GEOMETRIA ANALITYCZNA: CZYM SIĘ ZAJMUJE, HISTORIA, ZASTOSOWANIA - MATEMATYKA - 2026

Te analityczne geometrii badania linii i geometryczne kształty zastosowanie podstawowych technik algebraicznie i analizy matematycznej danego układu współrzędnych.

W związku z tym geometria analityczna jest działem matematyki, który szczegółowo analizuje wszystkie dane figur geometrycznych, to znaczy między innymi objętość, kąty, pole, punkty przecięcia, ich odległości.

Podstawową cechą geometrii analitycznej jest to, że umożliwia ona przedstawianie figur geometrycznych za pomocą wzorów.

Na przykład obwody są reprezentowane przez równania wielomianowe drugiego stopnia, podczas gdy proste są wyrażane przez równania wielomianowe pierwszego stopnia.

Geometria analityczna powstała w XVII wieku ze względu na potrzebę odpowiedzi na problemy, które do tej pory nie miały rozwiązania. Jej czołowymi przedstawicielami byli René Descartes i Pierre de Fermat.

Dzisiaj wielu autorów wskazuje na to jako rewolucyjne dzieło w historii matematyki, ponieważ stanowi początek nowoczesnej matematyki.

Historia geometrii analitycznej

Termin geometria analityczna powstał we Francji w XVII wieku ze względu na potrzebę udzielenia odpowiedzi na problemy, których nie można rozwiązać za pomocą oddzielenia algebry i geometrii, ale rozwiązanie polegało na połączeniu obu.

Główni przedstawiciele geometrii analitycznej

W XVII wieku dwóch Francuzów przez przypadek w życiu przeprowadziło badania, które w taki czy inny sposób zakończyły się stworzeniem geometrii analitycznej. Tymi ludźmi byli Pierre de Fermat i René Descartes.

Obecnie uważa się, że twórcą geometrii analitycznej był René Descartes. Wynika to z faktu, że opublikował swoją książkę przed książką Fermata, a także dogłębnie z Kartezjuszem na temat geometrii analitycznej.

Jednak zarówno Fermat, jak i Kartezjusz odkryli, że linie i figury geometryczne można wyrazić za pomocą równań, a równania można wyrazić jako linie lub figury geometryczne.

Zgodnie z dokonanymi przez nich odkryciami można powiedzieć, że obaj są twórcami geometrii analitycznej.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat był francuskim matematykiem, który urodził się w 1601 roku i zmarł w 1665 roku. Podczas swojego życia studiował geometrię Euklidesa, Apoloniusza i Pappusa, aby rozwiązać istniejące wówczas problemy pomiarowe.

Później te badania spowodowały powstanie geometrii. Zostały one wyrażone w jego książce „Wprowadzenie do miejsc płaskich i stałych” (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), wydanej 14 lat po jego śmierci w 1679 roku.

Pierre de Fermat zastosował geometrię analityczną do twierdzeń Apoloniusza o miejscach geometrycznych w 1623 roku. Był także pierwszym, który zastosował geometrię analityczną do przestrzeni trójwymiarowej.

Rene Descartes

Znany również jako Kartezjusz, był matematykiem, fizykiem i filozofem, urodzonym 31 marca 1596 roku we Francji i zmarł w 1650 roku.

René Descartes opublikował w 1637 r. Swoją książkę „Rozprawa o metodzie prawidłowego prowadzenia rozumu i poszukiwania prawdy w nauce”, lepiej znaną jako „Metoda” i stamtąd została wprowadzona w świat termin geometria analityczna. Jednym z jego dodatków była „Geometria”.

Podstawowe elementy geometrii analitycznej

Na geometrię analityczną składają się następujące elementy:

Układ współrzędnych kartezjańskich

Ten system nosi imię René Descartes.

To nie on go nazwał, ani ten, który uzupełnił kartezjański układ współrzędnych, ale to on mówił o współrzędnych z dodatnimi liczbami, które umożliwiały przyszłym uczonym jego uzupełnienie.

System ten składa się z prostokątnego układu współrzędnych i biegunowego układu współrzędnych.

Prostokątne układy współrzędnych

Prostokątne układy współrzędnych nazywane są płaszczyzną utworzoną przez zarys dwóch prostopadłych do siebie linii liczbowych, w których punkt odcięcia pokrywa się ze wspólnym zerem.

Wtedy ten system składałby się z linii poziomej i pionowej.

Linia pozioma to oś X lub oś odciętych. Linia pionowa byłaby osią Y lub osią rzędnych.

Układ współrzędnych biegunowych

System ten jest odpowiedzialny za weryfikację względnego położenia punktu w stosunku do linii stałej i do stałego punktu na linii.

Równanie kartezjańskie prostej

To równanie jest otrzymywane z prostej, gdy znane są dwa punkty, przez które przechodzi.

Linia prosta

Jest to taki, który nie odchyla się i dlatego nie ma ani krzywych, ani kątów.

Stożki

Są to krzywe zdefiniowane przez linie przechodzące przez stały punkt i przez punkty krzywej.

Elipsa, obwód, parabola i hiperbola to krzywe stożkowe. Każdy z nich został opisany poniżej.

