OCZEKIWANIE MATEMATYCZNE: WZÓR, WŁAŚCIWOŚCI, PRZYKŁADY, ĆWICZENIE - DUDAS - 2026

Oczekiwanie matematyczny lub oczekiwana wartość zmiennej losowej X jest oznaczona jako E (X) jest określona jako suma produktem między prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia losowego, a wartość wymienionego zdarzenia.

W formie matematycznej wyraża się następująco:

Rysunek 1. Oczekiwanie matematyczne jest szeroko stosowane na giełdzie iw ubezpieczeniach. Źródło: Pixabay.

Gdzie x _i to wartość zdarzenia, a P (x _i ) jego prawdopodobieństwo wystąpienia. Sumowanie rozciąga się na wszystkie wartości, które przyjmuje X. A jeśli są one skończone, wskazana suma zbiega się do wartości E (X), ale jeśli suma nie jest zbieżna, to zmienna po prostu nie ma wartości oczekiwanej.

Gdy jest to zmienna ciągła x, zmienna może mieć nieskończone wartości, a całki zastępują sumy:

Tutaj f (x) reprezentuje funkcję gęstości prawdopodobieństwa.

Ogólnie rzecz biorąc, matematyczne oczekiwanie (które jest średnią ważoną) nie jest równe średniej arytmetycznej ani średniej, chyba że mamy do czynienia z dystrybucjami dyskretnymi, w których każde zdarzenie jest równie prawdopodobne. Wtedy i tylko wtedy:

Gdzie n to liczba możliwych wartości.

Koncepcja jest bardzo przydatna na rynkach finansowych i firmach ubezpieczeniowych, gdzie często brakuje pewności, ale istnieje prawdopodobieństwo.

Własności oczekiwań matematycznych

Wśród najważniejszych właściwości oczekiwań matematycznych wyróżniają się:

- Znak: jeśli X jest dodatnie, to E (X) również będzie dodatnie.

- Wartość oczekiwana stałej : oczekiwana wartość stałej rzeczywistej k jest stałą.

- Liniowość w sumie: oczekiwanie zmiennej losowej będącej z kolei sumą dwóch zmiennych X i Y jest sumą oczekiwań.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Mnożenie przez stałą : jeśli zmienna losowa ma postać kX, gdzie k jest stałą (liczbą rzeczywistą), wychodzi poza oczekiwaną wartość.

- Wartość oczekiwana iloczynu i niezależność między zmiennymi : jeżeli zmienna losowa jest iloczynem zmiennych losowych X i Y, które są niezależne, to wartość oczekiwana iloczynu jest iloczynem wartości oczekiwanych.

Ogólnie, jeśli Y = g (X):

- Kolejność według wartości oczekiwanej: jeśli X ≤ Y, to:

Ponieważ istnieją oczekiwane wartości każdego z nich.

Matematyczne oczekiwania dotyczące zakładów

Kiedy słynny astronom Christian Huygens (1629-1695) nie obserwował nieba, poświęcił się m.in. badaniu prawdopodobieństwa w grach losowych. To on wprowadził pojęcie nadziei matematycznej w swojej pracy z 1656 roku zatytułowanej: Rozumowanie o grach losowych.

Rysunek 2. Christiaan Huygens (1629-1625) był błyskotliwym i wszechstronnym naukowcem, któremu zawdzięczamy koncepcję wartości oczekiwanej.

Huygens stwierdził, że zakłady można klasyfikować na trzy sposoby, w oparciu o oczekiwaną wartość:

-Gry z przewagą: E (X)> 0

- Uczciwe zakłady: E (X) = 0

-Gra na niekorzyść: E (X) <0

Problem w tym, że w grze losowej matematyczne oczekiwanie nie zawsze jest łatwe do obliczenia. A kiedy możesz, wynik jest czasami rozczarowujący dla tych, którzy zastanawiają się, czy obstawić, czy nie.

Spróbujmy prostego zakładu: orzeł lub reszka, a przegrany płaci kawę za 1 $. Jaka jest oczekiwana wartość tego zakładu?

Cóż, prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi ½, czyli reszce. Zmienna losowa ma zyskać 1 zł lub stracić 1 zł, zysk jest oznaczony znakiem +, a strata znakiem -.

