POCHODNA COTANGENS: OBLICZENIA, DOWÓD, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Pochodną cotangens jest równy przeciwnemu do kwadratu cosecans „-Csc ² ”. Ta formuła z definicji jest zgodna z prawami pochodnej i różniczkowania funkcji trygonometrycznych. Jest oznaczony następująco:

d (ctg u) = -csc ² u. du

Gdzie „du” symbolizuje wyrażenie pochodzące z funkcji argumentu w odniesieniu do zmiennej niezależnej.

Źródło: Pixabay.com

Jak to jest obliczane?

Procedura tworzenia tych pochodnych jest dość prosta. Wystarczy poprawnie zidentyfikować argument i typ funkcji, którą reprezentuje.

Na przykład wyrażenie Ctg (f / g) ma w argumencie podział. Będzie to wymagało rozróżnienia na U / V, po opracowaniu pochodnej cotangens.

Cotangens jest odwrotnością stycznej. Algebraicznie oznacza to, że:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Nie można powiedzieć, że funkcja cotangens jest „odwrotnością” stycznej. Dzieje się tak, ponieważ odwrotna funkcja styczna z definicji jest styczną łukową.

(Tg ^-1 x) = arctg x

Zgodnie z trygonometrią Pitagorasa cotangens jest zaangażowany w następujące sekcje:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Zgodnie z trygonometrią analityczną reaguje na następujące tożsamości:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

Charakterystyka funkcji cotangens

Konieczne jest przeanalizowanie różnych charakterystyk funkcji f (x) = ctg x w celu określenia aspektów niezbędnych do zbadania jej różniczkowalności i zastosowania.

Asymptoty pionowe

Funkcja cotangens nie jest zdefiniowana dla wartości, które powodują, że wyrażenie „Senx” wynosi zero. Ze względu na jego odpowiednik Ctg x = (cos x) / (sin x), będzie miał nieokreśloność we wszystkich „nπ” z n należącym do liczb całkowitych.

Oznacza to, że w każdej z tych wartości x = nπ będzie asymptota pionowa. W miarę zbliżania się z lewej strony wartość cotangens gwałtownie spada, a gdy zbliżasz się z prawej strony, funkcja będzie rosła w nieskończoność.

Domena

Dziedzinę funkcji cotangens wyraża zbiór {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Czyta się to jako „x należący do zbioru liczb rzeczywistych, tak że x różni się od nπ, gdzie n należy do zbioru liczb całkowitych”.

Ranga

Zakres funkcji cotangens wynosi od minus do plus nieskończoności. W związku z tym można stwierdzić, że jego ranga to zbiór liczb rzeczywistych R.

Częstotliwość

Funkcja cotangens jest okresowa, a jej okres jest równy π. W ten sposób spełniona jest równość Ctg x = Ctg (x + nπ), gdzie n należy do Z.

Zachowanie

Jest to funkcja nieparzysta, ponieważ Ctg (-x) = - Ctg x. W ten sposób wiadomo, że funkcja przedstawia symetrię względem początku współrzędnych. Przedstawia również spadek w każdym przedziale znajdującym się między 2 kolejnymi asymptotami pionowymi.

Nie ma wartości maksymalnych ani minimalnych, ze względu na fakt, że jego aproksymacje do asymptot pionowych przedstawiają zachowania, w których funkcja rośnie lub maleje w nieskończoność.

Zera lub pierwiastki funkcji cotangens znajdują się w nieparzystych wielokrotnościach π / 2. Oznacza to, że Ctg x = 0 zachodzi dla wartości w postaci x = nπ / 2 z n nieparzystą liczbą całkowitą.

Demonstracja

Istnieją 2 sposoby udowodnienia pochodnej funkcji cotangens.

Trygonometryczny dowód różnicowy

Udowodniono pochodną funkcji cotangens od jej odpowiednika w sinusach i cosinusach.

Jest traktowany jako pochodna podziału funkcji

Po wyprowadzeniu czynniki są grupowane, a celem jest naśladowanie tożsamości pitagorejskiej

Zastępowanie tożsamości i stosowanie wzajemności, wyrażenie

Dowód z definicji pochodnej

Poniższe wyrażenie z definicji odpowiada pochodnej. Gdzie odległość między 2 punktami funkcji zbliża się do zera.

Zastępując cotangens mamy:

Tożsamości są stosowane do sumy argumentów i wzajemności

Ułamek licznika jest tradycyjnie obsługiwany

Eliminując przeciwstawne elementy i biorąc wspólny czynnik, otrzymujemy

Stosując tożsamości pitagorejskie i wzajemność musimy

Elementy oceniane w x są stałe w stosunku do granicy, dlatego mogą pozostawić argument tego. Następnie stosowane są właściwości granic trygonometrycznych.

Limit jest oceniany

Następnie jest uwzględniany aż do osiągnięcia żądanej wartości

Pochodna cotangens jest zatem przedstawiana jako przeciwieństwo kwadratu cosecansa.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Na podstawie funkcji f (x) zdefiniuj wyrażenie f '(x)

Odpowiednie wyprowadzenie jest stosowane zgodnie z regułą łańcucha

Wyprowadzenie argumentu

Czasami konieczne jest zastosowanie tożsamości odwrotnych lub trygonometrycznych, aby dostosować rozwiązania.

Ćwiczenie 2

Zdefiniuj wyrażenie różniczkowe odpowiadające F (x)

Zgodnie z formułą wyprowadzenia i przestrzeganiem zasady łańcucha

Argument jest wyprowadzany, podczas gdy reszta pozostaje taka sama

Wyprowadzenie wszystkich elementów

Działający w tradycyjny sposób produkty o tej samej bazie

Dodawane są równe elementy i wyodrębniany jest wspólny czynnik

Znaki są uproszczone i obsługiwane. Dając drogę do w pełni pochodnego wyrażenia

Bibliografia

1. Seria trygonometryczna, tom 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
2. Rachunek pojedynczej zmiennej. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 listopada 2008
3. Rachunek różniczkowy z trygonometrią i geometrią analityczną. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Wydawcy Saksońscy, 1988
4. Analiza wielu zmiennych. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 grudnia. 2010
5. Dynamika systemu: modelowanie, symulacja i sterowanie systemami mechatronicznymi. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 marca 2012
6. Rachunek: matematyka i modelowanie. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 stycznia 1999