- Jak rozwiązuje się niejawne instrumenty pochodne?
- Zasada łańcuchowa
- Kolejność operacyjna
- Domniemany
- Historia
- Aplikacje
- Rozwiązane ćwiczenia
- Ćwiczenie 1
- Ćwiczenie 2
- Bibliografia
Te ukryte pochodne są narzędzia używane w różnicowanie techniki stosowanej do funkcji. Stosuje się je, gdy przy użyciu zwykłych metod nie można znaleźć wyprowadzenia zmiennej zależnej. Klirens ten jest wykonywany jako funkcja zmiennej niezależnej.
Na przykład w wyrażeniu 3xy 3 - 2y + xy 2 = xy nie można uzyskać wyrażenia definiującego „y” jako funkcję „x”. Tak więc, wyprowadzając wyrażenie różniczkowe dy / dx można otrzymać.
Jak rozwiązuje się niejawne instrumenty pochodne?
Aby rozwiązać niejawną pochodną, zaczynamy od niejawnego wyrażenia. Na przykład: 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0. To zostało już poprawnie rozwiązane, jednak zrobienie tego nie jest warunkiem koniecznym do uzyskania pochodnej y względem x. Następnie każdy z elementów jest wyprowadzany zgodnie z regułą łańcucha dla funkcji mieszanych:
3xy 3 składa się z 2 zmiennych, dlatego d (3xy 3 ) będzie traktowane jako pochodna iloczynu funkcji.
d (3xy 3 ) / dx = 3y 3 + 3y 2. (3x) y '= 3y 3 + 9xy 2 y'
Gdzie element y 'jest znany jako „y pierwsza” i reprezentuje dy / dx
-2y Wyprowadza się zgodnie z prawem KU = K.U '
d (-2y) = -2 lat '
xy 2 zakłada inną różniczkę złożoną z iloczynu funkcji
d (xy 2 ) = y 2 + 2xy y '
-xy jest traktowane homologicznie
d (-xy) = -y - x y '
Są podstawiane w równości, wiedząc, że pochodna zera wynosi zero.
3y 3 + 9xy 2 y '- 2 y' + y 2 + 2xy y '- y - x y' = 0
Elementy, które mają wyraz y ', są zgrupowane po jednej stronie równości
3y 3 + y 2 - y = -9xy 2 y '+ 2 y' + x y '
Współczynnik y 'jest wyodrębniany z prawej strony równości
3y 3 + y 2 - y = y '(-9xy 2 + x + 2)
Wreszcie termin, który mnoży y ', zostaje usunięty. Uzyskanie w ten sposób wyrażenia odpowiadającego niejawnej pochodnej y względem x.
y '= dy / dx = (3y 3 + y 2 - y) / (- 9xy 2 + x + 2)
Zasada łańcuchowa
W niejawnym wyprowadzaniu zawsze przestrzegana jest reguła łańcucha. Wszystkie wyrażenia różniczkowe zostaną podane jako funkcja zmiennej niezależnej X. Zatem każda zmienna θ inna niż X musi po wyprowadzeniu zawierać wyraz dθ / dx.
Termin ten pojawi się tylko w pierwszym stopniu lub z wykładnikiem równym 1. Ta jakość jest całkowicie jasna w tradycyjnych metodach faktoringu. W ten sposób można otrzymać wyrażenie określające różnicę dθ / dx.
Reguła łańcucha pokazuje progresywny charakter procesu różnicowania lub pochodnego. Gdzie dla każdej funkcji złożonej f, mamy, że wyrażenie różniczkowe f będzie
Kolejność operacyjna
W każdym stosowanym wzorze lub prawie wyprowadzenia należy wziąć pod uwagę kolejność zmiennych. Kryteria związane ze zmienną niezależną są przestrzegane, bez zmiany jej korelacji ze zmienną zależną.
Związek zmiennej zależnej w momencie wyprowadzenia jest brany bezpośrednio; Z wyjątkiem tego, że będzie to traktowane jako druga funkcja, dlatego stosowane jest kryterium reguły łańcucha dla funkcji mieszanych.
Można to rozwinąć w wyrażeniach zawierających więcej niż 2 zmienne. Na tych samych zasadach zostaną oznaczone wszystkie różniczki odnoszące się do zmiennych zależnych.
Graficznie obsługiwane jest to samo kryterium, które definiuje pochodną. Podczas gdy pochodną jest nachylenie stycznej do krzywej w płaszczyźnie, pozostałe różniczki należące do zmiennych zależnych (dy / dx, dz / dx) reprezentują płaszczyzny styczne do ciał wektorów opisanych przez funkcje wielu zmiennych.
Domniemany
Funkcja mówi się wprost określony jeśli ekspresja y = f (x) może być przedstawiony jako wielofunkcyjny zmiennej f (x, y) = 0, o ile K jest zdefiniowana w R 2, płaszczyźnie .
3xy 3 - 2y + xy 2 = xy można zapisać w postaci 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0
Wobec niemożności uczynienia funkcji y = f (x) jawną.
Historia
Różniczkowy rachunek różniczkowy zaczęto nazywać od około XVII wieku różnych matematyków. Po raz pierwszy wspomniano o tym dzięki wkładowi Newtona i Leibniza. Obaj traktowali rachunek różniczkowy z różnych punktów widzenia, ale wyniki były zbieżne.
Podczas gdy Newton skupiał się na różnicowaniu jako szybkości lub szybkości zmian, podejście Leibniza było bardziej geometryczne. Można powiedzieć, że Newton zaatakował przypuszczenia pozostawione przez Apoloniusza z Perge i Leibniza idee geometryczne Fermata.
Ukryte wyprowadzenie pojawia się natychmiast po rozważeniu równań różniczkowych i całkowych. To rozszerzyło geometryczną koncepcję Leibniza na R 3, a nawet na przestrzenie wielowymiarowe.
Aplikacje
Niejawne pochodne są używane w różnych sytuacjach. Występują często w problemach z kursem wymiany między powiązanymi zmiennymi, gdzie w zależności od sensu badania zmienne będą uważane za zależne lub niezależne.
Mają również ciekawe zastosowania geometryczne, takie jak problemy z odbiciami lub cieniami, na figurach, których kształt można modelować matematycznie.
Są często wykorzystywane w dziedzinach ekonomii i inżynierii, a także w różnych badaniach zjawisk przyrodniczych i eksperymentalnych budynkach.
Rozwiązane ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Zdefiniuj niejawne wyrażenie, które definiuje dy / dx
Każdy element wyrażenia jest zróżnicowany
Ustanowienie reguły łańcucha w każdym właściwym przypadku
Grupowanie po jednej stronie równości elementów, które mają dy / dx
Jest rozłożony na czynniki przy użyciu wspólnego współczynnika
Jest rozwiązany, uzyskując żądane wyrażenie
Ćwiczenie 2
Zdefiniuj niejawne wyrażenie, które definiuje dy / dx
Wyrażanie pochodnych do wykonania
Wyprowadzanie niejawne zgodnie z regułą łańcucha
Faktoring wspólnych elementów
Grupowanie terminu dy / dx po jednej stronie równości
Czynnik wspólny dla elementu różniczkowego
Izolujemy i uzyskujemy poszukiwane wyrażenie
Bibliografia
- Rachunek pojedynczej zmiennej. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 listopada 2008
- Twierdzenie o funkcjach niejawnych: historia, teoria i zastosowania. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 listopada. 2012
- Analiza wielu zmiennych. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 grudnia. 2010
- Dynamika systemu: modelowanie, symulacja i sterowanie systemami mechatronicznymi. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 marca 2012
- Rachunek: matematyka i modelowanie. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 stycznia 1999