ŚREDNICA: SYMBOLE I WZORY, JAK TO UZYSKAĆ, OBWÓD - MATEMATYKA - 2026

Średnica jest linia prosta przechodząca przez środek płaskiej krzywej zamkniętej lub w postaci w dwóch lub trzech wymiarach, a także łączy się jego przeciwległych punktach. Zwykle jest to okrąg (płaska krzywa), okrąg (płaska figura), kula lub prawy okrągły cylinder (trójwymiarowe obiekty).

Chociaż obwód i koło są zwykle traktowane jako synonimy, istnieje różnica między tymi dwoma terminami. Obwód to zamknięta krzywa otaczająca okrąg, która spełnia warunek, że odległość między dowolnym z jego punktów a środkiem jest taka sama. Ta odległość to nic innego jak promień obwodu. Zamiast tego okrąg jest płaską figurą ograniczoną obwodem.

Rysunek 1. Średnica kół rowerowych jest ważną cechą ich konstrukcji. Źródło: Pixabay.

W przypadku obwodu, koła i kuli, średnica jest prostym odcinkiem zawierającym co najmniej trzy punkty: środek plus dwa punkty krawędzi obwodu lub koła lub powierzchnię kuli.

A jeśli chodzi o prawy walec kołowy, to średnica odnosi się do przekroju poprzecznego, który wraz z wysokością jest jego dwoma charakterystycznymi parametrami.

Średnica obwodu i koła, symbolizowana przez ø lub po prostu litera „D” lub „d”, jest związana z jego obwodem, konturem lub długością, co jest oznaczone literą L:

L = π D = π. lub

Iloraz długości i średnicy obwodu ilorazem jego długości i średnicy jest liczbą niewymierną π = 3,14159…, w ten sposób:

π = L / D

Jak uzyskać średnicę?

Kiedy masz rysunek obwodu lub koła, lub bezpośrednio okrągły przedmiot, na przykład moneta lub pierścień, bardzo łatwo jest znaleźć średnicę za pomocą linijki. Musisz tylko upewnić się, że krawędź linijki dotyka jednocześnie dwóch punktów na obwodzie i jej środka.

Suwmiarka, noniusz lub suwmiarka doskonale nadają się do pomiaru zewnętrznych i wewnętrznych średnic monet, obręczy, pierścieni, nakrętek, rur i nie tylko.

Rysunek 2. Noniusz cyfrowy mierzący średnicę monety. Źródło: Pixabay.

Jeśli zamiast obiektu lub jego rysunku mamy takie dane jak promień R, to mnożąc przez 2 otrzymujemy średnicę. A jeśli długość lub obwód obwodu jest znana, średnicę można również poznać, usuwając:

Innym sposobem na określenie średnicy jest znajomość obszaru koła, powierzchni kulistej, przekroju poprzecznego cylindra, zakrzywionego obszaru cylindra lub objętości kuli lub cylindra. Wszystko zależy od tego, jaka to figura geometryczna. Na przykład średnica dotyczy następujących obszarów i objętości:

-Powierzchnia koła : π. (D / 2) ²
-Powierzchnia powierzchni kuli : 4π. (D / 2) ²
-Objętość kuli : (4/3) π. (D / 2) ³
-Objętość prawy okrągły cylinder : π. (D / 2) ² .H (H to wysokość cylindra)

Liczby o stałej szerokości

Okrąg jest płaską figurą o stałej szerokości, ponieważ gdziekolwiek na nie spojrzysz, szerokość jest średnicą D. Są jednak inne, być może mniej znane figury, których szerokość jest również stała.

Najpierw zobaczmy, co rozumiemy przez szerokość figury: jest to odległość między dwiema równoległymi liniami - podporami -, które z kolei są prostopadłe do danego kierunku i które uwięzią figurę, jak pokazano na lewym obrazku:

Rysunek 3. Szerokość dowolnej płaskiej figury (po lewej) i trójkąta Reuleaux, figura o stałej szerokości (po prawej). Źródło: F. Zapata.

