WYDARZENIA UZUPEŁNIAJĄCE: Z CZEGO SKŁADAJĄ SIĘ I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

Te dodatkowe zdarzenia są definiowane jako grupy wzajemnie wykluczających zdarzeń siebie, przy czym związek z nich jest w stanie całkowicie pokryć powierzchni próbki lub możliwych przypadków eksperymentów (są wyczerpujące).

Ich przecięcie daje pusty zbiór (∅). Suma prawdopodobieństw dwóch uzupełniających się zdarzeń jest równa 1. Innymi słowy, 2 zdarzenia o tej charakterystyce całkowicie pokrywają możliwość wystąpienia zdarzeń eksperymentu.

Źródło: pexels.com

Jakie są wydarzenia uzupełniające?

Bardzo przydatnym przypadkiem ogólnym do zrozumienia tego typu wydarzeń jest rzucenie kostką:

Podczas definiowania przestrzeni próbnej nazywane są wszystkie możliwe przypadki oferowane przez eksperyment. Ten zestaw jest znany jako wszechświat.

Miejsce na próbkę (S):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Opcje niewyszczególnione w przestrzeni próbki nie są częścią możliwości eksperymentu. Na przykład {pojawi się liczba siedem} Ma prawdopodobieństwo równe zero.

Zgodnie z celem eksperymentu, w razie potrzeby, definiuje się zbiory i podzbiory. Zapis zestawu do użycia jest również określany zgodnie z celem lub parametrem, który ma być badany:

O: {Podaj liczbę parzystą} = {2, 4, 6}

B: {Uzyskaj nieparzystą liczbę} = {1, 3, 5}

W tym przypadku A i B są zdarzeniami uzupełniającymi. Ponieważ oba zestawy wzajemnie się wykluczają (parzysta liczba, która z kolei jest nieparzysta, nie może wyjść), a suma tych zestawów obejmuje całą przestrzeń próbki.

Inne możliwe podzbiory w powyższym przykładzie to:

C : {Podaj liczbę pierwszą} = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

Zbiory A, B i C są zapisywane odpowiednio w notacji opisowej i analitycznej . Dla zbioru D zastosowano notację algebraiczną, a możliwe wyniki odpowiadające eksperymentowi opisano w notacji analitycznej .

W pierwszym przykładzie widać, że ponieważ A i B są wydarzeniami uzupełniającymi się

O: {Podaj liczbę parzystą} = {2, 4, 6}

B: {Uzyskaj nieparzystą liczbę} = {1, 3, 5}

Zachowują się następujące aksjomaty:

1. AUB = S ; Suma dwóch uzupełniających się zdarzeń jest równa przestrzeni próbki
2. A ∩B = ∅ ; Przecięcie dwóch uzupełniających się zdarzeń jest równe pustemu zbiorowi
3. A '= B ᴧ B' = A; Każdy podzbiór jest równy dopełnieniu swojego homologu
4. A '∩ A = B' ∩ B = ∅; Przecięcie zbioru, którego dopełnienie jest puste
5. A „UA = B” UB = S; Połączenie zestawu z jego dopełnieniem równa się przestrzeni sampli

W statystykach i badaniach probabilistycznych zdarzenia komplementarne są częścią całej teorii i są bardzo powszechne wśród prowadzonych w tym zakresie operacji.

Aby dowiedzieć się więcej o wydarzeniach uzupełniających się , konieczne jest zrozumienie pewnych terminów, które pomagają zdefiniować je koncepcyjnie.

Jakie są wydarzenia?

Są możliwościami i zdarzeniami wynikającymi z eksperymentów, zdolnymi do zaoferowania wyników w każdej ich iteracji. Do zdarzenia generują dane powinny być rejestrowane jako elementy zbiorów i podzbiorów, trendy w tych danych są powodem do badania prawdopodobieństwa.

Przykłady wydarzeń to:

• Moneta miała spiczaste głowy
• Mecz zakończył się remisem
• Substancja chemiczna zareagowała w 1,73 sekundy
• Prędkość w maksymalnym punkcie wynosiła 30 m / s
• Na kości zaznaczono numer 4

Co to jest wtyczka?

Odnośnie teorii mnogości. Dopełniacza odnosi się do tej części próbki przestrzeni, które muszą być dodane do zestawu ponieważ obejmuje jego świat. To wszystko, co nie jest częścią całości.

