WSPÓŁRZĘDNE PROSTOKĄTNE: PRZYKŁADY I ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA

Te współrzędne prostokątne lub kartezjańskie są te, które otrzymuje się w prostopadle wystające z trzech osi kartezjańskich x, y, z, to punkt znajduje się w trzech - wymiarowej.

Osie kartezjańskie to wzajemnie zorientowane linie prostopadłe do siebie. W kartezjańskim układzie współrzędnych każdemu punktowi w przestrzeni przypisane są trzy liczby rzeczywiste, które są jego prostokątnymi współrzędnymi.

Rysunek 1. Prostokątne współrzędne punktu P (opracowanie własne)

Płaszczyzna to podprzestrzeń trójwymiarowej przestrzeni. W przypadku rozważania punktów na płaszczyźnie wystarczy jako układ kartezjański wybrać parę prostopadłych osi X, Y. Następnie każdemu punktowi na płaszczyźnie przypisywane są dwie liczby rzeczywiste, które są jego prostokątnymi współrzędnymi.

Pochodzenie współrzędnych prostokątnych

Współrzędne prostokątne zostały pierwotnie zaproponowane przez francuskiego matematyka René Descartes (1596 i 1650), dlatego nazywa się je kartezjańskimi.

Zgodnie z ideą Kartezjusza punktom płaszczyzny i przestrzeni przypisuje się liczby, tak że figurom geometrycznym jest skojarzone równanie algebraiczne, a klasyczne twierdzenia geometryczne można udowodnić algebraicznie. Wraz ze współrzędnymi kartezjańskimi rodzi się geometria analityczna.

Płaszczyzna kartezjańska

Jeśli w płaszczyźnie wybrano dwie prostopadłe proste, które przecinają się w punkcie O; a jeśli dodatkowo do każdej linii przypisany jest kierunek i skala liczbowa między kolejnymi równo odległymi punktami, to istnieje układ kartezjański lub płaszczyzna, w której każdy punkt płaszczyzny jest powiązany z uporządkowaną parą dwóch liczb rzeczywistych, które są odpowiednio ich rzutami na osie X i Y.

Punkty A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) i D = (3, -3) są przedstawione na płaszczyźnie kartezjańskiej, jak pokazano poniżej:

Rysunek 2. Punkty na płaszczyźnie kartezjańskiej. (Opracowanie własne)

Zwróć uwagę, że dwie osie X i Y dzielą płaszczyznę na cztery sektory zwane kwadrantami. Punkt A znajduje się w pierwszej ćwiartce, punkt B znajduje się w drugiej ćwiartce, punkt C znajduje się w trzeciej ćwiartce, a punkt D znajduje się w czwartej ćwiartce.

Odległość między dwoma punktami

Odległość między dwoma punktami A i B na płaszczyźnie kartezjańskiej to długość odcinka, który je łączy. Odległość tę można analitycznie obliczyć w następujący sposób:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)

Powyższy wzór otrzymujemy stosując twierdzenie Pitagorasa.

Stosując ten wzór do punktów A, B na rysunku 2 otrzymujemy:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Oznacza to, że d (A, B) = 5,10 jednostek. Zauważ, że odległość uzyskano bez konieczności mierzenia linijką, zastosowano całkowicie algebraiczną procedurę.

Analityczne przedstawienie linii

Prostokątne współrzędne umożliwiają analityczną reprezentację podstawowych obiektów geometrycznych, takich jak punkt i linia. Dwa punkty A i B definiują jedną linię. Nachylenie linii definiuje się jako iloraz różnicy współrzędnych Y punktu B minus A, podzielonej przez różnicę współrzędnych X punktu B minus A:

nachylenie = (By - Ay) / (Bx - Axe)

Każdy punkt P o współrzędnych (x, y), który należy do linii (AB), musi mieć takie samo nachylenie:

nachylenie = (y - Ay) / (x - Ax)

Równanie, które uzyskuje się przez równość nachyleń, jest analitycznym lub algebraicznym odwzorowaniem linii przechodzącej przez punkty A i B:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Jeśli weźmiemy dla A i B prostokątne współrzędne z rysunku 2, otrzymamy:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

W tym konkretnym przypadku mamy prostą o ujemnym nachyleniu -⅕, co oznacza, że lokalizując punkt na prostej i zwiększając współrzędną x o jedną jednostkę, współrzędna y zmniejsza się o 0,2 jednostki.

