UŁAMKI CZĄSTKOWE: PRZYPADKI I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

Te frakcje częściowe są utworzone przez wielomianów frakcje, w których mianownik może być liniową lub kwadratową wielomianowej, a ponadto, może być zwiększona w pewnym mocy. Czasami, gdy mamy funkcje wymierne, bardzo przydatne jest przepisanie tej funkcji jako sumy częściowych ułamków lub prostych ułamków.

Dzieje się tak, ponieważ w ten sposób możemy lepiej manipulować tymi funkcjami, zwłaszcza w przypadkach, gdy konieczne jest zintegrowanie tej aplikacji. Funkcja wymierna to po prostu iloraz między dwoma wielomianami i mogą one być właściwe lub niewłaściwe.

Jeśli stopień wielomianu licznika jest mniejszy niż mianownik, nazywa się to racjonalną funkcją właściwą; w przeciwnym razie nazywa się to niewłaściwą funkcją racjonalną.

Definicja

Gdy mamy niewłaściwą funkcję wymierną, możemy podzielić wielomian licznika przez wielomian mianownika, a tym samym przepisać ułamek p (x) / q (x), zgodnie z algorytmem dzielenia jako t (x) + s (x) / q (x), gdzie t (x) jest wielomianem, a s (x) / q (x) jest właściwą funkcją wymierną.

Ułamek częściowy to dowolna właściwa funkcja wielomianów, której mianownik ma postać (ax + b) ⁿ lub (ax ² + bx + c) ⁿ , jeśli wielomian ax ² + bx + c nie ma pierwiastków rzeczywistych, a n jest liczbą naturalny.

Aby przepisać funkcję wymierną w ułamkach cząstkowych, pierwszą rzeczą do zrobienia jest rozłożenie mianownika q (x) na iloczyn czynników liniowych i / lub kwadratowych. Po wykonaniu tej czynności określane są częściowe ułamki, które zależą od charakteru tych czynników.

Przypadki

Rozważamy osobno kilka przypadków.

Przypadek 1

Wszystkie czynniki q (x) są liniowe i żaden się nie powtarza. To jest do powiedzenia:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ )… (a _s x + b _s )

Żaden czynnik liniowy nie jest identyczny z innym. W takim przypadku napiszemy:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ )… + A _s / (a _s x + b _s ).

Gdzie A ₁ , A ₂ ,…, A _s są stałymi do znalezienia.

Przykład

Chcemy rozłożyć funkcję wymierną na proste ułamki:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Przechodzimy do faktoryzacji mianownika, czyli:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Następnie:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Stosując najmniejszą wspólną wielokrotność można uzyskać, że:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Chcemy uzyskać wartości stałych A, B i C, które można znaleźć, podstawiając pierwiastki anulujące każdy z wyrazów. Podstawiając 0 za x otrzymujemy:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Zastępując - 1 za x mamy:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Zastępując - 2 za x mamy:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2 ° C

C = –3/2.

W ten sposób otrzymujemy wartości A = –1/2, B = 2 i C = –3/2.

Istnieje inna metoda uzyskania wartości A, B i C.Jeśli po prawej stronie równania x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x łączymy terminy, mamy:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Ponieważ jest to równość wielomianów, mamy, że współczynniki po lewej stronie muszą być równe współczynnikom po prawej stronie. Skutkuje to następującym układem równań:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy wyniki A = –1/2, B = 2 i C = -3/2.

Wreszcie, podstawiając otrzymane wartości, mamy to:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Przypadek 2

Wszystkie czynniki q (x) są liniowe, a niektóre się powtarzają. Załóżmy, że (ax + b) jest czynnikiem, który powtarza razy „s”; następnie temu czynnikowi odpowiada suma częściowych ułamków „s”.

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Gdzie A _s , A _s-1 ,…, A ₁ to stałe, które należy określić. W poniższym przykładzie pokażemy, jak określić te stałe.

Przykład

Rozłóż na częściowe ułamki:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

Funkcję wymierną zapisujemy jako sumę ułamków cząstkowych w następujący sposób:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2) ).

Następnie:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Zastępując 2 za x, mamy to:

7 = 4 ° C, czyli C = 7/4.

Podstawiając 0 za x otrzymujemy:

- 1 = –8A lub A = 1/8.