Dobrze znanym sposobem oznaczania dopełnienia w teorii mnogości jest:

Dopełnienie A

Diagram Venna

Źródło: pixabay.com

Jest to schemat analityczno-graficzny treści, szeroko stosowany w operacjach matematycznych obejmujących zbiory, podzbiory i elementy. Każdy zestaw jest reprezentowany przez wielką literę i owalną figurę (ta cecha nie jest obowiązkowa w jej użyciu), która zawiera każdy z jego elementów.

Te dodatkowe zdarzenia są widoczne bezpośrednio wykresy Venna, jako graficznej metody identyfikacji odpowiednich sumatory każdego zestawu.

Prosta wizualizacja otoczenia zbioru, z pominięciem jego granic i struktury wewnętrznej, pozwala na zdefiniowanie dopełnienia badanego zbioru.

Przykłady wydarzeń uzupełniających

Przykładami wydarzeń uzupełniających się są sukces i porażka w przypadku wydarzenia, w którym nie może istnieć równość (gra w baseball).

Zmienne logiczne są zdarzeniami komplementarnymi: Prawda lub fałsz, podobnie dobre lub złe, zamknięte lub otwarte, włączone lub wyłączone.

Uzupełniające ćwiczenia eventowe

Ćwiczenie 1

Niech S będzie wszechświatem określonym przez wszystkie liczby naturalne mniejsze lub równe dziesięć.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Zdefiniowano następujące podzbiory S

H: {liczby naturalne mniejsze niż cztery} = {0, 1, 2, 3}

J: {wielokrotności trzech} = {3, 6, 9}

K: {wielokrotności pięciu} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {Liczby naturalne większe lub równe cztery} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Decydować się:

Ile zdarzeń komplementarnych można utworzyć przez powiązanie par podzbiorów S ?

Zgodnie z definicją wydarzeń komplementarnych identyfikowane są pary, które spełniają wymagania (wykluczają się wzajemnie i przy łączeniu pokrywają przestrzeń próbki). Następujące pary podzbiorów są zdarzeniami uzupełniającymi :

• H i N
• J i M.
• L i K.

Ćwiczenie 2

Pokaż, że: (M ∩ K) '= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; Przecięcie między zestawami daje wspólne elementy między obydwoma zestawami operantów. W ten sposób 5 jest jedynym wspólnym elementem między M i K.

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; Ponieważ L i K są komplementarne, trzeci aksjomat opisany powyżej jest spełniony (każdy podzbiór jest równy dopełnieniu swojego homologu)

Ćwiczenie 3

Określić: "

J ∩ H = {3} ; Podobnie jak w pierwszym kroku poprzedniego ćwiczenia.

(J * H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Te operacje są znane jako połączone i zwykle są traktowane za pomocą diagramu Venna.

' = {0, 1, 2}; Zdefiniowano dopełnienie połączonej operacji.

Ćwiczenie 4

Udowodnij, że: { ∩ ∩} '= ∅

Złożona operacja opisana w nawiasach klamrowych odnosi się do przecięć między połączeniami wydarzeń uzupełniających. W ten sposób przystępujemy do weryfikacji pierwszego aksjomatu (suma dwóch komplementarnych zdarzeń jest równa przestrzeni próbki).

∩ ∩ = S ∩ S ∩ S = S; Suma i przecięcie zbioru ze sobą generuje ten sam zestaw.

Następnie; S '= ∅ Z definicji zbiorów.

Ćwiczenie 5

Zdefiniuj 4 przecięcia między podzbiorami, których wyniki są różne od zbioru pustego (∅).

• M ∩ N

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}

• L ∩ H

{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}

• J ∩ N

{3, 6, 9} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}

Bibliografia

1. ROLA METOD STATYSTYCZNYCH W KOMPUTERCE I BIOINFORMATYCE. Irina Arhipova. Łotewski Uniwersytet Rolniczy, Łotwa.
2. Statystyki i ocena dowodów dla naukowców medycyny sądowej. Druga edycja. Colin GG Aitken. Szkoła Matematyki. University of Edinburgh, Wielka Brytania
3. PODSTAWOWA TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA, Robert B. Ash. Katedra Matematyki. University of Illinois
4. Podstawowe STATYSTYKI. Wydanie dziesiąte. Mario F. Triola. Boston St.
5. Matematyka i inżynieria w informatyce. Christopher J. Van Wyk. Instytut Informatyki i Technologii. National Bureau of Standards. Waszyngton, DC 20234
6. Matematyka dla informatyki. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Wydział Matematyki oraz Laboratorium Informatyki i AI, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies