RÓWNANIA WIELOMIANOWE (Z ROZWIĄZANYMI ĆWICZENIAMI) - MATEMATYKA - 2026

W wielomianu równania to oświadczenie, że rodzi równość dwóch wyrażeń lub członków, w których co najmniej jeden z warunków, które składają się z każdej strony równości są wielomiany P (x). Te równania są nazywane zgodnie ze stopniem ich zmiennych.

Ogólnie równanie jest stwierdzeniem, które ustala równość dwóch wyrażeń, w których przynajmniej w jednym z nich znajdują się nieznane wielkości, zwane zmiennymi lub niewiadomymi. Chociaż istnieje wiele typów równań, są one ogólnie podzielone na dwa typy: algebraiczne i transcendentne.

Równania wielomianowe zawierają tylko wyrażenia algebraiczne, które mogą zawierać jedną lub więcej niewiadomych w równaniu. Ze względu na posiadany wykładnik (stopień) można je podzielić na: pierwszy stopień (liniowy), drugi stopień (kwadratowy), trzeci stopień (sześcienny), czwarty stopień (kwartał), stopień większy lub równy pięć oraz niewymierny.

cechy

Równania wielomianów to wyrażenia utworzone przez równość między dwoma wielomianami; to znaczy przez skończone sumy mnożeń między wartościami, które są nieznane (zmienne) i liczbami stałymi (współczynnikami), gdzie zmienne mogą mieć wykładniki, a ich wartość może być dodatnią liczbą całkowitą, w tym zerem.

Wykładniki określają stopień lub typ równania. Wyrażenie wyrażenia o najwyższym wykładniku będzie reprezentować bezwzględny stopień wielomianu.

Równania wielomianowe są również znane jako równania algebraiczne, ich współczynniki mogą być liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a zmiennymi są liczbami nieznanymi reprezentowanymi przez literę, na przykład: „x”.

Jeśli podstawiając wartość zmiennej „x” w P (x), wynik jest równy zeru (0), wówczas mówi się, że ta wartość spełnia równanie (jest to rozwiązanie) i jest ogólnie nazywana pierwiastkiem wielomianu.

Podczas opracowywania równania wielomianowego chcesz znaleźć wszystkie pierwiastki lub rozwiązania.

Rodzaje

Istnieje kilka typów równań wielomianowych, które są zróżnicowane w zależności od liczby zmiennych, a także stopnia ich wykładnika.

Zatem równania wielomianowe - gdzie jego pierwszy człon jest wielomianem, który ma jedną niewiadomą, biorąc pod uwagę, że jego stopniem może być dowolna liczba naturalna (n), a drugi człon wynosi zero-, można wyrazić następująco:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Gdzie:

- a _n, a _n-1 i ₀ to rzeczywiste współczynniki (liczby).

- a _n różni się od zera.

- Wykładnik n jest dodatnią liczbą całkowitą, która reprezentuje stopień równania.

- x to zmienna lub nieznana do przeszukania.

Absolutny lub większy stopień równania wielomianowego jest wykładnikiem o najwyższej wartości spośród wszystkich, które tworzą wielomian; zatem równania są klasyfikowane jako:

Pierwsza klasa

Równania wielomianowe pierwszego stopnia, znane również jako równania liniowe, to takie, w których stopień (największy wykładnik) jest równy 1, a wielomian ma postać P (x) = 0; y składa się z członu liniowego i niezależnego. Jest napisane w następujący sposób:

ax + b = 0.

Gdzie:

- a i b to liczby rzeczywiste, a a ≠ 0.

- ax to termin liniowy.

- b to termin niezależny.

Na przykład równanie 13x - 18 = 4x.

Aby rozwiązać równania liniowe, wszystkie wyrazy, które zawierają nieznane x, muszą zostać przeniesione na jedną stronę równości, a te, które nie mają, przesuną się na drugą stronę, aby je rozwiązać i uzyskać rozwiązanie:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Zatem dane równanie ma tylko jedno rozwiązanie lub pierwiastek, czyli x = 2.

Druga klasa

Równania wielomianowe drugiego stopnia, znane również jako równania kwadratowe, to takie, w których stopień (największy wykładnik) jest równy 2, wielomian ma postać P (x) = 0 i składa się z wyrażenia kwadratowego , jeden liniowy i jeden niezależny. Wyraża się to następująco:

ax ² + bx + c = 0.

Gdzie:

- a, b i c to liczby rzeczywiste, a a ≠ 0.

- ax ² jest wyrażeniem kwadratowym, a „a” jest współczynnikiem składnika kwadratowego.

- bx jest wyrazem liniowym, a „b” jest współczynnikiem wyrazu liniowego.

- c to termin niezależny.

Rozpuszczalnik

Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązanie tego typu równań jest podane przez wyczyszczenie x z równania i wygląda następująco, co nazywa się resolvent:

Tam (b ² - 4ac) nazywa się dyskryminatorem równania i to wyrażenie określa liczbę rozwiązań, jakie może mieć równanie:

- Jeśli (b ² - 4ac) = 0, równanie będzie miało pojedyncze rozwiązanie, które jest podwójne; to znaczy, będzie miał dwa równe rozwiązania.

- Jeśli (b ² - 4ac)> 0, równanie będzie miało dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

- Jeśli (b ² - 4ac) <0, równanie nie ma rozwiązania (będzie miało dwa różne rozwiązania złożone).

Na przykład mamy równanie 4x ² + 10x - 6 = 0, aby je rozwiązać, najpierw zidentyfikuj wyrazy a, b i c, a następnie podstaw je we wzorze:

a = 4

b = 10

c = -6.

Istnieją przypadki, w których równania wielomianowe drugiego stopnia nie mają wszystkich trzech wyrazów i dlatego rozwiązuje się je inaczej:

- W przypadku, gdy równania kwadratowe nie mają członu liniowego (to znaczy b = 0), równanie zostanie wyrażone jako ax ² + c = 0. Aby je rozwiązać, znajdź x ² i zastosuj pierwiastki kwadratowe w każdym elemencie pamiętając, że należy wziąć pod uwagę dwa możliwe oznaki, które może mieć nieznane:

ax ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

Na przykład 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- Gdy równanie kwadratowe nie ma niezależnego członu (to znaczy c = 0), równanie zostanie wyrażone jako ax ² + bx = 0. Aby je rozwiązać, musimy wziąć wspólny współczynnik nieznanego x w pierwszym elemencie; Ponieważ równanie jest równe zero, prawdą jest, że co najmniej jeden z czynników będzie równy 0:

ax ² + bx = 0.

x (topór + b) = 0.

Dlatego musisz:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Na przykład: mamy równanie 5x ² + 30x = 0. Najpierw dzielimy na czynniki:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Generowane są dwa czynniki xy (5x + 30). Uważa się, że jeden z nich będzie równy zero, a drugi zostanie rozwiązany:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Najwyższa ocena

Równania wielomianowe wyższego stopnia to takie, które sięgają od trzeciego stopnia wzwyż, które można wyrazić lub rozwiązać za pomocą ogólnego równania wielomianowego dla dowolnego stopnia:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Jest to używane, ponieważ równanie o stopniu większym niż dwa jest wynikiem faktoryzacji wielomianu; to znaczy, jest wyrażone jako mnożenie wielomianów stopnia pierwszego lub wyższego, ale bez rzeczywistych pierwiastków.

Rozwiązanie tego typu równań jest bezpośrednie, ponieważ mnożenie dwóch czynników będzie równe zero, jeśli którykolwiek z czynników jest zerowy (0); dlatego też każde ze znalezionych równań wielomianowych należy rozwiązać, ustawiając każdy z ich współczynników na zero.

Na przykład, mamy równanie trzeciego stopnia (sześcienne) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. Aby je rozwiązać, należy wykonać następujące kroki:

- Warunki są pogrupowane:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ² ) + (4x + 4) = 0.

- Członkowie są rozkładani, aby uzyskać wspólny czynnik nieznanego:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- W ten sposób otrzymujemy dwa współczynniki, które muszą być równe zero:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Można zauważyć, że czynnik (x ² + 4) = 0 nie będzie miał rzeczywistego rozwiązania, podczas gdy czynnik (x + 1) = 0 ma. Tak więc rozwiązaniem jest:

(x + 1) = 0

x = -1.

Rozwiązane ćwiczenia

Rozwiąż następujące równania:

Pierwsze ćwiczenie

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Rozwiązanie

W tym przypadku równanie jest wyrażone jako mnożenie wielomianów; to znaczy jest faktoryzowany. Aby go rozwiązać, każdy współczynnik musi być równy zero:

- 2x ² + 5 = 0, nie ma rozwiązania.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Zatem dane równanie ma dwa rozwiązania: x = 3 i x = -1.

Drugie ćwiczenie

x ⁴ - 36 = 0.

Rozwiązanie

Podano wielomian, który można przepisać jako różnicę kwadratów, aby uzyskać szybsze rozwiązanie. Zatem równanie jest następujące:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

Aby znaleźć rozwiązanie równań, oba współczynniki są równe zero:

(x ² + 6) = 0, nie ma rozwiązania.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± √6.

Zatem początkowe równanie ma dwa rozwiązania:

x = √6.

x = - √6.

Bibliografia

1. Andres, T. (2010). Olimpiada Matematyczna Tresure. Skoczek. Nowy Jork.
2. Anioł, AR (2007). Algebra elementarna. Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Algebra liniowa i geometria rzutowa. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Hawana: Kultura.
5. Castaño, HF (2005). Matematyka przed obliczeniami. Uniwersytet Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Podręcznik Matematyki Przygotowania Olimpijskiego. Uniwersytet Jaume I.
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Wyższa Algebra I.
8. Massara, NC-L. (1995). Matematyka 3.