CZYNNIK WSPÓLNY WEDŁUG GRUPOWANIA TERMINÓW: PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Czynnikiem wspólnym grupowania terminów jest procedura algebraiczna, która umożliwia zapisanie niektórych wyrażeń algebraicznych w postaci czynników. Aby osiągnąć ten cel, musisz najpierw odpowiednio zgrupować wyrażenie i zauważyć, że każda tak utworzona grupa ma w efekcie wspólny czynnik.

Prawidłowe zastosowanie techniki wymaga trochę praktyki, ale szybko ją opanujesz. Najpierw spójrzmy na ilustracyjny przykład opisany krok po kroku. Następnie czytelnik może zastosować to, czego się nauczył, w każdym z ćwiczeń, które pojawią się później.

Rysunek 1. Przyjmowanie wspólnego czynnika poprzez grupowanie terminów ułatwia pracę z wyrażeniami algebraicznymi. Źródło: Pixabay.

Załóżmy na przykład, że musisz wziąć pod uwagę następujące wyrażenie:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

To wyrażenie algebraiczne składa się z 4 jednomianów lub wyrazów oddzielonych znakami + i -, a mianowicie:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Przyglądając się uważnie, x jest wspólne dla pierwszych trzech, ale nie dla ostatniego, podczas gdy y jest wspólne dla drugiego i czwartego, a z jest wspólne dla trzeciego i czwartego.

Tak więc w zasadzie nie ma wspólnego czynnika dla czterech terminów w tym samym czasie, ale jeśli są one zgrupowane, jak zostanie pokazane w następnej sekcji, możliwe jest, że pojawi się jeden, który pomoże zapisać wyrażenie jako iloczyn dwóch lub więcej czynniki.

Przykłady

Uwzględnij wyrażenie: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Krok 1 : Grupuj

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Krok 2: Znajdź wspólny czynnik każdej grupy

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

I niejszym : znak ujemny jest także częstym czynnikiem, który należy wziąć pod uwagę.

Zwróćmy teraz uwagę, że nawiasy (x + y) są powtarzane w dwóch wyrażeniach uzyskanych przez grupowanie. To jest wspólny czynnik, którego szukano.

Krok 3: Uwzględnij całe wyrażenie

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Z poprzednim rezultatem osiągnięto cel faktoringu, którym jest nic innego jak przekształcenie wyrażenia algebraicznego opartego na dodawaniu i odejmowaniu składników na iloczyn dwóch lub więcej czynników, w naszym przykładzie: (x + y) oraz (2x - 3z).

Ważne pytania dotyczące wspólnego czynnika w grupach

Pytanie 1 : Skąd wiadomo, że wynik jest prawidłowy?

Odpowiedź : Właściwość rozdzielności jest stosowana do otrzymanego wyniku i po zmniejszeniu i uproszczeniu otrzymane w ten sposób wyrażenie musi być zgodne z oryginałem, jeśli nie, występuje błąd.

W poprzednim przykładzie działamy w odwrotnej kolejności z wynikiem, aby sprawdzić, czy jest poprawny:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Ponieważ kolejność dodatków nie zmienia sumy, po zastosowaniu własności rozdzielczej zwracane są wszystkie pierwotne warunki, z uwzględnieniem znaków, dlatego faktoryzacja jest poprawna.

Pytanie 2: Czy można to pogrupować w inny sposób?

Odpowiedź: Istnieją wyrażenia algebraiczne, które pozwalają na więcej niż jedną formę grupowania, a inne nie. W wybranym przykładzie czytelnik może samodzielnie wypróbować inne możliwości, np. Grupując w ten sposób:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

I możesz sprawdzić, czy wynik jest taki sam, jak uzyskano tutaj. Znalezienie optymalnej grupy jest kwestią praktyki.

Pytanie 3: Dlaczego konieczne jest wzięcie wspólnego czynnika z wyrażenia algebraicznego?

Odpowiedź : Ponieważ istnieją aplikacje, w których wyrażenie z faktorami ułatwia obliczenia. Na przykład, załóżmy, że chcesz ustawić 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy równe 0. Jakie są możliwości?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, wersja z faktorami jest znacznie bardziej przydatna niż pierwotne opracowanie. Mówi się tak:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Jedną z możliwości, że wyrażenie jest warte 0, jest to, że x = -y, niezależnie od wartości z. A po drugie, x = (3/2) z, niezależnie od wartości y.

Ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Wyodrębnij wspólny czynnik następującego wyrażenia, grupując terminy:

ax + ay + bx + by

Rozwiązanie

Pierwsze dwa są zgrupowane ze wspólnym czynnikiem „a”, a ostatnie dwa ze wspólnym czynnikiem „b”:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Po wykonaniu tej czynności ujawnia się nowy wspólny czynnik, którym jest (x + y), tak że:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Inny sposób na grupowanie

To wyrażenie obsługuje inny sposób grupowania. Zobaczmy, co się stanie, jeśli terminy zostaną przestawione i zostanie utworzona grupa z tych, które zawierają x, a druga z tymi, które zawierają y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

W ten sposób nowy wspólny czynnik to (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Co prowadzi do tego samego wyniku w pierwszej testowanej grupie.

- Ćwiczenie 2

Następujące wyrażenie algebraiczne należy zapisać jako iloczyn dwóch czynników:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Rozwiązanie

To wyrażenie zawiera 6 terminów. Spróbujmy zgrupować pierwszą i czwartą, drugą i trzecią, a na końcu piątą i szóstą:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Teraz każdy nawias jest uwzględniany:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że sytuacja jest skomplikowana, ale czytelnika nie powinno się zniechęcać, skoro mamy zamiar przepisać ostatni termin:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Ostatnie dwa wyrazy mają teraz wspólny czynnik, którym jest (3b-a), więc można je rozłożyć na czynniki. Bardzo ważne jest, aby nie stracić z oczu pierwszego członu a ² (3a - 1), który musi nadal towarzyszyć wszystkiemu jako dodatek, nawet jeśli nie pracujesz z nim:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Wyrażenie zostało zredukowane do dwóch członów, aw ostatnim odkryto nowy wspólny czynnik, którym jest „b”. Teraz pozostaje:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Następnym wspólnym czynnikiem, który się pojawi, jest 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Lub jeśli wolisz bez nawiasów:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ² )

Czy czytelnik może znaleźć inny sposób grupowania, który prowadzi do tego samego wyniku?

Rysunek 2. Proponowane ćwiczenia faktoringowe. Źródło: F. Zapata.

Bibliografia

1. Baldor, A. 1974. Algebra elementarna. Cultural Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Główne przypadki faktoringu. Odzyskany z: julioprofe.net.
4. UNAM. Podstawy matematyki: Faktoryzacja przez grupowanie terminów. Wydział Rachunkowości i Administracji.
5. Zill, D. 1984. Algebra i trygonometria. MacGraw Hill.