BŁĄD PRÓBKOWANIA: WZORY I RÓWNANIA, OBLICZENIA, PRZYKŁADY - DUDAS - 2026

Próbkowania błąd lub próbkowania błąd w statystykach jest różnica pomiędzy średnią wartość próbki i wartości średniej ogólnej populacji. Aby zilustrować ten pomysł, wyobraźmy sobie, że całkowita populacja miasta to milion ludzi, z czego chcesz mieć średni rozmiar buta, dla którego pobierana jest losowa próbka tysiąca osób.

Średnia wielkość, która wyłania się z próby, niekoniecznie musi pokrywać się z wielkością całej populacji, chociaż jeśli próbka nie jest obciążona, wartość musi być zbliżona. Ta różnica między średnią wartością próby a wartością całej populacji jest błędem próby.

Rysunek 1. Ponieważ próba jest podzbiorem całej populacji, średnia próby ma margines błędu. Źródło: F. Zapata.

Średnia wartość całej populacji jest generalnie nieznana, ale istnieją techniki zmniejszania tego błędu i wzory do oszacowania marginesu błędu próbkowania, które zostaną omówione w tym artykule.

Wzory i równania

Powiedzmy, że chcemy poznać średnią wartość pewnej mierzalnej cechy x w populacji o rozmiarze N, ale ponieważ N jest dużą liczbą, nie jest możliwe przeprowadzenie badania na całej populacji, a następnie przystępujemy do losowej próby rozmiar n <

Średnia wartość próbki jest oznaczona przez a średnia wartość całej populacji jest oznaczona grecką literą μ (czytaj mi lub miu).

Załóżmy, że z całej populacji N pobrano m próbek, wszystkie o jednakowej wielkości n ze średnimi wartościami 1>, 2>, 3>,….m>.

Te średnie wartości nie będą identyczne i wszystkie będą zbliżone do średniej wartości μ populacji. Margines błędu próbkowania E wskazuje oczekiwane oddzielenie średnich wartości w stosunku do średniej wartości μ populacji w określonym procencie zwanym poziomem ufności γ (gamma).

Standardowy margines błędu ε próbki o rozmiarze n wynosi:

ε = σ / √n

gdzie σ jest odchyleniem standardowym (pierwiastkiem kwadratowym z wariancji), które jest obliczane przy użyciu następującego wzoru:

σ = √

Znaczenie standardowego marginesu błędu ε jest następujące:

Średnia wartość uzyskana przez próbkę o rozmiarze n jest zawarta w przedziale ( - ε, + ε) z poziomem ufności 68,3%.

Jak obliczyć błąd próbkowania

W poprzedniej sekcji podano wzór na wyznaczenie marginesu błędu standardowego próby o rozmiarze n, gdzie słowo standard wskazuje, że jest to margines błędu z 68% pewnością.

Oznacza to, że jeśli pobrano wiele próbek o tej samej wielkości n, 68% z nich poda wartości średnie w zasięgu .

Istnieje prosta reguła, zwana regułą 68-95-99,7, która pozwala nam łatwo znaleźć margines błędu próbkowania E dla poziomów ufności 68%, 95% i 99,7%, ponieważ margines ten wynosi 1⋅ ε, 2 Odpowiednio ⋅ ε i 3⋅ ε.

Pewność siebie

Jeżeli poziom ufności γ nie jest jednym z powyższych, to błąd próbkowania jest odchyleniem standardowym σ pomnożonym przez współczynnik Zγ, które otrzymuje się w następujący sposób:

1. - Najpierw określa się poziom istotności α, który jest obliczany z poziomu ufności γ za pomocą zależności: α = 1 - γ

2. - Następnie musimy obliczyć wartość 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2, która odpowiada skumulowanej częstotliwości normalnej między -∞ a Zγ, w rozkładzie normalnym lub Gaussa typowym dla F (z), którego definicja można zobaczyć na rysunku 2.

3.- Równanie F (Zγ) = 1 - α / 2 rozwiązuje się za pomocą tabel rozkładu normalnego (skumulowanego) F lub za pomocą programu komputerowego, który ma odwrotną znormalizowaną funkcję Gaussa F ^-1 .

W tym drugim przypadku mamy:

Zγ = G ^-1 (1 - α / 2).

