Dodatek rozkładu dodatniej liczby całkowitej składa wyrażenia go w postaci sumy dwóch lub więcej dodatnimi liczbami całkowitymi. Zatem mamy, że liczbę 5 można wyrazić jako 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 lub 5 = 1 + 2 + 2. Każdy z tych sposobów zapisywania liczby 5 nazywamy dekompozycją addytywną.

Jeśli zwrócimy uwagę, zobaczymy, że wyrażenia 5 = 2 + 3 i 5 = 3 + 2 przedstawiają tę samą kompozycję; oba mają te same numery. Jednak dla wygody każdy z dodatków jest zwykle zapisywany zgodnie z kryterium od najniższego do najwyższego.

Rozkład addytywny

Jako inny przykład możemy wziąć liczbę 27, którą możemy wyrazić jako:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Dekompozycja addytywna jest bardzo przydatnym narzędziem, które pozwala nam wzmocnić naszą wiedzę o systemach numeracji.

Kanoniczny rozkład addytywny

Kiedy mamy liczby zawierające więcej niż dwie cyfry, szczególnym sposobem ich rozłożenia jest wielokrotność 10, 100, 1000, 10 000 itd., Które ją tworzą. Ten sposób zapisu dowolnej liczby nazywany jest kanonicznym rozkładem addytywnym. Na przykład liczbę 1456 można rozłożyć w następujący sposób:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Jeśli mamy liczbę 20 846 295, jej kanoniczny rozkład addytywny będzie wyglądał następująco:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Dzięki tej dekompozycji widzimy, że wartość danej cyfry zależy od zajmowanej przez nią pozycji. Weźmy jako przykład liczby 24 i 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Tutaj widzimy, że w 24 2 ma wartość 20 jednostek, a 4 ma wartość 4 jednostek; z drugiej strony w 42 4 ma wartość 40 jednostek, a 2 z dwóch jednostek. Tak więc, chociaż obie liczby używają tych samych cyfr, ich wartości są zupełnie inne ze względu na zajmowaną pozycję.

Aplikacje

Jednym z zastosowań, jakie możemy zastosować do rozkładu addytywnego, są pewne typy dowodów, w których bardzo przydatne jest postrzeganie dodatniej liczby całkowitej jako sumy innych.

Przykładowe twierdzenie

Jako przykład weźmy następujące twierdzenie wraz z odpowiednimi dowodami.

- Niech Z będzie 4-cyfrową liczbą całkowitą, wtedy Z jest podzielne przez 5, jeśli odpowiadająca mu liczba jednostek wynosi zero lub pięć.

Demonstracja

Pamiętajmy, czym jest podzielność. Jeśli mamy liczby całkowite „a” i „b”, mówimy, że „a” dzieli „b”, jeśli istnieje liczba całkowita „c” taka, że ​​b = a * c.

Jedna z właściwości podzielności mówi nam, że jeśli „a” i „b” są podzielne przez „c”, to odejmowanie „ab” jest również podzielne.

Niech Z będzie 4-cyfrową liczbą całkowitą; dlatego możemy zapisać Z jako Z = ABCD.

Korzystając z kanonicznej dekompozycji addytywnej mamy:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Oczywiste jest, że A * 1000 + B * 100 + C * 10 jest podzielne przez 5. W tym celu mamy, że Z jest podzielne przez 5, jeśli Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) jest podzielne przez 5.

Ale Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D i D to liczba jednocyfrowa, więc jedynym sposobem na podzielenie jej przez 5 jest 0 lub 5.

Dlatego Z jest podzielne przez 5, jeśli D = 0 lub D = 5.

Zauważ, że jeśli Z ma n cyfr, dowód jest dokładnie taki sam, zmienia się tylko to, że teraz napiszemy Z = A ₁ A ₂ … A _n, a celem będzie udowodnienie, że A _n wynosi zero lub pięć.

Partycje

Mówimy, że podział dodatniej liczby całkowitej jest jednym ze sposobów zapisania liczby jako sumy dodatnich liczb całkowitych.

Różnica między rozkładem addytywnym a podziałem polega na tym, że podczas gdy pierwszy z nich dąży do tego, aby przynajmniej można go było rozłożyć na dwa lub więcej dodatków, podział nie ma tego ograniczenia.

Tak więc mamy:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Powyższe partycje to 5.

To znaczy, mamy, że każdy rozkład addytywny jest podziałem, ale nie każda partycja jest koniecznie dekompozycją addytywną.

W teorii liczb fundamentalne twierdzenie arytmetyki gwarantuje, że każda liczba całkowita może być jednoznacznie zapisana jako iloczyn liczb pierwszych.

Podczas badania partycji celem jest określenie, na ile sposobów dodatnią liczbę całkowitą można zapisać jako sumę innych liczb całkowitych. Dlatego definiujemy funkcję partycji w sposób przedstawiony poniżej.

Definicja

Funkcja podziału p (n) jest zdefiniowana jako liczba sposobów, na jakie dodatnia liczba całkowita n może być zapisana jako suma dodatnich liczb całkowitych.

Wracając do przykładu 5, mamy to:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Zatem p (5) = 7.

Grafika

Zarówno podziały, jak i dekompozycje addytywne liczby n można przedstawić geometrycznie. Załóżmy, że mamy rozkład addytywny n. W tym rozkładzie sumy można ustawić tak, aby składowe sumy były uporządkowane od najmniej do największej. Więc dobrze:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r z

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤… ≤ a _r .

Możemy wykreślić ten rozkład w następujący sposób: w pierwszym rzędzie zaznaczamy ₁ -punkty, następnie w następnym zaznaczamy ₂ -punkty i tak dalej, aż osiągniemy _r .

Weźmy na przykład liczbę 23 i jej następujący rozkład:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Zamawiamy ten rozkład i mamy:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Odpowiedni wykres wyglądałby tak: