- Przykłady stopnia wielomianu
- Tabela 1. Przykłady wielomianów i ich stopni
- Procedura pracy z wielomianami
- Zamów, zredukuj i uzupełnij wielomian
- Znaczenie stopnia dodawania i odejmowania wielomianu
- Rozwiązane ćwiczenia
- - Ćwiczenie rozwiązane 1
- Rozwiązanie
- - Ćwiczenie rozwiązane 2
- Rozwiązanie
- Bibliografia
Stopień wielomianu w zmiennej jest przez określenie, który ma największą wykładnik i jeśli wielomian ma dwa lub więcej zmiennych, to stopień jest określona przez sumę wykładników każdego z warunków, to suma większy jest stopień wielomianu.
Zobaczmy, jak w praktyce określić stopień wielomianu.
Rysunek 1. Słynne równanie Einsteina na energię E jest jednomianem absolutnego stopnia 1 dla zmiennej masy, oznaczonym przez m, ponieważ prędkość światła c jest uważana za stałą. Źródło: Piqsels.
Załóżmy, że wielomian P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2 . Ten wielomian jest jedną zmienną, w tym przypadku jest to zmienna x. Ten wielomian składa się z kilku terminów, którymi są:
A teraz jaki jest wykładnik potęgi? Odpowiedź brzmi 3. Zatem P (x) jest wielomianem stopnia 3.
Jeśli dany wielomian ma więcej niż jedną zmienną, wówczas stopień może wynosić:
-Absolutny
-W odniesieniu do zmiennej
Stopień bezwzględny znajduje się tak, jak wyjaśniono na początku: dodając wykładniki każdego terminu i wybierając największy.
Zamiast tego stopień wielomianu w odniesieniu do jednej ze zmiennych lub liter jest największą wartością wykładnika, który ma wspomniana litera. Sprawa stanie się jaśniejsza dzięki przykładom i rozwiązanym ćwiczeniom w następnych sekcjach.
Przykłady stopnia wielomianu
Wielomiany można klasyfikować według stopni i mogą to być stopnie pierwszego, drugiego, trzeciego i tak dalej. Na przykład na rysunku 1 energia jest jednomianem pierwszego stopnia dla masy.
Należy również zauważyć, że liczba wyrazów, które ma wielomian, jest równa stopniowi plus 1. Zatem:
-Wielomiany pierwszego stopnia mają 2 wyrazy: a 1 x + a o
-Wielomian drugiego stopnia ma 3 wyrazy: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-Wielomian trzeciego stopnia ma 4 wyrazy: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a lub
I tak dalej. Uważny czytelnik zauważy, że wielomiany w poprzednich przykładach są zapisane w postaci malejącej, to znaczy umieszczając termin o najwyższym stopniu na pierwszym miejscu.
W poniższej tabeli przedstawiono różne wielomiany, zarówno jednej, jak i kilku zmiennych oraz odpowiadające im stopnie bezwzględne:
Tabela 1. Przykłady wielomianów i ich stopni
| Wielomian | Stopień |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | jeden |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 i 5 + 5x 2 i 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Ostatnie dwa wielomiany mają więcej niż jedną zmienną. Spośród nich termin o najwyższym bezwzględnym stopniu został wyróżniony pogrubioną czcionką, aby czytelnik mógł szybko sprawdzić stopień. Należy pamiętać, że gdy zmienna nie ma zapisanego wykładnika, należy rozumieć, że ten wykładnik jest równy 1.
Na przykład w wyróżnionym członie ab 3 x 2 znajdują się trzy zmienne, a mianowicie: a, b i x. W tym terminie a jest podniesione do 1, czyli:
a = a 1
Dlatego ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Ponieważ wykładnik b wynosi 3, a wykładnika x 2, natychmiast wynika, że stopień tego składnika jest następujący:
1 + 3 + 2 = 6
Y jest absolutnym stopniem wielomianu, ponieważ żaden inny termin nie ma wyższego stopnia.