Po prawej stronie znajduje się trójkąt Reuleaux, który jest figurą o stałej szerokości i spełnia warunek określony na lewym rysunku. Jeśli szerokość figury wynosi D, jej obwód jest określony przez twierdzenie Barbiera:

L = π.D

Kanały miasta San Francisco w Kalifornii mają kształt trójkąta Reuleaux, nazwanego na cześć niemieckiego inżyniera Franza Reuleaux (1829 - 1905). W ten sposób pokrywki nie mogą spaść przez otwór, a do ich produkcji zużywa się mniej materiału, ponieważ ich powierzchnia jest mniejsza niż powierzchnia koła:

A = (1- √3). ΠD ² = 0,705 D ²

Podczas gdy dla kręgu:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0,785. D ²

Ale ten trójkąt nie jest jedyną figurą o stałej szerokości. Możesz zbudować tak zwane wielokąty Reuleaux z innymi wielokątami, które mają nieparzystą liczbę boków.

Średnica obwodu

Na kolejnym rysunku znajdują się elementy koła, zdefiniowane w następujący sposób:

Akord : odcinek linii łączący dwa punkty na obwodzie. Na rysunku jest cięciwa, która łączy punkty C i D, ale można narysować nieskończone akordy łączące dowolną parę punktów na obwodzie.

Średnica : to cięciwa przechodząca przez środek, łącząca dwa punkty obwodu ze środkiem O. Jest to najdłuższa cięciwa w obwodzie, dlatego nazywana jest „akordem durowym”.

Promień : odcinek linii łączący środek z dowolnym punktem na obwodzie. Jego wartość, podobnie jak średnica, jest stała.

Obwód : jest to zbiór wszystkich punktów w równej odległości od O.

Łuk : jest definiowany jako odcinek obwodu ograniczony dwoma promieniami (nie pokazany na rysunku).

Rysunek 4. Części obwodu, w tym średnica, która przechodzi przez środek. Źródło: Wikimedia Commons.

- Przykład 1

Pokazany prostokąt ma 10 cali wysokości i po zwinięciu tworzy prawy okrągły cylinder o średnicy 5 cali. Odpowiedz na następujące pytania:

Rysunek 5. Zwinięty prostokąt staje się prawym okrągłym walcem. Źródło: Jiménez, R. Mathematics II. Geometria i trygonometria. 2nd. Wydanie. Osoba.

a) Jaki jest kontur rury?
b) Wyznacz pole prostokąta
c) Wyznacz pole przekroju poprzecznego walca.

Rozwiązanie

Obrys rury to L = π, D = 5 π in = 15,71 cala.

Rozwiązanie b

Pole prostokąta to podstawa x wysokość, z już obliczoną podstawą L i wysokością 10 cali zgodnie z oświadczeniem, dlatego:

A = 15,71 cala x 10 cali = 157,1 cala ² .

Rozwiązanie c

Ostatecznie żądana powierzchnia jest obliczana w następujący sposób:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 cali ) ² = 19,63 cala ² .

- Przykład 2

Oblicz zacieniowany obszar na Rysunku 5a. Kwadrat ma bok L.

Rysunek 6. Znajdź zacieniony obszar na lewym rysunku. Jiménez, R. Matematyka II. Geometria i trygonometria. 2nd. Wydanie. Osoba.

Rozwiązanie

Na rysunku 5b narysowano dwa identyczne półkola w kolorze różowym i niebieskim, nałożone na pierwotny rysunek. Między nimi zataczają pełne koło. Jeśli znajdziesz pole kwadratu i odejmiesz obszar koła, utworzysz zacieniony obszar na rysunku 5b. Przyglądając się uważnie, okazuje się, że jest to połowa zacienionego obszaru na 5a.

-Powierzchnia kwadratowa: L ²
-Średnica półkola: L
-Powierzchnia koła: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ²
-Różnica pól = połowa zacieniowanego obszaru =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0,2146 L ²

-Zacieniony obszar = 2 x 0,2146 L ² = 0,4292 L2

Ile średnic ma obwód?

Możesz narysować nieskończoną średnicę na okręgu, a każda z nich mierzy to samo.

Bibliografia

1. Antonio. Trójkąty Reuleaux i inne krzywe o stałej szerokości. Odzyskane z: divulgators.com.
2. Baldor, A. 2002. Geometria płaszczyzny i przestrzeni oraz trygonometria. Grupa Kulturalna Patria.
3. Jiménez, R. Matematyka II. Geometria i trygonometria. 2nd. Wydanie. Osoba.
4. Wikipedia. Trójkąt Reuleaux. Odzyskane z: es.wikipedia.org.
5. Wolfram MathWorld. Średnica. Odzyskany z: mathworld.wolfram.com.