POCHODNE ALGEBRAICZNE (Z PRZYKŁADAMI) - MATEMATYKA - 2026

W algebraiczne pochodne obejmują badania z pochodną w przypadku funkcji algebraicznych. Pochodzenie pojęcia pochodnej sięga starożytnej Grecji. Motywacją do rozwoju tego pojęcia była potrzeba rozwiązania dwóch ważnych problemów, jednego z fizyki, a drugiego z matematyki.

W fizyce pochodna rozwiązuje problem wyznaczania chwilowej prędkości poruszającego się obiektu. W matematyce pozwala znaleźć styczną do krzywej w danym punkcie.

Chociaż jest naprawdę znacznie więcej problemów, które można rozwiązać za pomocą pochodnej, a także jej uogólnień, wyników pojawiły się po wprowadzeniu jej koncepcji.

Pionierami rachunku różniczkowego są Newton i Leibniz. Zanim podamy formalną definicję, będziemy rozwijać ideę, która za nią stoi, z matematycznego i fizycznego punktu widzenia.

Pochodna jako nachylenie stycznej do krzywej

Załóżmy, że wykres funkcji y = f (x) jest wykresem ciągłym (bez szczytów, wierzchołków lub przerw) i niech A = (a, f (a)) będzie na nim stałym punktem. Chcemy znaleźć równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A.

Weźmy dowolny inny punkt P = (x, f (x)) na wykresie, blisko punktu A i narysujmy sieczną linię przechodzącą przez A i P. Sieczna to linia przecinająca wykres krzywej o jeden lub więcej punktów.

Aby otrzymać styczną, którą chcemy, musimy tylko obliczyć nachylenie, ponieważ mamy już punkt na prostej: punkt A.

Jeśli przesuniemy punkt P wzdłuż wykresu i będziemy coraz bliżej punktu A, wspomniana wcześniej sieczna zbliży się do stycznej, którą chcemy znaleźć. Przyjmując granicę, gdy „P zmierza do A”, obie linie będą się pokrywać, a zatem ich nachylenia również.

Nachylenie siecznej linii jest określone przez

Powiedzenie, że P zbliża się do A, jest równoważne stwierdzeniu, że „x” zbliża się do „a”. Zatem nachylenie stycznej do wykresu f w punkcie A będzie równe:

Powyższe wyrażenie jest oznaczone przez f '(a) i jest zdefiniowane jako pochodna funkcji f w punkcie „a”. Widzimy zatem, że analitycznie pochodna funkcji w punkcie jest granicą, ale geometrycznie jest to nachylenie stycznej do wykresu funkcji w punkcie.

Teraz przyjrzymy się temu pojęciu z punktu widzenia fizyki. Dojdziemy do tego samego wyrażenia poprzedniego ograniczenia, chociaż inną drogą, uzyskując w ten sposób jednomyślność definicji.

Pochodna jako chwilowa prędkość poruszającego się obiektu

Spójrzmy na krótki przykład tego, co oznacza prędkość chwilowa. Gdy mówi się np., Że samochód, który dojechał do celu, robił to z prędkością 100 km na godzinę, czyli w ciągu godziny przejechał 100 km.

Niekoniecznie oznacza to, że przez całą godzinę samochód przejeżdżał zawsze 100 km, prędkościomierz samochodu mógł w niektórych momentach wskazywać mniej lub więcej. Gdybyś musiał zatrzymać się na światłach, twoja prędkość wynosiła w tym czasie 0 km. Jednak po godzinie podróż wynosiła 100 km.

Jest to tak zwana prędkość średnia i jest wyrażona jako iloraz przebytej odległości i czasu, który upłynął, jak właśnie widzieliśmy. Z drugiej strony prędkość chwilowa to ta, która oznacza wskazówkę prędkościomierza samochodu w danej chwili (czasie).

Spójrzmy teraz na to bardziej ogólnie. Załóżmy, że obiekt porusza się wzdłuż linii i że to przemieszczenie jest reprezentowane przez równanie s = f (t), gdzie zmienna t mierzy czas, a zmienna s przemieszczenie, biorąc pod uwagę jej początek w moment t = 0, w którym to czasie jest również równy zero, czyli f (0) = 0.

Ta funkcja f (t) jest znana jako funkcja pozycji.

Szukane jest wyrażenie określające chwilową prędkość obiektu w ustalonej chwili „a”. Przy tej prędkości oznaczymy to przez V (a).

Niech będzie jakikolwiek moment bliski chwili „a”. W przedziale czasowym między „a” i „t” zmianę położenia obiektu określa f (t) -f (a).

Średnia prędkość w tym przedziale czasowym wynosi:

Jest to przybliżenie prędkości chwilowej V (a). To przybliżenie będzie lepsze, gdy t zbliży się do „a”. A zatem,

Zwróć uwagę, że to wyrażenie jest takie samo, jak to otrzymane w poprzednim przypadku, ale z innej perspektywy. Jest to tak zwana pochodna funkcji f w punkcie „a” i jest oznaczana przez f '(a), jak stwierdzono powyżej.

