WSPÓŁRZĘDNE SFERYCZNE: PRZYKŁADY I ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Te sferyczne współrzędne są zbiorem punktów położenie w przestrzeni trójwymiarowej składa się z promieniowej współrzędnych i dwie współrzędne kątowe zwane współrzędnych biegunowych i współrzędnych azymutu.

Rysunek 1, który widzimy poniżej, przedstawia sferyczne współrzędne (r, θ, φ) punktu M. Współrzędne te odnoszą się do ortogonalnego układu osi kartezjańskich X, Y, Z pochodzenia O.

Rysunek 1. Sferyczne współrzędne (r, θ, φ) punktu M. (wikimedia commons)

W tym przypadku współrzędna r punktu M jest odległością od tego punktu do początku O. Współrzędna biegunowa θ reprezentuje kąt między dodatnią półosiową Z a wektorem promienia OM. Natomiast współrzędna azymutalna φ to kąt między dodatnią półosiową X a wektorem promienia OM ', gdzie M' jest rzutem ortogonalnym M na płaszczyznę XY.

Współrzędna promieniowa r przyjmuje tylko wartości dodatnie, ale jeśli punkt znajduje się w początku, wówczas r = 0. Współrzędna biegunowa θ przyjmuje jako minimalną wartość 0º dla punktów położonych na dodatniej półosi Z, a maksymalna wartość 180º dla punktów znajduje się na ujemnej półosi Z. Ostatecznie współrzędna azymutalna φ przyjmuje minimalną wartość 0º i maksymalną wysokość 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Zmiana współrzędnych

Następnie zostaną podane wzory pozwalające na uzyskanie współrzędnych kartezjańskich (x, y, z) punktu M przy założeniu, że sferyczne współrzędne tego samego (r, θ, φ) punktu są znane:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

W ten sam sposób warto znaleźć relacje, które przechodzą od współrzędnych kartezjańskich (x, y, z) danego punktu do współrzędnych sferycznych tego punktu:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arktan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arktan (y / x)

Baza wektora we współrzędnych sferycznych

Ze współrzędnych sferycznych definiuje się ortonormalną bazę wektorów bazowych, które oznaczamy Ur , Uθ , Uφ . Na rysunku 1 pokazano te trzy wektory jednostkowe, które mają następujące cechy:

- Ur jest wektorem jednostkowym stycznym do linii promieniowej θ = ctte i φ = ctte;

- Uθ jest wektorem jednostkowym stycznym do łuku φ = ctte ir = ctte;

- Uφ jest wektorem jednostkowym stycznym do łuku r = ctte i θ = ctte.

Elementy liniowe i objętościowe we współrzędnych sferycznych

Wektor położenia punktu w przestrzeni we współrzędnych sferycznych jest zapisywany w następujący sposób:

r = r Ur

Ale nieskończenie mała zmiana lub przemieszczenie punktu w przestrzeni trójwymiarowej, w tych współrzędnych, jest wyrażone następującą relacją wektorową:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Wreszcie nieskończenie mała objętość dV we współrzędnych sferycznych jest zapisana w następujący sposób:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Zależności te są bardzo przydatne do obliczania całek liniowych i objętościowych w sytuacjach fizycznych, które mają symetrię sferyczną.

Związek ze współrzędnymi geograficznymi

Przez współrzędne geograficzne rozumie się te, które służą do lokalizacji miejsc na powierzchni Ziemi. Ten system wykorzystuje współrzędne szerokości i długości geograficznej do określenia położenia na powierzchni Ziemi.

W układzie współrzędnych geograficznych przyjmuje się, że powierzchnia Ziemi jest sferyczna o promieniu Rt, chociaż wiadomo, że jest spłaszczona na biegunach, i rozważany jest zestaw wyimaginowanych linii zwanych równoległościami i południkami.

Rysunek 2. Długość geograficzna α i szerokość geograficzna β obserwatora na powierzchni ziemi.