Najczęstszym sposobem zapisania równania prostej na płaszczyźnie jest wyczyszczenie współrzędnej y jako funkcji zmiennej x:

y = - (1/5) x + 13/5

Przykłady

Przykład 1

Wyznacz metodami analitycznymi odległość pomiędzy punktami C i A, będącymi prostokątnymi współrzędnymi C = (-2, -3) i A = (3,2).

Wzór na odległość euklidesową między tymi dwoma punktami jest zapisany w następujący sposób:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Zastępując ich odpowiednie współrzędne prostokątne otrzymujemy:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

Przykład 2

Uzyskaj równanie prostej przechodzącej przez punkt C o współrzędnych (-2, -3) i punkt P o współrzędnych (2, 0).

Najpierw uzyskuje się nachylenie linii CP:

nachylenie = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Każdy punkt Q o ogólnych współrzędnych prostokątnych (x, y), który należy do linii CP, musi mieć takie samo nachylenie:

nachylenie = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Innymi słowy, równanie linii CP to:

(y +3) / (x +2) = ¾

Alternatywnym sposobem zapisania równania prostej CP jest rozwiązanie dla y:

y = ¾ x - 3/2

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Uzyskaj prostokątne współrzędne punktu przecięcia się linii y = - (1/5) x + 13/5 i linii y = ¾ x - 3/2.

Rozwiązanie: z definicji punkt przecięcia dwóch linii ma te same współrzędne prostokątne. Dlatego współrzędne y w punkcie przecięcia są identyczne dla obu linii:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

co prowadzi do następującego wyrażenia:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

rozwiązując sumę ułamków, które otrzymujemy:

19/20 x = 41/10

Rozwiązywanie x:

x = 82/19 = 4,32

Aby otrzymać wartość y przecięcia, otrzymana wartość x jest podstawiana w dowolnym z wierszy:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Oznacza to, że podane proste przecinają się w punkcie I o współrzędnych I = (4,32; 1,74).

Ćwiczenie 2

Uzyskaj równanie obwodu, który przechodzi przez punkt R o współrzędnych prostokątnych (3, 4) i którego środek znajduje się na początku współrzędnych.

Rozwiązanie: Promień R to odległość od punktu R do początku O współrzędnych (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Oznacza to, że jest to okrąg o promieniu 5 ze środkiem w punkcie (0,0).

Każdy punkt P (x, y) na obwodzie musi mieć tę samą odległość 5 od środka (0, 0), aby można było zapisać:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

To jest do powiedzenia:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Aby wyeliminować pierwiastek kwadratowy, obaj członkowie równości są podnoszeni do kwadratu, uzyskując:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Jakie jest równanie obwodu.

Ten przykład ilustruje moc prostokątnego układu współrzędnych, który umożliwia wyznaczanie obiektów geometrycznych, takich jak obwód, bez konieczności używania papieru, ołówka i kompasu. Żądany obwód został określony wyłącznie metodami algebraicznymi.

Bibliografia

Arfken G i Weber H. (2012). Metody matematyczne dla fizyków. Obszerny przewodnik. 7. edycja. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9 .Linki zewnętrzne
Obliczenie cc. Rozwiązano problemy ze współrzędnymi prostokątnymi. Odzyskany z: calco.cc
Weisstein, Eric W. „Współrzędne kartezjańskie”. Z MathWorld-A Wolfram Web. Odzyskany z: mathworld.wolfram.com
wikipedia. Kartezjański układ współrzędnych. Odzyskany z: en.wikipedia.com

WSPÓŁRZĘDNE PROSTOKĄTNE: PRZYKŁADY I ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026