Zauważ, że dokonując zmiany h = xa, mamy to, że gdy „x” zmierza do „a”, „h” zmierza do 0, a poprzednie ograniczenie jest przekształcane (w równoważny sposób) do:

Oba wyrażenia są równoważne, ale czasami lepiej jest użyć jednego zamiast drugiego, w zależności od przypadku.

Pochodna funkcji f w dowolnym punkcie „x” należącym do jej dziedziny jest następnie definiowana w bardziej ogólny sposób jako

Najczęstszą notacją reprezentującą pochodną funkcji y = f (x) jest ta, którą właśnie widzieliśmy (f 'lub y'). Jednak inną powszechnie używaną notacją jest notacja Leibniza, która jest reprezentowana jako jedno z następujących wyrażeń:

Ponieważ pochodna jest zasadniczo granicą, może ona istnieć lub nie, ponieważ granice nie zawsze istnieją. Jeśli istnieje, mówi się, że dana funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie.

Funkcja algebraiczna

Funkcja algebraiczna to połączenie wielomianów za pomocą dodawania, odejmowania, iloczynów, ilorazów, potęg i rodników.

Wielomian jest wyrazem formy

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Gdzie n jest liczbą naturalną, a wszystkie a _i , gdzie i = 0,1, …, n, są liczbami wymiernymi, a _n ≠ 0. W tym przypadku mówi się, że stopień tego wielomianu wynosi n.

Oto przykłady funkcji algebraicznych:

Funkcje wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne nie są tu uwzględnione. Reguły wyprowadzania, które zobaczymy dalej, obowiązują ogólnie dla funkcji, ale ograniczymy się i zastosujemy je w przypadku funkcji algebraicznych.

Zasady obejścia

Pochodna stałej

Stwierdza, że ​​pochodna stałej wynosi zero. To znaczy, jeśli f (x) = c, to f '(x) = 0. Na przykład pochodna funkcji stałej 2 jest równa 0.

Pochodna potęgi

Jeśli f (x) = x ⁿ , to f '(x) = nx ^n-1 . Na przykład pochodna x ³ to 3x ² . W konsekwencji tego otrzymujemy, że pochodna funkcji tożsamości f (x) = x to f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Inny przykład jest następujący: niech f (x) = 1 / x ² , a następnie f (x) = x ^-2 if '(x) = - 2x ^-2-1 = ^{-2x -3} .

Ta właściwość jest również prawidłowym korzeniem, ponieważ korzenie są potęgami wymiernymi i powyższe można również zastosować w tym przypadku. Na przykład pochodna pierwiastka kwadratowego jest określona przez

Pochodna dodawania i odejmowania

Jeśli f i g są funkcjami różniczkowalnymi w x, to suma f + g jest również różniczkowalna i jest spełnione, że (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Podobnie mamy to (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Innymi słowy, pochodna sumy (odejmowanie) jest sumą (lub odejmowaniem) pochodnych.

Przykład

Jeśli h (x) = x ² + x-1, to

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Pochodzi z produktu

Jeśli f i g są funkcjami różniczkowalnymi w x, to iloczyn fg jest również różniczkowalny w x i to prawda

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

W konsekwencji wynika, że ​​jeśli c jest stałą, a f jest funkcją różniczkowalną w x, to cf jest również różniczkowalna w x i (cf) '(x) = cf' (X).

Przykład

Jeśli f (x) = 3x (x ² +1), to

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Pochodna ilorazu

Jeśli f i g są różniczkowalne w x i g (x) ≠ 0, to f / g jest również różniczkowalne w x, i jest prawdą, że

Przykład: jeśli h (x) = x ³ / (x ² -5x), to

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

Zasada łańcuchowa

Ta reguła pozwala wyprowadzić kompozycję funkcji. Powiedz, co następuje: jeśli y = f (u) jest różniczkowalna przy u, yu = g (x) jest różniczkowalna przy x, to złożona funkcja f (g (x)) jest różniczkowalna przy x i prawdą jest, że '= f '(g (x)) g' (x).

Oznacza to, że pochodna funkcji złożonej jest iloczynem pochodnej funkcji zewnętrznej (pochodna zewnętrzna) i pochodnej funkcji wewnętrznej (pochodna wewnętrzna).

Przykład

Jeśli f (x) = (x ⁴ -2x) ³ , to

F '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Istnieją również wyniki obliczania pochodnej odwrotności funkcji, a także uogólnienia na pochodne wyższego rzędu. Aplikacje są obszerne. Wśród nich wyróżnia się przydatność w problemach optymalizacyjnych oraz funkcje maksymalne i minimalne.

Bibliografia

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Rachunek różniczkowy. ITM.
2. Cabrera, VM (1997). Obliczenie 4000. Od redakcji Progreso.
3. Castaño, HF (2005). Matematyka przed obliczeniami. Uniwersytet Medellin.
4. Eduardo, NA (2003). Wprowadzenie do rachunku różniczkowego. Edycje progowe.
5. Fuentes, A. (2016). PODSTAWOWA MATEMATYKA. Wprowadzenie do rachunku różniczkowego. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE i Varberg, DE (2007). Obliczenie. Edukacja Pearson.
7. Saenz, J. (2005). Rachunek różniczkowy (wyd. Drugie). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, GB i Weir, MD (2006). Obliczenia: kilka zmiennych. Edukacja Pearson.