Procedura pracy z wielomianami
Podczas pracy z wielomianami należy zwrócić uwagę na ich stopień, ponieważ najpierw i przed wykonaniem jakiejkolwiek operacji wygodnie jest wykonać następujące kroki, w których stopień dostarcza bardzo ważnych informacji:
-Zamów wielomian preferencji w kierunku malejącym. Tak więc termin o najwyższym stopniu znajduje się po lewej stronie, a termin o najniższym stopniu po prawej.
-Reduce jak wyrazy, procedura polegająca na algebraicznym dodaniu wszystkich wyrazów tej samej zmiennej i stopnia, które znajdują się w wyrażeniu.
-Jeśli to konieczne, wielomiany są uzupełniane, wstawiając wyrazy, których współczynnik wynosi 0, w przypadku braku wyrazów z wykładnikiem.
Zamów, zredukuj i uzupełnij wielomian
Biorąc pod uwagę wielomian P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7-12 , należy uporządkować go w porządku malejącym, zredukować podobne wyrazy, jeśli występują, i uzupełnić brakujące wyrazy. jeśli dokładne.
Pierwszą rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę, jest wyraz o największym wykładniku, którym jest stopień wielomianu, który okazuje się być:
x 7
Zatem P (x) jest stopnia 7. Następnie porządkuje się wielomian, zaczynając od tego wyrażenia po lewej stronie:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7-12
Teraz zredukowane są podobne terminy, które są następujące: - z jednej strony 2x i 3x. I 7 i -12 z drugiej. Aby je zmniejszyć, współczynniki są dodawane algebraicznie, a zmienna pozostaje niezmieniona (jeśli zmienna nie pojawia się obok współczynnika, pamiętaj, że x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7-12 = -5
Zastąp te wyniki w P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
Na koniec wielomian jest sprawdzany, aby sprawdzić, czy brakuje jakiegokolwiek wykładnika i rzeczywiście brakuje wyrażenia, którego wykładnik wynosi 6, dlatego jest uzupełniany zerami w następujący sposób:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Teraz można zaobserwować, że wielomian został z 8 członami, ponieważ jak wspomniano wcześniej, liczba składników jest równa stopniowi + 1.
Znaczenie stopnia dodawania i odejmowania wielomianu
W przypadku wielomianów można wykonywać operacje dodawania i odejmowania, w których dodawane lub odejmowane są tylko podobne wyrazy, czyli te o tej samej zmiennej i tym samym stopniu. Jeśli nie ma podobnych terminów, po prostu wskazuje się dodawanie lub odejmowanie.
Po przeprowadzeniu dodawania lub odejmowania, które jest sumą odwrotności, stopień wynikowego wielomianu jest zawsze równy lub mniejszy od stopnia wielomianu dodającego najwyższy stopień.
Rozwiązane ćwiczenia
- Ćwiczenie rozwiązane 1
Znajdź następującą sumę i określ jej bezwzględny stopień:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Rozwiązanie
Jest to wielomian z dwiema zmiennymi, więc wygodnie jest zredukować podobne wyrażenia:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Oba terminy mają stopień 3 w każdej zmiennej. Dlatego bezwzględny stopień wielomianu wynosi 3.
- Ćwiczenie rozwiązane 2
Wyraź obszar poniższej figury geometrycznej płaszczyzny jako wielomian (rysunek 2 po lewej). Jaki jest stopień powstałego wielomianu?
Rysunek 2. Po lewej figura z rozwiązanego ćwiczenia 2, a po prawej ta sama figura rozłożona na trzy obszary, których wyraz jest znany. Źródło: F. Zapata.
Rozwiązanie
Ponieważ jest to obszar, wynikowy wielomian musi być stopnia 2 w zmiennej x. Aby określić odpowiednie wyrażenie dla obszaru, rysunek rozkłada się na znane obszary:
Pola prostokąta i trójkąta to odpowiednio: podstawa x wysokość i podstawa x wysokość / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2 ; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Uwaga : podstawa trójkąta to 3x - x = 2x, a jego wysokość to 5.
Teraz trzy otrzymane wyrażenia są dodawane, dzięki czemu mamy obszar figury w funkcji x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Bibliografia
- Baldor, A. 1974. Algebra elementarna. Cultural Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wikibooks. Wielomiany. Odzyskane z: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Stopień (wielomian). Odzyskane z: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra i trygonometria. Mac Graw Hill.