STAŁA PROPORCJONALNOŚCI: CO TO JEST, OBLICZENIA, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Współczynnikiem proporcjonalności jest relacyjną elementem numeryczna, w celu określenia wzoru podobieństwa pomiędzy 2 ilościach, które są zmienione jednocześnie. Bardzo często przedstawia się ją jako funkcję liniową w sposób ogólny za pomocą wyrażenia F (X) = kX. Jednak nie jest to jedyna reprezentacja możliwej proporcjonalności.

Na przykład, zależność między X i Y w funkcji Y = 3x ma stałą proporcjonalności równą 3. Obserwuje się, że wraz ze wzrostem zmiennej niezależnej X rośnie również zmienna zależna Y, trzykrotna jej wartość poprzedni.

Zmiany zastosowane do jednej zmiennej mają natychmiastowe konsekwencje dla drugiej, tak że istnieje wartość znana jako stała proporcjonalności. Służy to do powiązania różnych wielkości, które osiągają obie zmienne.

Jaka jest stała proporcjonalności i typów

Zgodnie z trendem zmiany zmiennych proporcje można podzielić na 2 typy.

Bezpośrednia proporcjonalność

Sugeruje jednostronną zależność między dwiema wielkościami. W nim, jeśli zmienna niezależna wykazuje pewien wzrost, zmienna zależna również wzrośnie. Podobnie, jakikolwiek spadek zmiennej niezależnej spowoduje zmniejszenie wielkości Y.

Na przykład funkcja liniowa zastosowana we wstępie; Y = 3X, odpowiada bezpośredniej relacji proporcjonalności. Dzieje się tak, ponieważ wzrost zmiennej niezależnej X spowoduje trzykrotny wzrost poprzedniej wartości przyjmowanej przez zmienną zależną Y.

Podobnie, zmienna zależna zmniejszy się trzykrotnie, gdy X zmniejszy się pod względem wielkości.

Wartość stałej proporcjonalności „K” w relacji bezpośredniej określa się jako K = Y / X.

Odwrotna lub pośrednia proporcjonalność

W tego typu funkcjach związek między zmiennymi jest przedstawiany w sposób antonimowy, gdzie wzrost lub spadek zmiennej niezależnej odpowiada odpowiednio zmniejszeniu lub wzrostowi zmiennej zależnej.

Na przykład funkcja F (x) = k / x jest zależnością odwrotną lub pośrednią. Ponieważ wartość zmiennej niezależnej zaczyna rosnąć, wartość k zostanie podzielona przez rosnącą liczbę, powodując zmniejszenie wartości zmiennej zależnej zgodnie z proporcją.

Zgodnie z wartością przyjętą przez K można zdefiniować trend odwrotnej funkcji proporcjonalności. Jeśli k> 0, to funkcja będzie maleć na wszystkich liczbach rzeczywistych. Twój wykres będzie w 1. i 3. kwadrancie.

Wręcz przeciwnie, jeśli wartość K jest ujemna lub mniejsza od zera, funkcja będzie rosła, a jej wykres znajdzie się w 2. i 4. kwadrantach.

Jak to jest obliczane?

Istnieją różne konteksty, w których może być wymagana definicja stałej proporcjonalności. W różnych przypadkach zostaną pokazane różne dane dotyczące problemu, przy czym ich zbadanie da ostatecznie wartość K.

W ogólny sposób można podsumować powyższe. Wartości K odpowiadają dwóm wyrażeniom w zależności od rodzaju występującej proporcjonalności:

- Bezpośrednio: K = Y / X

- Odwrotna lub pośrednia: K = YX

Zgodnie z jego wykresem

Czasami wykres funkcji będzie znany tylko częściowo lub całkowicie. W takich przypadkach konieczne będzie, poprzez analizę graficzną, określenie rodzaju proporcjonalności. Wówczas konieczne będzie zdefiniowanie współrzędnej, która pozwoli zweryfikować wartości X i Y, aby odnieść się do odpowiedniego wzoru K.

Wykresy odnoszące się do bezpośrednich proporcji są liniowe. Z drugiej strony wykresy odwrotnych funkcji proporcjonalnych zwykle przybierają postać hiperbol.

Zgodnie z tabelą wartości

W niektórych przypadkach istnieje tabela wartości z wartościami odpowiadającymi każdej iteracji zmiennej niezależnej. Zwykle wiąże się to z utworzeniem wykresu oprócz określenia wartości K.

