FUNKCJA HOMOGRAFICZNA: JAK RYSOWAĆ, ROZWIĄZYWANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Funkcja homograficzna lub racjonalną ng jest typu składa się z matematycznej funkcji podziału wielomianu dwóch składników. Jest zgodny z formą P (x) / Q (x), gdzie Q (x) nie może przyjąć postaci zerowej.

Na przykład wyrażenie (2x - 1) / (x + 3) odpowiada funkcji homograficznej z P (x) = 2x - 1 i Q (x) = x + 3.

Źródło: pixabay.com

Funkcje homograficzne stanowią część badań funkcji analitycznych, rozpatrywanych z podejścia graficznego oraz z badania dziedziny i zakresu. Wynika to z ograniczeń i podstaw, które należy zastosować przy twoich postanowieniach.

Co to jest funkcja homograficzna?

Są to racjonalne wyrażenia jednej zmiennej, chociaż nie oznacza to, że nie ma podobnego wyrażenia dla dwóch lub więcej zmiennych, gdzie byłoby to już w obecności ciał w przestrzeni, które podlegają tym samym wzorcom, co funkcja homograficzna w płaszczyźnie.

W niektórych przypadkach mają one prawdziwe korzenie, ale zawsze utrzymuje się istnienie asymptot pionowych i poziomych, a także interwały wzrostu i spadku. Zwykle występuje tylko jeden z tych trendów, ale istnieją wyrażenia, które mogą pokazać oba w ich rozwoju.

Jego dziedzina jest ograniczona przez pierwiastki mianownika, ponieważ nie ma dzielenia liczb rzeczywistych przez zero.

Mieszana funkcja homograficzna

Są one bardzo częste w obliczeniach, zwłaszcza różniczkowe i całkowe, konieczne do wyprowadzenia i anty-pochodnych w określonych wzorach. Poniżej wymieniono niektóre z najczęstszych.

Nawet n-ty pierwiastek funkcji homograficznej

Wyklucz wszystkie elementy domeny, które powodują, że argument jest ujemny. Pierwiastki obecne w każdym wielomianu dają wartości zerowe podczas oceny.

Te wartości są akceptowane przez radykała, choć trzeba wziąć pod uwagę fundamentalne ograniczenie funkcji homograficznej. Gdzie Q (x) nie może otrzymać wartości null.

Rozwiązania przedziałów muszą zostać przechwycone:

Do rozwiązania skrzyżowań można zastosować m.in. metodę znakową.

Logarytm funkcji homograficznej

Często zdarza się również, że oba wyrażenia znajdują się w jednej, wśród innych możliwych kombinacji.

Jak wykreślić funkcję homograficzną?

Funkcje homograficzne odpowiadają graficznie hiperbolom na płaszczyźnie. Które są przenoszone poziomo i pionowo zgodnie z wartościami definiującymi wielomiany.

Jest kilka elementów, które musimy zdefiniować, aby wykreślić funkcję wymierną lub homograficzną.

Osiedle

Pierwszą będą pierwiastki lub zera funkcji P i Q.

Osiągnięte wartości zostaną zaznaczone na osi x wykresu. Wskazanie przecięć wykresu z osią.

Pionowa asymptota

Odpowiadają one pionowym liniom, które wyznaczają wykres zgodnie z trendami, które przedstawiają. Dotykają osi X przy wartościach, które powodują zero w mianowniku i nigdy nie zostaną dotknięte przez wykres funkcji homograficznej.

Asymptota pozioma

Przedstawiony przez poziomą linię ściegu wyznacza granicę, dla której funkcja nie zostanie zdefiniowana w dokładnym punkcie. Trendy będą obserwowane przed i po tej linii.

Aby to obliczyć, musimy skorzystać z metody podobnej do metody L'Hopitala, używanej do rozwiązywania granic funkcji wymiernych, które dążą do nieskończoności. Musimy wziąć współczynniki najwyższych potęg w liczniku i mianowniku funkcji.

Na przykład poniższe wyrażenie ma poziomą asymptotę przy y = 2/1 = 2.

Interwał wzrostu

Wartości rzędnych będą miały trendy zaznaczone na wykresie ze względu na asymptoty. W przypadku wzrostu funkcja będzie rosła wartości, gdy elementy domeny będą oceniane od lewej do prawej.

