KOLEJNE POCHODNE (Z ROZWIĄZANYMI ĆWICZENIAMI) - MATEMATYKA - 2025

W kolejnych pochodnych są te, które pochodzą z jednej funkcji po drugiej pochodnej. Proces obliczania kolejnych pochodnych jest następujący: mamy funkcję f, którą możemy wyprowadzić i otrzymać w ten sposób funkcję pochodną f '. Możemy ponownie wyprowadzić tę pochodną funkcji f, uzyskując (f ')'.

Ta nowa funkcja nazywana jest drugą pochodną; wszystkie pochodne obliczane od drugiej są następujące po sobie; Te, nazywane również wyższego rzędu, mają wielkie zastosowania, takie jak dostarczanie informacji o wykresie funkcji, test drugiej pochodnej dla ekstremów względnych i wyznaczanie nieskończonych szeregów.

Definicja

Używając notacji Leibniza, otrzymujemy, że pochodna funkcji „y” względem „x” to dy / dx. Aby wyrazić drugą pochodną „y” za pomocą notacji Leibniza, piszemy następująco:

Generalnie możemy wyrazić kolejne pochodne w następujący sposób za pomocą notacji Leibniza, gdzie n reprezentuje rząd pochodnej.

Inne używane oznaczenia są następujące:

Oto kilka przykładów, w których możemy zobaczyć różne notacje:

Przykład 1

Otrzymaj wszystkie pochodne funkcji f zdefiniowane przez:

Używając zwykłych technik wyprowadzania, otrzymujemy, że pochodna f to:

Powtarzając ten proces, możemy otrzymać drugą pochodną, ​​trzecią pochodną i tak dalej.

Zauważ, że czwarta pochodna to zero, a pochodna zera to zero, więc mamy:

Przykład 2

Oblicz czwartą pochodną następującej funkcji:

Wyprowadzając daną funkcję otrzymujemy w wyniku:

Prędkość i przyspieszenie

Jedną z motywacji, która doprowadziła do odkrycia tej pochodnej, było poszukiwanie definicji prędkości chwilowej. Formalna definicja jest następująca:

Niech y = f (t) będzie funkcją, której wykres opisuje trajektorię cząstki w czasie t, wówczas jej prędkość w czasie t jest dana wzorem:

Po uzyskaniu prędkości cząstki możemy obliczyć przyspieszenie chwilowe, które definiuje się następująco:

Chwilowe przyspieszenie cząstki, której droga jest określona wzorem y = f (t), wynosi:

Przykład 1

Cząstka porusza się po linii zgodnie z funkcją pozycji:

Gdzie „y” jest mierzone w metrach, a „t” w sekundach.

- W którym momencie jego prędkość wynosi 0?

- W którym momencie jego przyspieszenie wynosi 0?

Wyprowadzając funkcję położenia «i» otrzymujemy, że jej prędkość i przyspieszenie są określone przez:

Aby odpowiedzieć na pierwsze pytanie, wystarczy określić, kiedy funkcja v osiąga zero; to jest:

W analogiczny sposób przechodzimy do następującego pytania:

Przykład 2

Cząstka porusza się po prostej zgodnie z następującym równaniem ruchu:

Określ „t, y” i „v”, gdy a = 0.

Wiedząc, że prędkość i przyspieszenie są podane przez

Przystępujemy do wyprowadzenia i uzyskania:

Dokonując a = 0, mamy:

Skąd możemy wywnioskować, że wartość t, aby a było równe zero, wynosi t = 1.

Następnie, oceniając funkcję położenia i funkcję prędkości przy t = 1, otrzymujemy:

Aplikacje

Jawne wyprowadzenie

Kolejne pochodne można również uzyskać przez niejawne wyprowadzenie.

Przykład

Biorąc pod uwagę następującą elipsę, znajdź „y”:

Wyprowadzając niejawnie względem x, mamy:

Następnie niejawnie ponowne wyprowadzenie w odniesieniu do x daje nam:

Wreszcie mamy:

Względne skrajności

Innym zastosowaniem, jakie możemy zastosować dla pochodnych drugiego rzędu, jest obliczenie względnych ekstremów funkcji.