Informacje organizujemy w tabeli:

Mnożymy wartości kolumn: 1. ½ = ½ i (-1). ½ = -½ i na koniec dodaje się wyniki. Suma wynosi 0 i jest to gra uczciwa, w której od uczestników oczekuje się ani wygranej, ani przegranej.

Francuska ruletka i loteria to gry z handicapem, w których większość graczy przegrywa. Później jest nieco bardziej złożony zakład w sekcji ćwiczeń rozwiązanych.

Przykłady

Oto kilka prostych przykładów, w których pojęcie oczekiwania matematycznego jest intuicyjne i wyjaśnia to pojęcie:

Przykład 1

Zaczniemy od rzutu uczciwą kostką. Jaka jest oczekiwana wartość uruchomienia? Cóż, jeśli kostka jest uczciwa i ma 6 orłów, prawdopodobieństwo wyrzucenia dowolnej wartości (X = 1, 2, 3… 6) wynosi 1/6, na przykład:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Rysunek 3. W rzucie uczciwą kostką oczekiwana wartość nie jest możliwą wartością. Źródło: Pixabay.

Oczekiwana wartość w tym przypadku jest równa średniej, ponieważ każda ściana ma takie samo prawdopodobieństwo wyjścia. Ale E (X) nie jest możliwą wartością, ponieważ żadna głowa nie jest warta 3,5. Jest to całkowicie możliwe w niektórych dystrybucjach, chociaż w tym przypadku wynik nie pomaga graczowi zbytnio.

Spójrzmy na inny przykład z rzutem dwóch monet.

Przykład 2

Dwie uczciwe monety są wyrzucane w powietrze, a zmienną losową X definiujemy jako liczbę wyrzuconych głów. Mogą wystąpić następujące zdarzenia:

-Brak orłów: 0 orłów, co odpowiada 2 ogonom.

-Wychodzi 1 głowa i 1 stempel lub ogon.

-Wychodzą dwie twarze.

Niech C będzie głową, a T pieczęcią, przestrzeń próbna opisująca te zdarzenia jest następująca:

S _m = {Seal-Seal; Seal-Face; Uszczelnienie twarzy; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

Prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń są następujące:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Tabela jest zbudowana z uzyskanych wartości:

Zgodnie z definicją podaną na początku, oczekiwanie matematyczne oblicza się jako:

Zastępowanie wartości:

E (X) = 0 ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Wynik ten jest interpretowany w następujący sposób: jeśli dana osoba ma wystarczająco dużo czasu na wykonanie dużej liczby eksperymentów, rzucając dwiema monetami, oczekuje się, że uzyska głowę przy każdym rzucie.

Wiemy jednak, że wydania z 2 wytwórniami są całkowicie możliwe.

Ćwiczenie rozwiązane

W rzucie dwóch uczciwych monet stawia się następujący zakład: jeśli wypadną 2 reszki, wygrywasz 3 $, jeśli wypadnie 1 reszka, wygrywasz 1 $, ale jeśli wypadną dwa znaczki, musisz zapłacić 5 $. Oblicz oczekiwaną wygraną zakładu.

Rysunek 4. W zależności od zakładu, matematyczne oczekiwanie zmienia się po rzuceniu dwóch uczciwych monet. Źródło: Pixabay.

Rozwiązanie

Zmienna losowa X to wartości, które przyjmują pieniądze w zakładzie, a prawdopodobieństwa zostały obliczone w poprzednim przykładzie, dlatego tabela zakładów wygląda następująco:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Ponieważ oczekiwana wartość wynosi 0, gra jest uczciwa, więc w tym przypadku oczekuje się, że gracz nie wygra i nie przegra. Jednak kwoty zakładu mogą ulec zmianie, aby zakład był grą z handicapem lub grą z handicapem.

Bibliografia

1. Brase, C. 2009. Zrozumiałe statystyki. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Wprowadzenie do pojęcia wartości oczekiwanej lub matematycznego oczekiwania zmiennej losowej. Odzyskany z: personal.us.es.
3. Statystyki LibreTexts. Oczekiwana wartość dyskretnych zmiennych losowych. Odzyskany z: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Statystyka elementarna. 11th. Ed Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Prawdopodobieństwo i statystyka dla nauki i inżynierii. 8th. Wydanie. Edukacja Pearson.