Zastępując te wartości w poprzednim równaniu i rozwijając, otrzymujemy:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Porównując współczynniki, otrzymujemy następujący układ równań:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Rozwiązując system mamy:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

W tym celu musimy:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Przypadek 3

Współczynniki q (x) są liniowo kwadratowe, bez żadnych powtarzających się współczynników kwadratowych. W tym przypadku współczynnik kwadratowy (ax ² + bx + c) będzie odpowiadał ułamkowi cząstkowemu (Ax + B) / (ax ² + bx + c), gdzie stałe A i B to te, które mają zostać określone.

Poniższy przykład pokazuje, jak postępować w tym przypadku

Przykład

Rozłóż na proste ułamki a (x + 1) / (x ³ - 1).

Najpierw bierzemy pod uwagę mianownik, który daje nam wynik:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Możemy zauważyć, że (x ² + x + 1) jest nieredukowalnym wielomianem kwadratowym; to znaczy, że nie ma prawdziwych korzeni. Jego rozkład na częściowe ułamki będzie następujący:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Z tego otrzymujemy następujące równanie:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Korzystając z równości wielomianów, otrzymujemy następujący układ:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Z tego systemu mamy, że A = 2/3, B = - 2/3 i C = 1/3. Zastępując, mamy to:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Przypadek 4

Wreszcie przypadek 4 to ten, w którym współczynniki q (x) są liniowe i kwadratowe, gdzie niektóre liniowe współczynniki kwadratowe są powtarzane.

W tym przypadku, jeśli (ax ² + bx + c) jest współczynnikiem kwadratowym, który powtarza „s” razy, to ułamek częściowy odpowiadający współczynnikowi (ax ² + bx + c) będzie wyglądał następująco:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (ax ² + bx + c) ^s

Gdzie A _s , A _s-1 ,…, A i B _s , B _s-1 ,…, B są stałymi, które należy określić.

Przykład

Chcemy rozłożyć następującą funkcję wymierną na ułamki cząstkowe:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

Ponieważ x ² - 4x + 5 jest nieredukowalnym czynnikiem kwadratowym, mamy, że jego rozkład na częściowe ułamki jest określony wzorem:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Upraszczając i rozwijając, mamy:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Z powyższego mamy następujący układ równań:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40 A + 5 C + E = 1;

25A = 2.

Rozwiązując system pozostaje nam:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 i E = - 3/5.

Podstawiając otrzymane wartości otrzymujemy:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

Aplikacje

Rachunek całkowy

Ułamki cząstkowe służą głównie do badania rachunku całkowego. Oto kilka przykładów wykonywania całek przy użyciu ułamków częściowych.

Przykład 1

Chcemy obliczyć całkę z:

Widzimy, że mianownik q (x) = (t + 2) ² (t + 1) składa się z czynników liniowych, w których jeden z nich się powtarza; Dlatego jesteśmy w przypadku 2.

Musimy:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Przepisujemy równanie i mamy:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Jeśli t = - 1, mamy:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C.

Jeśli t = - 2, to daje nam:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Wtedy, jeśli t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Podstawiając wartości A i C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Z powyższego mamy, że B = - 1.

Przepisujemy całkę jako:

Przystępujemy do rozwiązania go metodą podstawienia:

Oto wynik:

Przykład 2

Rozwiąż następującą całkę:

W tym przypadku można czynnikiem wodnego (x) = ² - 4, a q (x) = (x - 2), (x + 2). Jesteśmy wyraźnie w przypadku 1. Dlatego:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Można to również wyrazić jako:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Jeśli x = - 2, mamy:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

A jeśli x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Zatem rozwiązanie danej całki jest równoznaczne z rozwiązaniem:

W rezultacie otrzymujemy:

Przykład 3

Rozwiąż całkę:

Mamy q (x) = 9x ⁴ + x ² , które możemy uwzględnić w q (x) = x ² (9x ² + 1).

Tym razem mamy powtarzający się czynnik liniowy i czynnik kwadratowy; to znaczy jesteśmy w przypadku 3.

Musimy:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Grupując i używając równych wielomianów, mamy:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Z tego układu równań mamy:

D = - 9 i C = 0

W ten sposób mamy:

Rozwiązując powyższe mamy:

Prawo akcji masowej

Ciekawe zastosowanie ułamków cząstkowych zastosowanych do rachunku całkowego można znaleźć w chemii, a dokładniej w prawie działania mas.

Załóżmy, że mamy dwie substancje, A i B, które łączą się i tworzą substancję C, tak że pochodna ilości C względem czasu jest proporcjonalna do iloczynu ilości A i B w dowolnym momencie.

Prawo akcji masowej możemy wyrazić następująco:

W tym wyrażeniu α jest początkową liczbą gramów odpowiadającą A, a β początkową liczbą gramów odpowiadającą B.

Ponadto ris reprezentują liczbę gramów odpowiednio A i B, które łączą się, tworząc r + s gramów C. Ze swojej strony, x oznacza liczbę gramów substancji C w czasie t, a K jest stała proporcjonalności. Powyższe równanie można przepisać jako:

Wprowadzanie następującej zmiany:

Mamy, że równanie wygląda następująco:

Z tego wyrażenia możemy otrzymać:

Jeżeli a ≠ b, do całkowania można użyć ułamków częściowych.

Przykład

Weźmy na przykład substancję C, która powstaje z połączenia substancji A z B, w taki sposób, że prawo masy jest spełnione, gdy wartości aib wynoszą odpowiednio 8 i 6. Podaj równanie, które daje nam wartość gramów C w funkcji czasu.

Podstawiając wartości w podanym prawie mas, otrzymujemy:

Oddzielając zmienne mamy:

Tutaj 1 / (8 - x) (6 - x) można zapisać jako sumę częściowych ułamków w następujący sposób:

Zatem 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Jeśli podstawimy 6 za x, otrzymamy B = 1/2; i podstawiając 8 za x, mamy A = - 1/2.

Całkując przez ułamki częściowe mamy:

W rezultacie otrzymujemy:

Równania różniczkowe: równanie logistyczne

Innym zastosowaniem, które można zastosować do ułamków cząstkowych, jest logistyczne równanie różniczkowe. W prostych modelach mamy, że tempo wzrostu populacji jest proporcjonalne do jej wielkości; to jest do powiedzenia:

Ten przypadek jest idealny i jest uważany za realistyczny, dopóki nie zdarzy się, że zasoby dostępne w systemie są niewystarczające do utrzymania populacji.

W takich sytuacjach najbardziej rozsądną rzeczą jest myślenie, że istnieje maksymalna pojemność, którą nazwiemy L, którą system może utrzymać, oraz że tempo wzrostu jest proporcjonalne do wielkości populacji pomnożonej przez dostępny rozmiar. Ten argument prowadzi do następującego równania różniczkowego:

To wyrażenie nazywa się logistycznym równaniem różniczkowym. Jest to równanie różniczkowe, które można rozdzielić, które można rozwiązać metodą całkowania ułamków częściowych.

Przykład

Przykładem może być rozważenie populacji, która rośnie zgodnie z następującym logistycznym równaniem różniczkowym y '= 0,0004y (1000 - y), którego początkowe dane to 400. Chcemy poznać wielkość populacji w czasie t = 2, gdzie mierzy się t w latach.

Jeśli napiszemy y 'za pomocą notacji Leibniza jako funkcji zależnej od t, otrzymamy:

Całkę po lewej stronie można rozwiązać metodą całkowania ułamków częściowych:

Możemy przepisać tę ostatnią równość w następujący sposób:

- Podstawiając y = 0 otrzymujemy, że A jest równe 1/1000.

- Podstawiając y = 1000 otrzymujemy, że B jest równe 1/1000.

Przy tych wartościach całka jest następująca:

Rozwiązaniem jest:

Na podstawie danych początkowych:

Podczas rozliczeń i mamy:

Wtedy mamy to przy t = 2:

Podsumowując, po 2 latach wielkość populacji wynosi około 597,37.

Bibliografia

1. A, RA (2012). Matematyka 1. Universidad de los Andes. Rada Publikacji.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (nd). 801 Całki rozstrzygnięte. Narodowy Uniwersytet Eksperymentalny w Tachira.
3. Leithold, L. (1992). Obliczenia z geometrią analityczną. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D. i Rigdon, SE (2007). Obliczenie. Meksyk: Pearson Education.
5. Saenz, J. (nd). Rachunek całkowy. Przeciwprostokątna.