ROZKŁAD LICZB NATURALNYCH (PRZYKŁADY I ĆWICZENIA) - MATEMATYKA - 2026

Rozkładu liczb naturalnych można podawać na różne sposoby: jako iloczyn czynniki pierwsze, jako sumę potęg dwóch i rozkładu dodatków. Zostaną one szczegółowo wyjaśnione poniżej.

Przydatną właściwością potęg dwójki jest to, że mogą one przekształcić liczbę z systemu dziesiętnego na liczbę z systemu binarnego. Na przykład 7 (liczba w systemie dziesiętnym) jest odpowiednikiem liczby 111, ponieważ 7 = (2 ^ 2) + (2 ^ 1) + (2 ^ 0).

Liczby naturalne służą do liczenia

Liczby naturalne to liczby, za pomocą których można policzyć i policzyć obiekty. W większości przypadków uważa się, że liczby naturalne zaczynają się od 1. Liczb tych uczy się w szkole i są przydatne w prawie wszystkich czynnościach życia codziennego.

Sposoby dekompozycji liczb naturalnych

Jak wspomniano wcześniej, istnieją trzy różne sposoby dekompozycji liczb naturalnych.

Rozkład jako iloczyn czynników pierwszych

Każdą liczbę naturalną można wyrazić jako iloczyn liczb pierwszych. Jeśli liczba jest już liczbą pierwszą, jej rozkład jest mnożony przez jeden.

Jeśli nie, dzieli się przez najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą jest podzielna (może być jeden lub kilka razy), aż do uzyskania liczby pierwszej.

Na przykład:

5 = 5 * 1.

15 = 3 * 5.

28 = 2 * 2 * 7.

624 = 2 * 312 = 2 * 2 * 156 = 2 * 2 * 2 * 78 = 2 * 2 * 2 * 2 * 39 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 13.

175 = 5 * 35 = 5 * 5 * 7.

Rozkład jako suma potęg 2

Inną interesującą właściwością jest to, że dowolną liczbę naturalną można wyrazić jako sumę potęg 2. Na przykład:

1 = 2 ^ 0.

2 = 2 ^ 1.

3 = 2 ^ 1 + 2 ^ 0.

4 = 2 ^ 2.

5 = 2 ^ 2 + 2 ^ 0.

6 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1.

7 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0.

8 = 2 ^ 3.

15 = 2 ^ 3 + 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0.

Rozkład addytywny

Innym sposobem rozłożenia liczb naturalnych jest rozważenie ich dziesiętnego systemu liczbowego i wartości miejsca każdej cyfry.

Uzyskuje się to, biorąc pod uwagę liczby od prawej do lewej i zaczynając od jednostka, dziesięć, sto, jednostka tysiąc, dziesięć tysięcy, sto tysięcy, jednostka milion itd. Ta jednostka jest mnożona przez odpowiedni system numeracji.

Na przykład:

239 = 2 * 100 + 3 * 10 + 9 * 1 = 200 + 30 + 9.

4893 = 4 * 1000 + 8 * 100 + 9 * 10 + 3 * 1.

Ćwiczenia i rozwiązania

Rozważ liczbę 865236. Znajdź jej rozkład na iloczyn liczb pierwszych, sumę potęg 2 i rozkład addytywny.

Rozkład na iloczyn liczb pierwszych

- Ponieważ 865236 jest parzyste, możesz być pewien, że najmniejsza liczba pierwsza, przez którą jest podzielna, wynosi 2.

-Dzieląc przez 2 otrzymujesz: 865236 = 2 * 432618. Ponownie otrzymujesz parzystą liczbę.

- Kontynuuje dzielenie aż do uzyskania liczby nieparzystej. Następnie: 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309.

-Ostatnia liczba jest nieparzysta, ale można ją podzielić przez 3, ponieważ suma jej cyfr to.

-Tak więc 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309 = 2 * 2 * 3 * 72103. Liczba 72103 jest liczbą pierwszą.

-Dlatego pożądany rozkład jest ostatni.

Rozkład

-Poszukiwana jest najwyższa potęga 2, która jest najbliższa 865236.

-To jest 2 ^ 19 = 524288. Teraz powtórz to samo dla różnicy 865236 - 524288 = 340948.

- Najbliższa potęga w tym przypadku to 2 ^ 18 = 262144. Teraz kontynuujemy 340948-262144 = 78804.

-W tym przypadku najbliższa potęga to 2 ^ 16 = 65536. Kontynuuj 78804 - 65536 = 13268 i otrzymamy, że najbliższa potęga to 2 ^ 13 = 8192.

-Teraz z 13268 - 8192 = 5076 i otrzymujesz 2 ^ 12 = 4096.

-Wtedy 5076 - 4096 = 980 i mamy 2 ^ 9 = 512. Kontynuujemy z 980 - 512 = 468, a najbliższa potęga to 2 ^ 8 = 256.

-Teraz pojawia się 468 - 256 = 212 z 2 ^ 7 = 128.

-Następnie 212-128 = 84 z 2 ^ 6 = 64.

-Teraz 84 - 64 = 20 z 2 ^ 4 = 16.

-W końcu 20-16 = 4 z 2 ^ 2 = 4.

Wreszcie musisz:

865 236 = 2 ^ 19 + 2 ^ 18 + 2 ^ 16 + 2 ^ 13 + 2 ^ 12 + 2 ^ 9 + 2 ^ 8 + 2 ^ 7 + 2 ^ 6 + 2 ^ 4 + 2 ^ 2.

Rozkład addytywny

Identyfikując jednostki, mamy, że jednostka odpowiada liczbie 6, dziesiątce do 3, stu do 2, jednostce od tysiąca do 5, dziesiątce od tysiąca do 6, a setce od tysiąca do 8.

Następnie,

865236 = 8 * 100 000 + 6 * 10 000 + 5 * 1 000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 6

= 800 000 + 60 000 + 5 000 + 200 + 30 + 6.

Bibliografia

1. Barker, L. (2011). Wyrównane teksty matematyki: liczby i operacje. Materiały stworzone przez nauczyciela.
2. Burton, M., French, C. i Jones, T. (2011). Używamy liczb. Firma edukacyjna Benchmark.
3. Doudna, K. (2010). Nikt nie śpi, gdy używamy liczb! Wydawnictwo ABDO.
4. Fernández, JM (1996). Projekt Chemical Bond Approach. Przywróć.
5. Hernández, J. d. (sf). Notatnik matematyczny. Próg.
6. Lahora, MC (1992). Zajęcia matematyczne z dziećmi w wieku od 0 do 6 lat. Edycje Narcea.
7. Marín, E. (1991). Gramatyka hiszpańska. Redakcja Progreso.
8. Tocci, RJ i Widmer, NS (2003). Systemy cyfrowe: zasady i zastosowania. Edukacja Pearson.