DZIEDZINA I KONTRADOMENA FUNKCJI (Z PRZYKŁADAMI) - MATEMATYKA - 2025

Pojęcia dziedziny i przeciwdziedziny funkcji są powszechnie nauczane na kursach z rachunku różniczkowego, które są nauczane na początku studiów.

Przed zdefiniowaniem domeny i kontradomeny musisz wiedzieć, czym jest funkcja. Funkcja f jest prawem (regułą) zgodności utworzonej między elementami dwóch zbiorów.

Zbiór, z którego wybierane są elementy, nazywany jest dziedziną funkcji, a zbiór, do którego te elementy są przesyłane przez f, nazywany jest przeciwdziedziną.

W matematyce funkcja z dziedziną A i przeciwdziedziną B jest oznaczona wyrażeniem f: A → B.

Poprzednie wyrażenie mówi, że elementy zbioru A są wysyłane do zbioru B zgodnie z prawem korespondencji f.

Funkcja przypisuje każdemu elementowi zbioru A pojedynczy element zbioru B.

Dziedzina i sprzeczność

Mając rzeczywistą funkcję zmiennej rzeczywistej f (x), mamy, że dziedziną tej funkcji będą te wszystkie liczby rzeczywiste, takie, że po obliczeniu w f wynik jest liczbą rzeczywistą.

Ogólnie rzecz biorąc, przeciwdziedzina funkcji jest zbiorem liczb rzeczywistych R. Przeciwdziedzina jest również nazywana zbiorem przybycia lub kodomena funkcji f.

Czy przeciwdomena funkcji jest zawsze R?

Nie. Dopóki funkcja nie jest szczegółowo badana, zbiór liczb rzeczywistych R jest zwykle traktowany jako przeciwdziedzina.

Ale po zbadaniu funkcji bardziej odpowiedni zbiór można przyjąć jako przeciwdziedzinę, która będzie podzbiorem R.

Odpowiedni zestaw, o którym wspomniano w poprzednim akapicie, pasuje do obrazu funkcji.

Definicja obrazu lub zakresu funkcji f odnosi się do wszystkich wartości, które pochodzą z oceny elementu dziedziny w f.

Przykłady

Poniższe przykłady ilustrują, jak obliczyć dziedzinę funkcji i jej obraz.

Przykład 1

Niech f będzie funkcją rzeczywistą zdefiniowaną przez f (x) = 2.

Dziedziną f są wszystkie liczby rzeczywiste, tak że po oszacowaniu w f, wynik jest liczbą rzeczywistą. W tej chwili kontradomena jest równa R.

Ponieważ dana funkcja jest stała (zawsze równa 2), nie ma znaczenia, która liczba rzeczywista zostanie wybrana, ponieważ przy jej obliczaniu w f wynik zawsze będzie równy 2, co jest liczbą rzeczywistą.

Dlatego dziedziną danej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste; to znaczy A = R.

Teraz, gdy wiadomo, że wynik funkcji jest zawsze równy 2, mamy, że obrazem funkcji jest tylko liczba 2, dlatego przeciwdziedzinę funkcji można przedefiniować jako B = Img (f) = {dwa}.

Dlatego f: R → {2}.

Przykład 2

Niech g będzie funkcją rzeczywistą zdefiniowaną przez g (x) = √x.

Tak długo, jak obraz g nie jest znany, przeciwieństwem g jest B = R.

W przypadku tej funkcji należy wziąć pod uwagę, że pierwiastki kwadratowe są zdefiniowane tylko dla liczb nieujemnych; to znaczy dla liczb większych lub równych zero. Na przykład √-1 nie jest liczbą rzeczywistą.

Dlatego dziedziną funkcji g muszą być wszystkie liczby większe lub równe zero; to znaczy x ≥ 0.

Dlatego A = [0, + ∞).

Aby obliczyć zakres, należy zauważyć, że każdy wynik g (x), ponieważ jest to pierwiastek kwadratowy, będzie zawsze większy lub równy zero. To znaczy B = [0, + ∞).

Podsumowując, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Przykład 3

Jeśli mamy funkcję h (x) = 1 / (x-1), mamy, że ta funkcja nie jest zdefiniowana dla x = 1, ponieważ mianownik otrzymałby zero, a dzielenie przez zero nie jest zdefiniowane.

Z drugiej strony, dla każdej innej wartości rzeczywistej wynikiem będzie liczba rzeczywista. Dlatego domena jest rzeczywista z wyjątkiem jednej; to znaczy A = R \ {1}.

W ten sam sposób można zaobserwować, że jedyną wartością, której nie można uzyskać w wyniku, jest 0, ponieważ aby ułamek był równy zeru, licznik musi wynosić zero.

Dlatego obraz funkcji jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych oprócz zera, więc B = R \ {0} jest traktowane jako przeciwdomena.

Podsumowując, h: R \ {1} → R \ {0}.

Obserwacje

Domena i obraz nie muszą być tym samym zestawem, jak pokazano w przykładach 1 i 3.

Kiedy funkcja jest narysowana na płaszczyźnie kartezjańskiej, dziedzina jest reprezentowana przez oś X, a przeciwdomena lub zakres jest reprezentowana przez oś Y.

Bibliografia

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematyka precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematyka precalculus: podejście do rozwiązywania problemów (2, red. Ilustrowane). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Edukacja Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 wyd.). Cengage Learning.
5. Leal, JM i Viloria, NG (2005). Geometria analityczna płaszczyzny. Mérida - Wenezuela: Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Obliczenie wstępne. Edukacja Pearson.
7. Purcell, EJ, Varberg, D. i Rigdon, SE (2007). Calculus (wyd. Dziewiąte). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Rachunek różniczkowy z wczesnymi funkcjami transcendentnymi dla nauki i inżynierii (wydanie drugie). Przeciwprostokątna.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (przedruk red.). Źródło błyskawicy.
10. Sullivan, M. (1997). Obliczenie wstępne. Edukacja Pearson.