Kryterium pierwszej pochodnej dla ekstremów lokalnych mówi nam, że jeśli mamy ciągłą funkcję f na przedziale (a, b) i istnieje c, które należy do wspomnianego przedziału, takie że f 'znika w c (to znaczy, że c jest punktem krytycznym), może wystąpić jeden z trzech przypadków:

- Jeśli f´ (x)> 0 dla dowolnego x należącego do (a, c) if´ (x) <0 dla x należącego do (c, b), to f (c) jest lokalnym maksimum.

- Jeśli f´ (x) <0 dla dowolnego x należącego do (a, c) if´ (x)> 0 dla x należącego do (c, b), to f (c) jest lokalnym minimum.

- Jeśli f´ (x) ma ten sam znak w (a, c) i w (c, b), oznacza to, że f (c) nie jest ekstremum lokalnym.

Korzystając z kryterium drugiej pochodnej, możemy wiedzieć, czy liczba krytyczna funkcji jest lokalnym maksimum, czy minimum, bez konieczności sprawdzania, jaki jest znak funkcji w wyżej wymienionych przedziałach.

Kryterium drugiego dryfu mówi nam, że jeśli f´ (c) = 0 i że f´´ (x) jest ciągłe w (a, b), zdarza się, że jeśli f´´ (c)> 0, to f (c) jest lokalnym minimum i jeśli f´´ (c) <0, to f (c) jest lokalnym maksimum.

Jeśli f´´ (c) = 0, nie możemy niczego wywnioskować.

Przykład

Mając funkcję f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² , znajdź względne maksima i minima funkcji f, korzystając z kryterium drugiej pochodnej.

Najpierw obliczamy f´ (x) i f´´ (x) i otrzymujemy:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Teraz f´ (x) = 0 jeśli i tylko wtedy, gdy 4x (x + 2) (x - 1) = 0, a dzieje się tak, gdy x = 0, x = 1 lub x = - 2.

Aby określić, czy otrzymane wartości krytyczne są ekstremami względnymi, wystarczy ocenić w f´´ i obserwować w ten sposób jej znak.

f´´ (0) = - 8, więc f (0) jest lokalnym maksimum.

f´´ (1) = 12, więc f (1) jest lokalnym minimum.

f´´ (- 2) = 24, więc f (- 2) jest lokalnym minimum.

Seria Taylora

Niech f będzie funkcją zdefiniowaną następująco:

Ta funkcja ma promień zbieżności R> 0 i ma pochodne wszystkich rzędów w (-R, R). Kolejne pochodne funkcji f dają nam:

Przyjmując x = 0, możemy otrzymać wartości c _n jako funkcję ich pochodnych w następujący sposób:

Jeśli weźmiemy = 0 jako funkcję f (to znaczy f ^ 0 = f), to możemy przepisać funkcję w następujący sposób:

Rozważmy teraz funkcję jako szereg potęg przy x = a:

Gdybyśmy przeprowadzili analizę analogiczną do poprzedniej, otrzymalibyśmy funkcję f jako:

Te serie są znane jako szereg Taylora od f do a. Gdy a = 0, mamy szczególny przypadek zwany szeregiem Maclaurina. Ten typ szeregów ma duże znaczenie matematyczne, zwłaszcza w analizie numerycznej, ponieważ dzięki nim możemy definiować funkcje w komputerach, takie jak e ^x , sin (x) i cos (x).

Przykład

Zdobądź serię Maclaurina dla e ^x .

Zauważ, że jeśli f (x) = e ^x , to f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x if ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, więc jego szereg Maclaurina jest następujący:

Bibliografia

1. Frank Ayres, J. i Mendelson, E. (nd). Obliczenie 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Obliczenia z geometrią analityczną. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D. i Rigdon, SE (2007). Obliczenie. Meksyk: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Rachunek różniczkowy. Przeciwprostokątna.
5. Saenz, J. (nd). Rachunek całkowy. Przeciwprostokątna.