Szerokość geograficzna β to kąt utworzony przez promień, który zaczyna się od środka Ziemi do punktu, który chcesz ustawić. Jest mierzona od płaszczyzny równikowej, jak pokazano na rysunku 2. Z drugiej strony, długość geograficzna α jest kątem, jaki tworzy południk znajdującego się punktu względem południka zerowego (znanego jako południk Greenwich).

Szerokość geograficzna może być północna lub południowa, w zależności od tego, czy lokalizowane miejsce znajduje się na półkuli północnej, czy południowej. Podobnie długość geograficzna może być zachodnia lub wschodnia, w zależności od tego, czy położenie jest na zachód czy na wschód od południka zerowego.

Wzory do zmiany z geograficznego na sferyczny

Aby otrzymać te wzory, pierwszą rzeczą jest ustalenie układu współrzędnych. Płaszczyzna XY jest wybrana tak, aby pokrywać się z płaszczyzną równikową, przy czym dodatnia półosi X to ta, która biegnie od środka Ziemi i przechodzi przez południk zerowy. Z kolei oś Y przechodzi przez południk 90 ° E. Powierzchnia ziemi ma promień Rt.

W tym układzie współrzędnych transformacje z geograficznego do sferycznego wyglądają następująco:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Przykłady

Przykład 1

Współrzędne geograficzne Palma de Mallorca (Hiszpania) to:

Długość geograficzna wschodnia 38,847º i szerokość geograficzna północna 39,570º. Aby określić sferyczne współrzędne odpowiadające Palma de Mallorca, stosuje się pierwszą z formuł formuł z poprzedniej sekcji:

38 847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

Zatem sferyczne współrzędne to:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

W poprzedniej odpowiedzi przyjęto, że r jest równe średniemu promieniu Ziemi.

Przykład 2

Wiedząc, że wyspy Malwiny (Falklandy) mają współrzędne geograficzne 59ºO 51,75ºS, określ odpowiednie współrzędne biegunowe. Pamiętaj, że oś X biegnie od środka Ziemi do południka 0 ° i na płaszczyźnie równikowej; oś Y również w płaszczyźnie równikowej i przechodząca przez południk 90 ° zachodni; wreszcie oś Z na osi obrotu Ziemi w kierunku południe-północ.

Aby znaleźć wtedy odpowiednie współrzędne sferyczne, używamy wzorów przedstawionych w poprzedniej sekcji:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º), czyli

Malwiny: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Znajdź kartezjańskie współrzędne Palma de Mallorca w kartezjańskim układzie odniesienia XYZ pokazanym na rysunku 2.

Rozwiązanie: Wcześniej, w przykładzie 1, współrzędne sferyczne uzyskiwano, zaczynając od współrzędnych geograficznych Palma de Mallorca. Zatem przedstawione powyżej wzory można wykorzystać do przejścia od sferycznego do kartezjańskiego:

x = 6371 km Sen (50,43º) Cos (38,85º)

y = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º)

z = 6371 km Cos (50,43º)

Wykonując odpowiednie obliczenia mamy:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Ćwiczenie 2

Znajdź współrzędne kartezjańskie Falklandów w kartezjańskim układzie odniesienia XYZ pokazanym na rysunku 2.

Rozwiązanie: Wcześniej, w przykładzie 2, współrzędne sferyczne były uzyskiwane, zaczynając od współrzędnych geograficznych Malwinów. Zatem przedstawione powyżej wzory można wykorzystać do przejścia od sferycznego do kartezjańskiego:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141,75º)

Wykonując odpowiednie obliczenia, otrzymujemy:

Falklandy: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Bibliografia

1. Arfken G i Weber H. (2012). Metody matematyczne dla fizyków. Obszerny przewodnik. 7. edycja. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9 .Linki zewnętrzne
2. Obliczenie cc. Rozwiązano problemy współrzędnych cylindrycznych i sferycznych. Odzyskany z: calco.cc
3. Warsztaty astronomiczne. Szerokość i długość geograficzna. Odzyskane z: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. „Współrzędne sferyczne”. Z MathWorld-A Wolfram Web. Odzyskany z: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Sferyczny układ współrzędnych. Odzyskany z: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Pola wektorowe we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych. Odzyskany z: en.wikipedia.com