Zgodnie z wyrażeniem analitycznym

Zwraca wyrażenie, które analitycznie definiuje funkcję. Wartość K można rozwiązać bezpośrednio lub można ją również wywnioskować z samego wyrażenia.

Bezpośrednią lub złożoną regułą trzech

W innych modelach ćwiczeń prezentowane są pewne dane, które odnoszą się do relacji między wartościami. W związku z tym konieczne jest zastosowanie bezpośredniej lub złożonej reguły trzech w celu określenia innych danych wymaganych w ćwiczeniu.

Historia

Pojęcie proporcjonalności zawsze istniało. Nie tylko w umyśle i pracy wielkich matematyków, ale w życiu codziennym ludności, ze względu na jej praktyczność i zastosowanie.

Bardzo często spotyka się sytuacje, które wymagają podejścia proporcjonalnego. Są one prezentowane w każdym przypadku, w którym konieczne jest porównanie zmiennych i zjawisk, które mają określone zależności.

Za pomocą osi czasu możemy scharakteryzować historyczne momenty, w których zastosowano matematyczne postępy w zakresie proporcjonalności.

- II wiek pne W Grecji przyjęto system przechowywania ułamków i proporcji.

- V wiek pne Proporcja odnosząca się do boku i przekątnej kwadratu została odkryta także w Grecji.

- 600 pne Tales z Miletu przedstawia swoje twierdzenie dotyczące proporcjonalności.

- Rok 900. System dziesiętny używany wcześniej w Indiach został rozszerzony w stosunkach i proporcjach. Wkład dokonany przez Arabów.

- XVII wiek. Składki dotyczące proporcji pojawiają się w obliczeniach Eulera.

- XIX wiek. Gauss wprowadza pojęcie liczby zespolonej i proporcji.

- Dwudziesty wiek. Proporcjonalność jako model funkcji została zdefiniowana przez Azcarate i Deulofeo.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Wymagane jest obliczenie wartości zmiennych x, y, z i g. Znajomość następujących relacji proporcjonalnych:

3x + 2y - 6z + 8g = 1925

x / 3 = y / 8 = z / 3 = g / 5

Przystępujemy do określenia względnych wartości stałej proporcjonalności. Można je uzyskać z drugiej relacji, gdzie wartość dzieląca każdą zmienną wskazuje na relację lub stosunek odnoszący się do K.

X = 3k y = 2k z = 3k g = 5k

Wartości są podstawiane w pierwszym wyrażeniu, gdzie nowy system zostanie oceniony w pojedynczej zmiennej k.

3 (3k) + 2 (2k) - 6 (3k) + 8 (5k) = 1925

9k + 4k -18k + 40k = 1925

35k = 1925

K = 1925/35 = 55

Korzystając z tej wartości stałej proporcjonalności, możemy znaleźć liczbę definiującą każdą ze zmiennych.

x = 3 (55) = 165 y = 2 (55) = 110

z = 3 (55) = 165 g = 5 (55) = 275

Ćwiczenie 2

Oblicz stałą proporcjonalności i wyrażenie definiujące funkcję, biorąc pod uwagę jej wykres.

Najpierw analizuje się wykres i uwidacznia jego liniowy charakter. Oznacza to, że jest to funkcja o bezpośredniej proporcjonalności i że wartość K zostanie uzyskana poprzez wyrażenie k = y / x

Następnie z wykresu wybierany jest możliwy do określenia punkt, to znaczy taki, w którym współrzędne, które go tworzą, są dokładnie widoczne.

W tym przypadku przyjmuje się punkt (2, 4). Skąd możemy ustalić następującą zależność.

K = 4/2 = 2

Zatem wyrażenie jest zdefiniowane przez funkcję y = kx, która w tym przypadku będzie

F (x) = 2x

Bibliografia

1. Matematyka dla elektryczności i elektroniki. Dr Arthur Kramer. Cengage Learning, 27 lipca 2012
2. Wizja 2020: Strategiczna rola badań operacyjnych. N. Ravichandran. Allied Publishers, 11 września 2005
3. Znajomość gramatyczna i arytmetyczna asystenta administracyjnego państwowego e-booka. MAD-Eduforma
4. Wzmocnienie matematyki dla wsparcia programu nauczania i dywersyfikacji: dla wsparcia programu nauczania i dywersyfikacji. Mª Lourdes Lázaro Soto. Narcea Ediciones, 29 sierpnia. 2003
5. Logistyka i zarządzanie handlowe. Maria José Escudero Serrano. Ediciones Paraninfo, SA, 1 września. 2013