Zmniejsz interwał

Wartości rzędnych będą się zmniejszać, gdy elementy domeny będą oceniane od lewej do prawej.

Skoki znalezione w wartościach nie będą brane pod uwagę jako wzrosty lub spadki. Dzieje się tak, gdy wykres znajduje się blisko asymptoty pionowej lub poziomej, gdzie wartości mogą zmieniać się od nieskończoności do ujemnej nieskończoności i odwrotnie.

Przecięcie Y.

Ustawiając wartość x na zero, znajdujemy punkt przecięcia z osią rzędnych. Są to bardzo przydatne dane do uzyskania wykresu funkcji wymiernej.

Przykłady

Zdefiniuj wykres następujących wyrażeń, znajdź ich pierwiastki, asymptoty pionowe i poziome, przedziały wzrostu i spadku oraz przecięcie z osią rzędnych.

Ćwiczenie 1

Wyrażenie nie ma pierwiastków, ponieważ ma stałą wartość w liczniku. Ograniczenie, które zostanie zastosowane, będzie x różne od zera. Przy asymptocie poziomej przy y = 0 i asymptocie pionowej przy x = 0. Nie ma punktów przecięcia z osią y.

Zaobserwowano, że nie ma przedziałów wzrostu nawet przy skoku od minus do plus nieskończoności przy x = 0.

Przedział zmniejszania wynosi

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Ćwiczenie 1.2

Obserwujemy 2 wielomiany, tak jak w początkowej definicji, więc postępujemy zgodnie z ustalonymi krokami.

Znaleziony pierwiastek to x = 7/2, co wynika z ustawienia funkcji na zero.

Asymptota pionowa znajduje się w punkcie x = - 4, co jest wartością wykluczoną z domeny przez warunek funkcji wymiernej.

Asymptota pozioma jest przy y = 2, to po podzieleniu 2/1, współczynniki zmiennych stopnia 1.

Ma punkt przecięcia z osią y = - 7/4. Wartość znaleziona po zrównaniu x do zera.

Funkcja stale rośnie, ze skokiem od plusa do minus nieskończoności wokół pierwiastka x = -4.

Jego przedział wzrostu to (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Kiedy wartość x zbliża się do minus nieskończoności, funkcja przyjmuje wartości bliskie 2. To samo dzieje się, gdy x zbliża się do większej nieskończoności.

Wyrażenie zbliża się do plus nieskończoności podczas szacowania do - 4 od lewej i minus nieskończoności podczas szacowania do - 4 od prawej.

Ćwiczenie 2

Obserwuje się wykres następującej funkcji homograficznej:

Opisz jego zachowanie, korzenie, asymptoty pionowe i poziome, przedziały wzrostu i spadku oraz przecięcie z osią rzędnych.

Mianownik wyrażenia mówi nam, biorąc pod uwagę różnicę kwadratów (x + 1) (x - 1) wartości pierwiastków. W ten sposób obie asymptoty pionowe można zdefiniować jako:

x = -1 i x = 1

Asymptota pozioma odpowiada osi odciętych, ponieważ w mianowniku znajduje się najwyższa moc.

Jego jedyny pierwiastek jest zdefiniowany przez x = -1/3.

Wyrażenie zawsze maleje od lewej do prawej. Zbliża się do zera, gdy zbliża się do nieskończoności. Minus nieskończoność, gdy zbliżasz się do -1 od lewej. A plus nieskończoność, gdy zbliża się do -1 od prawej. Mniejsza nieskończoność przy zbliżaniu się do 1 z lewej i bardziej nieskończona przy zbliżaniu się do 1 z prawej.

Bibliografia

1. Aproksymacja z funkcjami wymiernymi. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., 31 grudnia. 1979
2. Funkcje wymierne ortogonalne. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13 lutego. 1999
3. Racjonalne przybliżenie funkcji rzeczywistych. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 marca. 2011
4. Funkcje algebraiczne. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1 stycznia 2004
5. Journal of the Spanish Mathematical Society, tomy 5-6. Hiszpańskie Towarzystwo Matematyczne, Madryt 1916