Aby wiedzieć, jaki jest pierwiastek kwadratowy z 3 , należy znać definicję pierwiastka kwadratowego z danej liczby.
Biorąc pod uwagę dodatnią liczbę „a”, pierwiastek kwadratowy z „a”, oznaczony przez √a, jest liczbą dodatnią „b” taką, że po pomnożeniu przez nią „b” otrzymamy wynik „a”.
Definicja matematyczna mówi: √a = b wtedy i tylko wtedy, gdy b² = b * b = a.
Dlatego, aby wiedzieć, jaki jest pierwiastek kwadratowy z 3, czyli wartość √3, należy znaleźć liczbę „b” taką, że b² = b * b = √3.
Ponadto √3 jest liczbą niewymierną, więc składa się z nieskończonej nieokresowej liczby miejsc dziesiętnych. Z tego powodu trudno jest ręcznie obliczyć pierwiastek kwadratowy z 3.
Pierwiastek kwadratowy z 3
Jeśli używasz kalkulatora, zobaczysz, że pierwiastek kwadratowy z 3 to 1,73205080756887 …
Teraz możesz ręcznie spróbować oszacować tę liczbę w następujący sposób:
-1 * 1 = 1 i 2 * 2 = 4, to mówi, że pierwiastek kwadratowy z 3 to liczba między 1 a 2.
-1,7 * 1,7 = 2,89 i 1,8 * 1,8 = 3,24, więc pierwsze miejsce po przecinku to 7.
-1,73 * 1,73 = 2,99 i 1,74 * 1,74 = 3,02, więc drugie miejsce po przecinku to 3.
-1,732 * 1,732 = 2,99 i 1,733 * 1,733 = 3,003, więc trzecie miejsce po przecinku to 2.
I tak dalej możesz kontynuować. Jest to ręczny sposób obliczania pierwiastka kwadratowego z 3.
Istnieją również inne znacznie bardziej zaawansowane techniki, takie jak metoda Newtona-Raphsona, która jest metodą numeryczną służącą do obliczania przybliżeń.
Gdzie możemy znaleźć liczbę √3?
Ze względu na złożoność liczby można by pomyśleć, że nie pojawia się ona w przedmiotach codziennego użytku, ale jest to nieprawda. Jeśli mamy sześcian (kwadrat kwadratowy), którego długość boków wynosi 1, to przekątne sześcianu będą miały miarę √3.
Aby to sprawdzić, stosuje się twierdzenie Pitagorasa, które mówi: biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny, przeciwprostokątna do kwadratu jest równa sumie kwadratów nóg (c² = a² + b²).
Mając sześcian o boku 1, mamy, że przekątna kwadratu jego podstawy jest równa sumie kwadratów nóg, to znaczy c² = 1² + 1² = 2, więc przekątna podstawy mierzy √2.
Teraz, aby obliczyć przekątną sześcianu, można zaobserwować następujący rysunek.
Nowy trójkąt prostokątny ma nogi o długościach 1 i √2, dlatego korzystając z twierdzenia Pitagorasa do obliczenia długości jego przekątnej otrzymujemy: C² = 1² + (√2) ² = 1 + 2 = 3, czyli powiedzmy, C = √3.
Zatem długość przekątnej sześcianu o boku 1 jest równa √3.
√3 liczba niewymierna
Na początku powiedziano, że √3 jest liczbą niewymierną. Aby to sprawdzić, zakłada się przez absurdalność, że jest to liczba wymierna, z którą istnieją dwie liczby „a” i „b”, względne liczby pierwsze, takie, że a / b = √3.
Po podniesieniu ostatniej równości do kwadratu i rozwiązaniu dla „a²” otrzymujemy następujące równanie: a² = 3 * b². To mówi, że „a²” jest wielokrotnością 3, co prowadzi do wniosku, że „a” jest wielokrotnością 3.
Ponieważ „a” jest wielokrotnością 3, istnieje taka liczba całkowita „k”, że a = 3 * k. Dlatego zastępując w drugim równaniu otrzymujemy: (3 * k) ² = 9 * k² = 3 * b², czyli to samo co b² = 3 * k².
Tak jak poprzednio, ta ostatnia równość prowadzi do wniosku, że „b” jest wielokrotnością 3.
Podsumowując, „a” i „b” są wielokrotnościami 3, co jest sprzecznością, ponieważ pierwotnie zakładano, że są to liczby pierwsze względne.
Dlatego √3 jest liczbą niewymierną.
Bibliografia
- Bails, B. (1839). Zasady aryzmatyczne. Wydrukowane przez Ignacio Cumplido.
- Bernadeta, JO (1843). Kompletny podstawowy traktat o rysunku liniowym z zastosowaniami w sztuce. José Matas.
- Herranz, DN i Quirós. (1818). Arytmetyka uniwersalna, czysta, testamentowa, kościelna i handlowa. drukarnia z Fuentenebro.
- Preciado, CT (2005). Kurs matematyki 3. Redakcja Progreso.
- Szecsei, D. (2006). Podstawy matematyki i wstępnej algebry (ilustrowana red.). Kariera Prasa.
- Vallejo, JM (1824). Arytmetyka dla dzieci… Imp. To było od Garcíi.