany jako zbiór I liczb niewymiernych, a także jest zbiorem nieskończonym.

Niektóre znaczące elementy lub reprezentanci tego zbioru liczbowego to liczba pi (π), liczba Eulera (e), złoty podział lub złota liczba (φ). Liczby te można zapisać z grubsza tylko liczbą wymierną:

π = 3,1415926535897932384626433832795 …… (i dalej do nieskończoności i dalej…)

e = 2,7182818284590452353602874713527 ……. (i dalej poza nieskończoność…)

φ = 1,61803398874989484820 …… .. (do nieskończoności… ..i dalej… ..)

Inne liczby niewymierne pojawiają się przy próbie znalezienia rozwiązań bardzo prostych równań, na przykład równanie X ^ 2 = 2 nie ma dokładnego racjonalnego rozwiązania. Dokładne rozwiązanie wyraża następująca symbolika: X = √2, które odczytuje się jako x równe pierwiastkowi z dwóch. Przybliżone wymierne (lub dziesiętne) wyrażenie dla √2 to:

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097.

Istnieją niezliczone liczby niewymierne, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖), żeby wymienić tylko kilka.

Zestaw rzeczywistych R.

Liczby rzeczywiste to zbiór liczb najczęściej używany w rachunku matematycznym, fizyce i inżynierii. Ten zbiór liczb jest sumą liczb wymiernych Q i niewymiernych I :

R = Q U I

Nieskończoność większa niż nieskończoność

Wśród nieskończonych zestawów niektóre są większe niż inne. Na przykład zbiór liczb naturalnych, N jest nieskończona, lecz podzbiór liczb całkowitych Z , który jest nieskończony nieskończony więc zestaw Z jest większa niż nieskończony zbiór N .

Podobnie, zbiór liczb całkowitych Z jest podzbiorem liczb rzeczywistych R , a więc zestaw R jest „nieskończoność” nieskończony zestaw Z .

Bibliografia

1. Celeberrima. Przykłady zbiorów nieskończonych. Odzyskany z: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). PODSTAWOWA MATEMATYKA. Wprowadzenie do rachunku różniczkowego. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Matematyka: równania kwadratowe: Jak rozwiązać równanie kwadratowe. Marilù Garo.
4. Haeussler, EF i Paul, RS (2003). Matematyka dla zarządzania i ekonomii. Edukacja Pearson.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematyka 1 WRZ. Próg.
6. Preciado, CT (2005). Kurs matematyki 3. Redakcja Progreso.
7. Rock, NM (2006). Algebra I jest łatwa! Tak łatwo. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebra i trygonometria. Edukacja Pearson.
9. Wikipedia. Nieskończony zestaw. Odzyskany z: es.wikipedia.com