KRYTERIA PODZIELNOŚCI: CZYM SĄ, DO CZEGO SŁUŻĄ I ZASADY - MATEMATYKA - 2025

Te kryteria podzielność są argumenty teoretyczne stosowane do określenia, czy cała liczba jest podzielna przez inną liczbę całkowitą. Ponieważ podziały muszą być dokładne, kryterium to stosuje się tylko do zbioru liczb całkowitych Z. Na przykład liczba 123 jest podzielna przez trzy, zgodnie z kryterium podzielności 3, które zostanie określone później.

Mówi się, że podział jest dokładny, jeśli jego reszta jest równa zeru, a reszta to wartość różniczkowa uzyskana tradycyjną metodą ręcznego podziału. Jeśli reszta jest różna od zera, podział jest niedokładny i konieczne jest wyrażenie wynikowej liczby za pomocą wartości dziesiętnych.

Źródło: Pexels.com

Jakie są kryteria podzielności?

Jego największą użyteczność ustala się przed tradycyjnym ręcznym podziałem, w którym trzeba wiedzieć, czy po wykonaniu tego podziału zostanie uzyskana liczba całkowita.

Są powszechne w pozyskiwaniu korzeni metodą Ruffiniego i innymi procedurami związanymi z faktoringiem. Jest to popularne narzędzie dla studentów, którzy ze względów pedagogicznych nie mogą jeszcze korzystać z kalkulatorów ani cyfrowych narzędzi obliczeniowych.

Najpopularniejsze zasady

Istnieją kryteria podzielności dla wielu liczb całkowitych, które są najczęściej używane do pracy z liczbami pierwszymi. Można je jednak stosować również z innymi typami liczb. Niektóre z tych kryteriów zostały zdefiniowane poniżej.

Kryterium podzielności jednej „1”

Nie ma konkretnego kryterium podzielności dla numeru jeden. Konieczne jest jedynie ustalenie, że każda liczba całkowita jest podzielna przez jeden. Dzieje się tak, ponieważ każda liczba pomnożona przez jeden pozostaje niezmieniona.

Kryterium podzielności dwóch "2"

Potwierdza się, że liczba jest podzielna przez dwa, jeśli jej ostatnia cyfra lub liczba odnosząca się do jednostek jest równa zero lub parzysta.

Obserwuje się następujące przykłady:

234: Jest podzielna przez 2, ponieważ kończy się na 4, co jest liczbą parzystą.

2035: Nie można go podzielić przez 2, ponieważ 5 nie jest parzyste.

1200: Jest podzielna przez 2, ponieważ jej ostatnia cyfra to zero.

Kryterium podzielności trzech „3”

Cyfra będzie podzielna przez trzy, jeśli suma jej oddzielnych cyfr jest równa wielokrotności trzech.

123: Jest podzielna przez trzy, ponieważ suma jego składników 1 + 2 + 3 = 6 = 3 x 2

451: Nie jest podzielna przez 3, co jest weryfikowane przez sprawdzenie, czy 4 + 5 +1 = 10, nie jest to wielokrotność trzech.

Kryterium podzielności czterech "4"

Aby określić, czy liczba jest wielokrotnością czterech, musisz sprawdzić, czy jej ostatnie dwie cyfry to 00 lub wielokrotność czterech.

3822: Obserwując ostatnie dwie cyfry „22”, można szczegółowo określić, że nie są one wielokrotnością czterech, dlatego liczba ta nie jest podzielna przez 4.

644: Wiemy, że 44 = 4 x 11, więc 644 jest podzielne przez cztery.

3200: Ponieważ jego ostatnie cyfry to 00, stwierdza się, że liczba ta jest podzielna przez cztery.

Kryterium podzielności pięciu „5”

Jest całkiem intuicyjne, że kryterium podzielności liczby pięć polega na tym, że ostatnia cyfra jest równa pięć lub zero. Ponieważ w tabeli pięciu widać, że wszystkie wyniki kończą się jedną z tych dwóch liczb.

350, 155 i 1605 to według tego kryterium liczby podzielne przez pięć.

Kryterium podzielności sześciu "6"

Aby liczba była podzielna przez sześć, musi być prawdą, że jest ona podzielna w tym samym czasie między 2 a 3. Ma to sens, ponieważ rozkład 6 równa się 2 × 3.

