ILE ROZWIĄZAŃ MA RÓWNANIE KWADRATOWE? - MATEMATYKA - 2026

Równanie kwadratowe lub równanie kwadratowe może mieć zero, jedno lub dwa rozwiązania rzeczywiste, w zależności od współczynników, które pojawiają się w tym równaniu.

Jeśli pracujesz na liczbach zespolonych, możesz powiedzieć, że każde równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

Po pierwsze, równanie kwadratowe jest równaniem w postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi, a x jest zmienną.

Mówi się, że x1 jest rozwiązaniem poprzedniego równania kwadratowego, jeśli zastąpienie x przez x1 spełnia równanie, to znaczy, jeśli a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Jeśli na przykład mamy równanie x²-4x + 4 = 0, to rozwiązaniem jest x1 = 2, ponieważ (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Wręcz przeciwnie, jeśli podstawimy x2 = 0, otrzymamy (0) ²-4 (0) + 4 = 4, a ponieważ 4 ≠ 0 to x2 = 0 nie jest rozwiązaniem równania kwadratowego.

Rozwiązania równania kwadratowego

Liczbę rozwiązań równania kwadratowego można podzielić na dwa przypadki, którymi są:

jeden.-

Podczas pracy z liczbami rzeczywistymi równania kwadratowe mogą mieć:

-Rozwiązania zerowe: to znaczy, nie ma liczby rzeczywistej, która spełniałaby równanie kwadratowe. Na przykład w równaniu z równaniem x² + 1 = 0 nie ma takiej liczby rzeczywistej, która spełnia to równanie, ponieważ oba x² są większe lub równe zero, a 1 jest ściśle większe od zera, więc ich suma będzie większa ścisłe niż zero.

-Powtarzane rozwiązanie: istnieje jedna wartość rzeczywista, która spełnia równanie kwadratowe. Na przykład jedynym rozwiązaniem równania x²-4x + 4 = 0 jest x1 = 2.

-Dwa różne rozwiązania: istnieją dwie wartości, które spełniają równanie kwadratowe. Na przykład x² + x-2 = 0 ma dwa różne rozwiązania, które są x1 = 1 i x2 = -2.

2.- W liczbach zespolonych

Podczas pracy z liczbami zespolonymi równania kwadratowe zawsze mają dwa rozwiązania, które są z1 i z2, gdzie z2 jest sprzężeniem z z1. Można je również podzielić na:

-Kompleksy: rozwiązania mają postać z = p ± qi, gdzie p i q są liczbami rzeczywistymi. Ten przypadek odpowiada pierwszemu przypadkowi na poprzedniej liście.

-Czyste kompleksy: występuje, gdy część rzeczywista rozwiązania jest równa zeru, to znaczy rozwiązanie ma postać z = ± qi, gdzie q jest liczbą rzeczywistą. Ten przypadek odpowiada pierwszemu przypadkowi na poprzedniej liście.

-Kompleksy z częścią urojoną równą zero: to jest, gdy zespolona część rozwiązania jest równa zeru, to znaczy rozwiązanie jest liczbą rzeczywistą. Ten przypadek odpowiada dwóm ostatnim przypadkom na poprzedniej liście.

Jak znaleźć rozwiązania równania kwadratowego?

Aby obliczyć rozwiązania równania kwadratowego, używa się wzoru znanego jako „resolvent”, który mówi, że rozwiązania równania ax² + bx + c = 0 są podane przez wyrażenie na poniższym obrazku:

Wielkość, która pojawia się w pierwiastku kwadratowym, nazywana jest dyskryminatorem równania kwadratowego i jest oznaczana literą „d”.

Równanie kwadratowe będzie miało:

-Dwa rzeczywiste rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy d> 0.

-Rzeczywiste rozwiązanie powtórzone wtedy i tylko wtedy, gdy d = 0.

-Zero rozwiązań rzeczywistych (lub dwóch rozwiązań złożonych) wtedy i tylko wtedy, gdy d <0.

Przykłady:

-Rozwiązania równania x² + x-2 = 0 są dane wzorem:

-Równanie x²-4x + 4 = 0 ma powtórzone rozwiązanie, które jest dane wzorem:

-Rozwiązania równania x² + 1 = 0 są dane wzorem:

Jak widać w tym ostatnim przykładzie, x2 jest koniugatem x1.

Bibliografia

1. Fuentes, A. (2016). PODSTAWOWA MATEMATYKA. Wprowadzenie do rachunku różniczkowego. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematyka: równania kwadratowe.: Jak rozwiązywać równanie kwadratowe. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF i Paul, RS (2003). Matematyka dla zarządzania i ekonomii. Edukacja Pearson.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematyka 1 WRZ. Próg.
5. Preciado, CT (2005). Kurs matematyki 3. Redakcja Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I jest łatwa! Tak łatwo. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra i trygonometria. Edukacja Pearson.