DYSKRETNE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA: CHARAKTERYSTYKA, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

W odrębnych rozkładów prawdopodobieństwa są funkcją, która przypisuje każdemu elementowi X (S) = {x1, x2, …, XI, …}, gdzie X jest dyskretna zmienną losową podana i S przestrzeń próbki prawdopodobieństwo, że to wydarzenie ma miejsce. Ta funkcja f z X (S) zdefiniowana jako f (xi) = P (X = xi) jest czasami nazywana funkcją masy prawdopodobieństwa.

Ta masa prawdopodobieństw jest generalnie reprezentowana w formie tabeli. Ponieważ X jest dyskretną zmienną losową, X (S) ma skończoną liczbę zdarzeń lub policzalną nieskończoność. Wśród najczęstszych dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa mamy rozkład równomierny, rozkład dwumianowy i rozkład Poissona.

cechy

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa musi spełniać następujące warunki:

Ponadto, jeśli X przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości (na przykład x1, x2,…, xn), to p (xi) = 0, jeśli i> ny, zatem nieskończony szereg warunku b staje się a skończone szeregi.

Ta funkcja spełnia również następujące właściwości:

Niech B będzie zdarzeniem związanym ze zmienną losową X. Oznacza to, że B jest zawarte w X (S). W szczególności załóżmy, że B = {xi1, xi2, …}. A zatem:

Innymi słowy, prawdopodobieństwo zdarzenia B jest równe sumie prawdopodobieństw poszczególnych wyników związanych z B.

Z tego możemy wywnioskować, że jeśli a <b, zdarzenia (X ≤ a) i (a <X ≤ b) wykluczają się wzajemnie, a ponadto ich związek jest zdarzeniem (X ≤ b), więc mamy:

Rodzaje

Jednolita dystrybucja na n punktów

Mówi się, że zmienna losowa X ma rozkład charakteryzujący się jednorodnością w n punktach, jeśli każdej wartości przypisane jest takie samo prawdopodobieństwo. Jego funkcja masy prawdopodobieństwa to:

Załóżmy, że mamy eksperyment, który ma dwa możliwe wyniki, może to być rzut monetą, którego możliwym rezultatem są orły lub reszki, lub wybór liczby całkowitej, której wynikiem może być liczba parzysta lub nieparzysta; ten rodzaj eksperymentu jest znany jako testy Bernoulliego.

Ogólnie rzecz biorąc, dwa możliwe wyniki nazywane są sukcesem i porażką, gdzie p to prawdopodobieństwo sukcesu, a 1-p to prawdopodobieństwo niepowodzenia. Możemy określić prawdopodobieństwo x sukcesów w n testach Bernoulliego, które są od siebie niezależne, z następującym rozkładem.

Rozkład dwumianowy

Jest to funkcja, która reprezentuje prawdopodobieństwo uzyskania x sukcesów w n niezależnych testach Bernoulliego, których prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p. Jego funkcja masy prawdopodobieństwa to:

Poniższy wykres przedstawia funkcję masy prawdopodobieństwa dla różnych wartości parametrów rozkładu dwumianowego.

Poniższa dystrybucja zawdzięcza swoją nazwę francuskiemu matematykowi Simeonowi Poissona (1781-1840), który uzyskał ją jako granicę rozkładu dwumianowego.

Rozkład Poissona

Mówi się, że zmienna losowa X ma rozkład Poissona parametru λ, kiedy może przyjmować dodatnie wartości całkowite 0,1,2,3, … z następującym prawdopodobieństwem:

W tym wyrażeniu λ jest średnią liczbą odpowiadającą wystąpieniom zdarzenia w każdej jednostce czasu, a x oznacza liczbę wystąpień zdarzenia.

Jego funkcja masy prawdopodobieństwa to:

Oto wykres przedstawiający funkcję masy prawdopodobieństwa dla różnych wartości parametrów rozkładu Poissona.

Zauważ, że o ile liczba sukcesów jest mała, a liczba n testów wykonanych na rozkładzie dwumianowym jest duża, zawsze możemy przybliżyć te rozkłady, ponieważ rozkład Poissona jest granicą rozkładu dwumianowego.

Główna różnica między tymi dwoma rozkładami polega na tym, że podczas gdy dwumian zależy od dwóch parametrów, mianowicie n i p, Poissona zależy tylko od λ, co jest czasami nazywane intensywnością rozkładu.

Do tej pory rozmawialiśmy tylko o rozkładach prawdopodobieństwa dla przypadków, w których różne eksperymenty są od siebie niezależne; to znaczy, gdy na wynik jednego nie ma wpływu inny wynik.

W przypadku posiadania eksperymentów, które nie są niezależne, bardzo przydatny jest rozkład hipergeometryczny.

Rozkład hipergeometryczny

Niech N będzie całkowitą liczbą obiektów zbioru skończonego, z których k można w jakiś sposób zidentyfikować, tworząc w ten sposób podzbiór K, którego dopełnienie tworzą pozostałe elementy Nk.

Jeśli losowo wybierzemy n obiektów, zmienna losowa X, która reprezentuje liczbę obiektów należących do K w tym wyborze, ma hipergeometryczny rozkład parametrów N, n i k. Jego funkcja masy prawdopodobieństwa to:

Poniższy wykres przedstawia funkcję masy prawdopodobieństwa dla różnych wartości parametrów rozkładu hipergeometrycznego.

Rozwiązane ćwiczenia

Pierwsze ćwiczenie

Załóżmy, że prawdopodobieństwo, że lampa radiowa (umieszczona w pewnym typie sprzętu) będzie działać dłużej niż 500 godzin, wynosi 0,2. Jeśli testowanych jest 20 probówek, jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie k z nich będzie działać dłużej niż 500 godzin, k = 0, 1,2,…, 20?

Rozwiązanie

Jeśli X to liczba lamp, które pracują dłużej niż 500 godzin, przyjmiemy, że X ma rozkład dwumianowy. Więc

A więc:

Dla k≥11 prawdopodobieństwa są mniejsze niż 0,001

W ten sposób możemy zobaczyć, jak rośnie prawdopodobieństwo, że k z nich będzie działać przez ponad 500 godzin, aż osiągnie swoją maksymalną wartość (przy k = 4), a następnie zacznie spadać.

Drugie ćwiczenie

Moneta jest rzucana 6 razy. Gdy wynik będzie drogi, powiemy, że to sukces. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie padną dwie głowy?

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy n = 6, a prawdopodobieństwo sukcesu i porażki wynosi p = q = 1/2

Dlatego prawdopodobieństwo, że dane są dwie głowy (czyli k = 2), wynosi

Ćwiczenie trzecie

Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia co najmniej czterech głów?

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy k = 4, 5 lub 6

Ćwiczenie trzecie

Załóżmy, że 2% artykułów wyprodukowanych w fabryce jest wadliwych. Znajdź prawdopodobieństwo P, że w próbie 100 pozycji znajdują się trzy wadliwe pozycje.

Rozwiązanie

W tym przypadku możemy zastosować rozkład dwumianowy dla n = 100 ip = 0,02, otrzymując jako wynik:

Jednak ponieważ p jest małe, używamy przybliżenia Poissona z λ = np = 2. Więc,

Bibliografia

1. Kai Lai Chung. Elementarna teoria proability z procesami stochastycznymi. Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H. Rosen, matematyka dyskretna i jej zastosowania. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Prawdopodobieństwo i aplikacje statystyczne. SA ALHAMBRA MEKSYKANA.
4. Dr Seymour Lipschutz 2000 Rozwiązane problemy matematyki dyskretnej. McGRAW-HILL.
5. Dr Seymour Lipschutz Problemy teorii i prawdopodobieństwa. McGRAW-HILL.