Aby sprawdzić podzielność przez sześć, kryteria dla 2 i 3 są analizowane oddzielnie.

468: Kończąc liczbą parzystą spełnia kryterium podzielności przez 2. Dodając osobno cyfry składające się na tę liczbę, otrzymujemy 4 + 6 + 8 = 18 = 3 x 6. Kryterium podzielności 3 jest spełnione. Dlatego 468 jest podzielne przez sześć.

622: Jego parzysta liczba odpowiadająca jednostkom wskazuje, że jest podzielna przez 2. Ale dodając osobno jej cyfry 6 + 2 + 2 = 10, co nie jest wielokrotnością 3. W ten sposób sprawdza się, że 622 nie jest podzielne przez sześć .

Kryterium podzielności siedmiu "7"

W przypadku tego kryterium pełny numer należy podzielić na 2 części; jednostki i pozostała część liczby. Kryterium podzielności przez siedem będzie polegało na tym, że odjęcie między liczbą bez jednostek a podwójną liczbą jednostek jest równe zeru lub wielokrotności siedmiu.

Najlepiej można to zrozumieć na przykładach.

133: Liczba bez jedynek to 13, a dwa razy większa to 3 × 2 = 6. W ten sposób przystępujemy do odejmowania. 13 - 6 = 7 = 7 × 1. Zapewnia to, że liczba 133 jest podzielna przez 7.

8435: Wykonywane jest odejmowanie 843 - 10 = 833. Zauważając, że 833 jest nadal zbyt duże, aby określić podzielność, proces jest stosowany jeszcze raz. 83 - 6 = 77 = 7 x 11. Zatem liczba 8435 jest podzielna przez siedem.

Osiem kryterium podzielności „8”

Musi być prawdą, że ostatnie trzy cyfry liczby to 000 lub wielokrotność 8.

3456 i 73000 są podzielne przez osiem.

Kryterium podzielności dziewięciu „9”

Podobnie jak w przypadku kryterium podzielności trzech, należy sprawdzić, czy suma jego oddzielnych cyfr jest równa wielokrotności dziewięciu.

3438: Kiedy suma jest obliczona, otrzymujemy 3 + 4 + 3 + 8 = 18 = 9 x 2. W ten sposób zweryfikowano, że 3438 jest podzielne przez dziewięć.

1451: Dodawanie cyfr osobno, 1 + 4 + 5 + 1 = 11. Ponieważ nie jest to wielokrotność dziewięciu, sprawdza się, że liczba 1451 nie jest podzielna przez dziewięć.

Kryterium podzielności dziesięciu „10”

Tylko liczby kończące się na zero będą podzielne przez dziesięć.

20, 1000 i 2030 są podzielne przez dziesięć.

Kryterium podzielności jedenastu "11"

Jest to jeden z najbardziej złożonych, jednak działający w porządku gwarantuje łatwą weryfikację. Aby liczba była podzielna przez jedenaście, musi być spełnione, że suma cyfr na pozycji parzystej minus suma cyfr w pozycji nieparzystej jest równa zero lub wielokrotności jedenastu.

39,369: Suma liczb parzystych wyniesie 9 + 6 = 15. A suma liczb na pozycji nieparzystej wynosi 3 + 3 + 9 = 15. W ten sposób, odejmując 15 - 15 = 0, sprawdza się, że 39 369 jest podzielne przez jedenaście.

Bibliografia

1. Kryteria podzielności. NN Vorobyov. University of Chicago Press, 1980
2. Elementarna teoria liczb w dziewięciu rozdziałach. James J. Tattersall. Cambridge University Press, 14 października 1999
3. Historia teorii liczb: podzielność i pierwotność. Leonard Eugene Dickson. Chelsea Pub. Co., 1971
4. Podzielność przez 2 potęgi pewnych kwadratowych liczb klas. Peter Stevenhagen. Uniwersytet Amsterdamski, Wydział Matematyki i Informatyki, 1991
5. Arytmetyka elementarna. Enzo R. Gentile. Sekretariat Generalny Organizacji Państw Amerykańskich, Regionalny Program Rozwoju Naukowego i Technologicznego, 1985