ENEAGON: WŁAŚCIWOŚCI, JAK ZROBIĆ ENEAGON, PRZYKŁADY - MATEMATYKA

Enegon jest wielokąt z dziewięciu stron i dziewięć wierzchołków, które mogą lub nie mogą być regularne. Nazwa eneágono pochodzi z języka greckiego i składa się z greckich słów ennea (dziewięć) i gonon (kąt).

Alternatywną nazwą dziewięciobocznego wielokąta jest nonagon, które pochodzi od łacińskiego słowa nonus (dziewięć) i gonon (wierzchołek). Z drugiej strony, jeśli boki lub kąty eneagonu są nierówne, to masz nieregularny enagon. Jeśli, z drugiej strony, wszystkie dziewięć boków i dziewięć kątów enagonu jest równych, to jest to regularny enagon.

Rysunek 1. Enagon regularny i eneagon nieregularny. (Opracowanie własne)

Właściwości eneagonu

Dla wielokąta o n bokach suma jego kątów wewnętrznych wynosi:

(n - 2) * 180º

W enegonie byłoby to n = 9, więc suma jego wewnętrznych kątów wynosi:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

W każdym wielokącie liczba przekątnych wynosi:

D = n (n - 3) / 2, aw przypadku enegonu, ponieważ n = 9, mamy wtedy D = 27.

Zwykły enegon

W regularnym eneagonie lub nieagonie jest dziewięć (9) wewnętrznych kątów o jednakowej mierze, dlatego każdy kąt stanowi jedną dziewiątą całkowitej sumy kątów wewnętrznych.

Miara kątów wewnętrznych enegona wynosi wtedy 1260º / 9 = 140º.

Rysunek 2. Apothem, promień, boki, kąty i wierzchołki regularnego eneagonu. (Opracowanie własne)

Aby wyprowadzić wzór na pole powierzchni zwykłego enegonu o boku d, wygodnie jest wykonać kilka konstrukcji pomocniczych, takich jak te pokazane na rysunku 2.

Środek O znajduje się, śledząc dwusieczne dwóch sąsiednich boków. Środek O w równej odległości od wierzchołków.

Promień długości r to odcinek od środka O do wierzchołka enegonu. Rysunek 2 przedstawia promienie OD i OE długości r.

Apothem to odcinek, który biegnie od środka do środka jednej strony enegonu. Na przykład OJ jest apotem, którego długość wynosi a.

Obszar enegonu znany bokiem i apotemem

Rozważamy trójkąt ODE na rysunku 2. Pole tego trójkąta to iloczyn jego podstawy DE i wysokości OJ podzielonej przez 2:

Obszar ODE = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Ponieważ w enegonie znajduje się 9 trójkątów o równej powierzchni, można wyciągnąć wniosek, że pole to wynosi:

Obszar Enegon = (9/2) (d * a)

Obszar znanego obszaru z boku

Jeśli znana jest tylko długość d boków enegonu, to aby zastosować wzór z poprzedniej sekcji, należy znaleźć długość apotemu.

Bierzemy pod uwagę trójkąt prostokątny OJE w J (patrz rysunek 2). Jeśli zastosujemy styczny współczynnik trygonometryczny, otrzymamy:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Kąt ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, ponieważ EO jest dwusieczną kąta wewnętrznego enegonu.

Z drugiej strony OJ jest apothemem długości a.

Następnie, ponieważ J jest środkiem ED, wynika z tego, że EJ = d / 2.

Zastępując poprzednie wartości w relacji stycznej otrzymujemy:

tan (70º) = a / (d / 2).

Teraz wyczyścimy długość apotemu:

a = (d / 2) tan (70º).

Poprzedni wynik jest podstawiany we wzorze powierzchni i otrzymujemy:

Obszar enegon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

Na koniec znajdujemy wzór, który pozwala obliczyć pole normalnego enegonu, jeśli znana jest tylko długość d jego boków:

Powierzchnia enegona = (9/4) d ² tan (70º) = 6,1818 d ²

Obwód zwykłego enegonu znany jest z boku

Obwód wielokąta to suma jego boków. W przypadku enegonu, ponieważ każdy z boków ma długość d, jego obwód będzie sumą dziewięciu razy d, czyli:

Obwód = 9 d

Obwód enegonu znany jego promień

Biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny OJE w J (patrz rysunek 2), stosuje się współczynnik cosinusów trygonometrycznych:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Skąd pochodzi:

d = 2r cos (70º)

Podstawiając ten wynik otrzymujemy wzór na obwód jako funkcję promienia enegonu:

Obwód = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Jak zrobić zwykły enegon

1- Aby zbudować regularny enagon z linijką i kompasem, zacznij od obwodu c, który otacza enagon. (patrz rysunek 3)

2- Dwie prostopadłe linie są poprowadzone przez środek O obwodu. Następnie zaznaczamy przecięcia A i B jednej z linii obwodem.

3- Za pomocą kompasu, ze środkiem na przecięciu B i otworem równym promieniu BO, rysowany jest łuk przecinający pierwotny obwód w punkcie C.

Rysunek 3. Kroki do zbudowania zwykłego enegona. (Opracowanie własne)

4- Poprzedni krok jest powtarzany, ale tworząc środek w punkcie A i promień AO, rysowany jest łuk przecinający obwód cw punkcie E.

5- Z otwarciem AC i środkiem w A, rysowany jest łuk obwodu. Podobnie z otwarciem BE i środkiem B rysowany jest kolejny łuk. Przecięcie tych dwóch łuków jest oznaczone jako punkt G.

6- Wyśrodkowanie w G i otwarcie GA, narysowany jest łuk, który przecina oś pomocniczą (w tym przypadku poziomą) w punkcie H. Przecięcie osi pomocniczej z pierwotnym obwodem c jest oznaczone jako I.

7- Długość odcinka IH jest równa długości d boku enegonu.

8- Przy otwarciu kompasu IH = d, łuki środka A promienia AJ, środka J promienia AK, środka K promienia KL i środka L promienia LP są rysowane kolejno.

9- Podobnie, zaczynając od A i od prawej strony, narysowane są łuki o promieniu IH = d, które wyznaczają punkty M, N, C i Q na pierwotnym obwodzie c.

10- Na koniec rysowane są segmenty AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ i na koniec PB.

Należy zauważyć, że metoda budowy nie jest do końca dokładna, ponieważ można zweryfikować, że ostatnia strona PB jest o 0,7% dłuższa niż pozostałe. Do tej pory nie jest znana metoda konstrukcji z linijką i kompasem, które są w 100% dokładne.

Przykłady

Oto kilka opracowanych przykładów.

Przykład 1

Chcemy zbudować zwykły enegon, którego boki mierzą 2 cm. Jaki promień musi mieć obwód, który go otacza, aby stosując opisaną wcześniej konstrukcję uzyskać pożądany efekt?

W poprzedniej sekcji wydedukowano wzór, który wiąże promień r opisanego okręgu z bokiem d regularnego enegonu:

d = 2r cos (70º)

Rozwiązując r z poprzedniego wyrażenia otrzymujemy:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Podstawienie wartości d = 2 cm w poprzednim wzorze daje promień r 2,92 cm.

Przykład 2

Jaka jest powierzchnia zwykłego enegonu o boku 2 cm?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy odwołać się do przedstawionego wcześniej wzoru, który pozwala obliczyć pole znanego enegonu na podstawie długości d jego boku: