- Przykłady
- Ważne pytania dotyczące wspólnego czynnika w grupach
- Ćwiczenia
- - Ćwiczenie 1
- Rozwiązanie
- Inny sposób na grupowanie
- - Ćwiczenie 2
- Rozwiązanie
- Bibliografia
Czynnikiem wspólnym grupowania terminów jest procedura algebraiczna, która umożliwia zapisanie niektórych wyrażeń algebraicznych w postaci czynników. Aby osiągnąć ten cel, musisz najpierw odpowiednio zgrupować wyrażenie i zauważyć, że każda tak utworzona grupa ma w efekcie wspólny czynnik.
Prawidłowe zastosowanie techniki wymaga trochę praktyki, ale szybko ją opanujesz. Najpierw spójrzmy na ilustracyjny przykład opisany krok po kroku. Następnie czytelnik może zastosować to, czego się nauczył, w każdym z ćwiczeń, które pojawią się później.

Rysunek 1. Przyjmowanie wspólnego czynnika poprzez grupowanie terminów ułatwia pracę z wyrażeniami algebraicznymi. Źródło: Pixabay.
Załóżmy na przykład, że musisz wziąć pod uwagę następujące wyrażenie:
2x 2 + 2xy - 3zx - 3zy
To wyrażenie algebraiczne składa się z 4 jednomianów lub wyrazów oddzielonych znakami + i -, a mianowicie:
2x 2 , 2xy, -3zx, -3zy
Przyglądając się uważnie, x jest wspólne dla pierwszych trzech, ale nie dla ostatniego, podczas gdy y jest wspólne dla drugiego i czwartego, a z jest wspólne dla trzeciego i czwartego.
Tak więc w zasadzie nie ma wspólnego czynnika dla czterech terminów w tym samym czasie, ale jeśli są one zgrupowane, jak zostanie pokazane w następnej sekcji, możliwe jest, że pojawi się jeden, który pomoże zapisać wyrażenie jako iloczyn dwóch lub więcej czynniki.
Przykłady
Uwzględnij wyrażenie: 2x 2 + 2xy - 3zx - 3zy
Krok 1 : Grupuj
2x 2 + 2xy - 3zx - 3zy = (2x 2 + 2xy) + (-3zx - 3zy)
Krok 2: Znajdź wspólny czynnik każdej grupy
2x 2 + 2xy - 3zx - 3zy =
= (2x 2 + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)
I niejszym : znak ujemny jest także częstym czynnikiem, który należy wziąć pod uwagę.
Zwróćmy teraz uwagę, że nawiasy (x + y) są powtarzane w dwóch wyrażeniach uzyskanych przez grupowanie. To jest wspólny czynnik, którego szukano.
Krok 3: Uwzględnij całe wyrażenie
2x 2 + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)
Z poprzednim rezultatem osiągnięto cel faktoringu, którym jest nic innego jak przekształcenie wyrażenia algebraicznego opartego na dodawaniu i odejmowaniu składników na iloczyn dwóch lub więcej czynników, w naszym przykładzie: (x + y) oraz (2x - 3z).
Ważne pytania dotyczące wspólnego czynnika w grupach
Pytanie 1 : Skąd wiadomo, że wynik jest prawidłowy?
Odpowiedź : Właściwość rozdzielności jest stosowana do otrzymanego wyniku i po zmniejszeniu i uproszczeniu otrzymane w ten sposób wyrażenie musi być zgodne z oryginałem, jeśli nie, występuje błąd.
W poprzednim przykładzie działamy w odwrotnej kolejności z wynikiem, aby sprawdzić, czy jest poprawny:
(x + y) (2x - 3z) = 2x 2 -3zx + 2xy - 3zy
Ponieważ kolejność dodatków nie zmienia sumy, po zastosowaniu własności rozdzielczej zwracane są wszystkie pierwotne warunki, z uwzględnieniem znaków, dlatego faktoryzacja jest poprawna.
Pytanie 2: Czy można to pogrupować w inny sposób?
Odpowiedź: Istnieją wyrażenia algebraiczne, które pozwalają na więcej niż jedną formę grupowania, a inne nie. W wybranym przykładzie czytelnik może samodzielnie wypróbować inne możliwości, np. Grupując w ten sposób:
2x 2 + 2xy - 3zx - 3zy = (2x 2 - 3zx) + (2xy - 3zy)
I możesz sprawdzić, czy wynik jest taki sam, jak uzyskano tutaj. Znalezienie optymalnej grupy jest kwestią praktyki.