Obwód

Obwód nazywany jest krzywą zamkniętej płaszczyzny, którą tworzą wszystkie punkty płaszczyzny, które są jednakowo oddalone od punktu wewnętrznego, to znaczy od środka obwodu.

Przypowieść

Jest to locus punktów na płaszczyźnie, które są jednakowo oddalone od stałego punktu (ognisko) i stałej linii (kierownica). Tak więc kierownica i punkt skupienia definiują parabolę.

Parabolę można uzyskać jako odcinek stożkowej powierzchni obrotowej przechodzący przez płaszczyznę równoległą do tworzącej.

Elipsa

Zamknięta krzywa, która opisuje punkt poruszający się po płaszczyźnie, nazywana jest elipsą w taki sposób, że suma jej odległości do dwóch (2) stałych punktów (zwanych ogniskami) jest stała.

Hiperbola

Hiperbola nazywana jest krzywą zdefiniowaną jako locus punktów na płaszczyźnie, dla których różnica między odległościami dwóch stałych punktów (ognisk) jest stała.

Hiperbola ma oś symetrii przechodzącą przez ogniska, zwaną osią ogniskową. Ma również inny, który jest dwusieczną segmentu, który ma na końcach punkty stałe.

Aplikacje

Istnieje wiele zastosowań geometrii analitycznej w różnych dziedzinach życia codziennego. Na przykład, możemy znaleźć parabolę, jeden z podstawowych elementów geometrii analitycznej, w wielu narzędziach, które są dziś używane na co dzień. Oto niektóre z tych narzędzi:

Antena satelitarna

Anteny paraboliczne mają reflektor generowany w wyniku paraboli, która obraca się wokół osi anteny. Powierzchnia, która powstaje w wyniku tego działania, nazywana jest paraboloidą.

Ta zdolność paraboloidy nazywana jest właściwością optyczną lub właściwością odbicia paraboli, dzięki czemu paraboloida może odbijać fale elektromagnetyczne, które odbiera z mechanizmu podającego, który stanowi antenę.

Wiszące mosty

Kiedy lina podtrzymuje ciężar, który jest jednorodny, ale jednocześnie jest znacznie większy niż ciężar samej liny, rezultatem będzie parabola.

Zasada ta ma fundamentalne znaczenie przy budowie mostów wiszących, które są zwykle wsparte na szerokich stalowych konstrukcjach linowych.

Zasada działania paraboli w mostach wiszących została zastosowana w konstrukcjach takich jak most Golden Gate w mieście San Francisco w Stanach Zjednoczonych czy Wielki Most Cieśniny Akashi, który znajduje się w Japonii i łączy wyspę Awaji z Honsiu, główną wyspą tego kraju.

Analiza astronomiczna

Geometria analityczna miała również bardzo specyficzne i decydujące zastosowania w astronomii. W tym przypadku elementem geometrii analitycznej, który zajmuje centralne miejsce, jest elipsa; Odzwierciedla to prawo ruchu planet Johannesa Keplera.

Kepler, niemiecki matematyk i astronom, stwierdził, że elipsa jest krzywą najlepiej pasującą do ruchu Marsa; Wcześniej przetestował model kołowy zaproponowany przez Kopernika, ale w trakcie swoich eksperymentów wydedukował, że elipsa służyła do narysowania orbity doskonale podobnej do orbity planety, którą badał.

Dzięki elipsie Kepler był w stanie stwierdzić, że planety poruszały się po eliptycznych orbitach; rozważaniem tym było stwierdzenie tak zwanej drugiej zasady Keplera.

Dzięki temu odkryciu, wzbogaconemu później przez angielskiego fizyka i matematyka Izaaka Newtona, można było badać ruchy orbitalne planet i zwiększyć wiedzę o wszechświecie, którego jesteśmy częścią.

Teleskop Cassegraina

Teleskop Cassegraina został nazwany na cześć swojego wynalazcy, fizyka francuskiego pochodzenia Laurenta Cassegraina. W tym teleskopie zastosowano zasady geometrii analitycznej, ponieważ składa się on głównie z dwóch zwierciadeł: pierwsze jest wklęsłe i paraboliczne, a drugie charakteryzuje się wypukłością i hiperbolicznością.

Umiejscowienie i charakter tych zwierciadeł pozwalają, aby wada znana jako aberracja sferyczna nie miała miejsca; Wada ta zapobiega odbijaniu się promieni świetlnych w ognisku soczewki.

Teleskop Cassegraina jest bardzo przydatny do obserwacji planet, a także jest dość wszechstronny i łatwy w użyciu.

Bibliografia

1. Geometria analityczna. Pobrane 20 października 2017 r. Z witryny britannica.com
2. Geometria analityczna. Pobrane 20 października 2017 r. Z encyklopediifmath.org
3. Geometria analityczna. Pobrane 20 października 2017 r. Z khancademy.org
4. Geometria analityczna. Pobrane 20 października 2017 r. Z wikipedia.org
5. Geometria analityczna. Pobrane 20 października 2017 r.Z whitman.edu
6. Geometria analityczna. Pobrane 20 października 2017 r. Ze strony stewartcalculus.com
7. Geometria analityczna płaszczyzny Źródło 20 października 2017 r