4. - Na koniec, ten wzór jest stosowany do błędu próbkowania na poziomie niezawodności γ:

E = Zγ ⋅ (σ / √n)

Rysunek 2. Tabela rozkładu normalnego. Źródło: Wikimedia Commons.

Przykłady

- Przykład 1

Obliczyć standardowy margines błędu w średniej wadze próbki 100 noworodków. Obliczenie średniej wagi było= 3100 kg z odchyleniem standardowym σ = 1500 kg.

Rozwiązanie

Standardowy margines błędu to ε = σ / √n = (1500 kg) / √100 = 0,15 kg. Oznacza to, że na podstawie tych danych można wywnioskować, że waga 68% noworodków wynosi od 2950 kg do 3,25 kg.

- Przykład 2

Określić margines błędu pobierania próbek E i zakres masy ciała 100 noworodków z 95% poziomem ufności, jeśli średnia waga wynosi 3100 kg z odchyleniem standardowym σ = 1500 kg.

Rozwiązanie

Jeśli ma zastosowanie przepis 68; 95; 99,7 → 1⋅ ε; 2⋅ ε; 3⋅ ε, mamy:

E = 2⋅ε = 2⋅0,15 kg = 0,30 kg

Innymi słowy, 95% noworodków będzie miało wagę od 2800 do 3400 kg.

- Przykład 3

Określić zakres wagi noworodków w przykładzie 1 z marginesem ufności 99,7%.

Rozwiązanie

Błąd próbkowania z pewnością 99,7% wynosi 3 σ / √n, co w naszym przykładzie wynosi E = 3 * 0,15 kg = 0,45 kg. Z tego wynika, że ​​99,7% noworodków będzie miało masę od 2650 kg do 3550 kg.

- Przykład 4

Określić współczynnik Zγ dla poziomu ufności 75%. Określić margines błędu próbkowania przy tym poziomie wiarygodności dla przypadku przedstawionego w przykładzie 1.

Rozwiązanie

Poziom ufności wynosi γ = 75% = 0,75, co jest związane z poziomem istotności α zależnością γ = (1 - α), tak więc poziom istotności wynosi α = 1 - 0,75 = 0 , 25.

Oznacza to, że skumulowane prawdopodobieństwo normalne między -∞ a Zγ wynosi:

P (Z ≤ Zγ) = 1 - 0,125 = 0,875

Co odpowiada wartości Zγ równej 1,1503, jak pokazano na rysunku 3.

Rysunek 3. Wyznaczenie współczynnika Zγ odpowiadającego poziomowi ufności 75%. Źródło: F. Zapata przez Geogebra.

Innymi słowy, błąd próbkowania wynosi E = Zγ ⋅ (σ / √n) = 1,15 ⋅ (σ / √n).

Po zastosowaniu do danych z przykładu 1 daje to błąd:

E = 1,15 * 0,15 kg = 0,17 kg

Przy poziomie ufności 75%.

- Ćwiczenie 5

Jaki jest poziom ufności, jeśli Z _{α / 2} = 2,4?

Rozwiązanie

P (Z ≤ Z _{α / 2} ) = 1 - α / 2

P (Z ≤ 2,4) = 1 - α / 2 = 0,9918 → α / 2 = 1 - 0,9918 = 0,0082 → α = 0,0164

Poziom istotności to:

α = 0,0164 = 1,64%

I wreszcie poziom zaufania pozostaje:

1- α = 1 - 0,0164 = 100% - 1,64% = 98,36%

Bibliografia

1. Canavos, G. 1988. Prawdopodobieństwo i statystyka: zastosowania i metody. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Prawdopodobieństwo i statystyka dla inżynierii i nauki. 8th. Wydanie. Cengage.
3. Levin, R. 1988. Statystyka dla administratorów. 2nd. Wydanie. Prentice Hall.
4. Sudman, S. 1982. Zadawanie pytań: praktyczny przewodnik po projektowaniu kwestionariuszy. San Francisco. Jossey Bass.
5. Walpole, R. 2007. Prawdopodobieństwo i statystyka dla inżynierii i nauk. Osoba.
6. Wonnacott, TH i RJ Wonnacott. 1990. Statystyka wprowadzająca. Wydanie 5 Wiley
7. Wikipedia. Błąd próbkowania. Odzyskany z: en.wikipedia.com
8. Wikipedia. Margines błędu. Odzyskany z: en.wikipedia.com