Pytanie 3: Dlaczego konieczne jest wzięcie wspólnego czynnika z wyrażenia algebraicznego?
Odpowiedź : Ponieważ istnieją aplikacje, w których wyrażenie z faktorami ułatwia obliczenia. Na przykład, załóżmy, że chcesz ustawić 2x 2 + 2xy - 3zx - 3zy równe 0. Jakie są możliwości?
Aby odpowiedzieć na to pytanie, wersja z faktorami jest znacznie bardziej przydatna niż pierwotne opracowanie. Mówi się tak:
(x + y) (2x - 3z) = 0
Jedną z możliwości, że wyrażenie jest warte 0, jest to, że x = -y, niezależnie od wartości z. A po drugie, x = (3/2) z, niezależnie od wartości y.
Ćwiczenia
- Ćwiczenie 1
Wyodrębnij wspólny czynnik następującego wyrażenia, grupując terminy:
ax + ay + bx + by
Rozwiązanie
Pierwsze dwa są zgrupowane ze wspólnym czynnikiem „a”, a ostatnie dwa ze wspólnym czynnikiem „b”:
ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)
Po wykonaniu tej czynności ujawnia się nowy wspólny czynnik, którym jest (x + y), tak że:
ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)
Inny sposób na grupowanie
To wyrażenie obsługuje inny sposób grupowania. Zobaczmy, co się stanie, jeśli terminy zostaną przestawione i zostanie utworzona grupa z tych, które zawierają x, a druga z tymi, które zawierają y:
ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)
W ten sposób nowy wspólny czynnik to (a + b):
ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)
Co prowadzi do tego samego wyniku w pierwszej testowanej grupie.
- Ćwiczenie 2
Następujące wyrażenie algebraiczne należy zapisać jako iloczyn dwóch czynników:
3a 3 - 3a 2 b + 9ab 2 -a 2 + ab-3b 2
Rozwiązanie
To wyrażenie zawiera 6 terminów. Spróbujmy zgrupować pierwszą i czwartą, drugą i trzecią, a na końcu piątą i szóstą:
3a 3 - 3a 2 b + 9ab 2 -a 2 + ab-3b 2 = (3a 3 -a 2 ) + (- 3a 2 b + 9ab 2 ) + (ab-3b 2 )
Teraz każdy nawias jest uwzględniany:
= (3a 3 -a 2 ) + (- 3a 2 b + 9ab 2 ) + (ab -3b 2 ) = a 2 (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)
Na pierwszy rzut oka wydaje się, że sytuacja jest skomplikowana, ale czytelnika nie powinno się zniechęcać, skoro mamy zamiar przepisać ostatni termin:
a 2 (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a 2 (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)
Ostatnie dwa wyrazy mają teraz wspólny czynnik, którym jest (3b-a), więc można je rozłożyć na czynniki. Bardzo ważne jest, aby nie stracić z oczu pierwszego członu a 2 (3a - 1), który musi nadal towarzyszyć wszystkiemu jako dodatek, nawet jeśli nie pracujesz z nim:
a 2 (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a 2 (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)
Wyrażenie zostało zredukowane do dwóch członów, aw ostatnim odkryto nowy wspólny czynnik, którym jest „b”. Teraz pozostaje:
a 2 (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a 2 (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)
Następnym wspólnym czynnikiem, który się pojawi, jest 3a - 1:
a 2 (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)
Lub jeśli wolisz bez nawiasów:
(3a - 1) = (3a - 1) (a 2 –ab + 3b 2 )
Czy czytelnik może znaleźć inny sposób grupowania, który prowadzi do tego samego wyniku?

Rysunek 2. Proponowane ćwiczenia faktoringowe. Źródło: F. Zapata.
Bibliografia
- Baldor, A. 1974. Algebra elementarna. Cultural Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Główne przypadki faktoringu. Odzyskany z: julioprofe.net.
- UNAM. Podstawy matematyki: Faktoryzacja przez grupowanie terminów. Wydział Rachunkowości i Administracji.
- Zill, D. 1984. Algebra i trygonometria. MacGraw Hill.
