- jakie są wymiary?
- Przestrzeń trójwymiarowa
- Czwarty wymiar i czas
- Współrzędne hipersześcianu
- Rozkładanie hipersześcianu
- Bibliografia
Hipersześcian jest sześcianem o wymiarze n. Szczególny przypadek czterowymiarowego hipersześcianu nazywany jest tesseraktem. Hipersześcian lub n-sześcian składa się z prostych segmentów, wszystkie o równej długości, które są prostopadłe na swoich wierzchołkach.
Istoty ludzkie postrzegają trójwymiarową przestrzeń: szerokość, wysokość i głębokość, ale nie jesteśmy w stanie wyobrazić sobie hipersześcianu o wymiarze większym niż 3.
Rysunek 1. 0-sześcian to punkt, jeśli ten punkt rozciąga się w kierunku na odległość a tworzy 1-sześcian, jeśli ten 1-sześcian rozciąga się na odległość a w kierunku ortogonalnym, mamy 2-sześcian (od boki x do a), jeśli 2-sześcian rozciąga się na odległość a w kierunku prostopadłym, mamy 3-sześcian. Źródło: F. Zapata.
Co najwyżej możemy wykonać rzuty tego w trójwymiarowej przestrzeni, aby go przedstawić, w podobny sposób, w jaki rzutujemy sześcian na płaszczyznę, aby go przedstawić.
W wymiarze 0 jedyną figurą jest punkt, więc sześcian 0 to punkt. 1-sześcian to prosty odcinek, który jest tworzony przez przesunięcie punktu w jednym kierunku na odległość a.
Ze swojej strony 2-sześcian to kwadrat. Konstruuje się go poprzez przesunięcie 1-sześcianu (odcinka o długości a) w kierunku y, który jest prostopadły do kierunku x, o odległość a.
Kostka 3 to wspólna kostka. Buduje się go z kwadratu, przesuwając go w trzecim kierunku (z), który jest prostopadły do kierunków x i y, na odległość a.
Rysunek 2. 4-sześcian (tesseract) to przedłużenie 3-sześcianu w kierunku prostopadłym do trzech konwencjonalnych kierunków przestrzennych. Źródło: F. Zapata.
4-sześcian to tesserakt, który jest zbudowany z 3-sześcianu przesuwającego go prostopadle, na odległość a, w kierunku czwartego wymiaru (lub czwartego kierunku), którego nie możemy dostrzec.
Tesserakt ma wszystkie kąty proste, ma 16 wierzchołków, a wszystkie jego krawędzie (w sumie 18) mają tę samą długość a.
Jeżeli długość krawędzi n-sześcianu lub hipersześcianu o wymiarze n wynosi 1, to jest to hipersześcian jednostkowy, w którym najdłuższa przekątna mierzy √n.
Rysunek 3. N-sześcian uzyskuje się z (n-1) -cube rozciągającego go ortogonalnie w następnym wymiarze. Źródło: wikimedia commons.
jakie są wymiary?
Wymiary to stopnie swobody lub możliwe kierunki, w których obiekt może się poruszać.
W wymiarze 0 nie ma możliwości translacji, a jedynym możliwym obiektem geometrycznym jest punkt.
Wymiar w przestrzeni euklidesowej jest reprezentowany przez zorientowaną linię lub oś, która definiuje ten wymiar, zwaną osią X. Oddzielenie między dwoma punktami A i B to odległość euklidesowa:
d = √.
W dwóch wymiarach przestrzeń jest reprezentowana przez dwie linie zorientowane prostopadle do siebie, zwane osią X i osią Y.
Położenie dowolnego punktu w tej dwuwymiarowej przestrzeni jest określone przez jego parę współrzędnych kartezjańskich (x, y), a odległość między dowolnymi dwoma punktami A i B będzie wynosić:
d = √
Ponieważ jest to przestrzeń, w której wypełnia się geometria Euklidesa.
Przestrzeń trójwymiarowa
Przestrzeń trójwymiarowa to przestrzeń, w której się poruszamy. Ma trzy kierunki: szerokość, wysokość i głębokość.
W pustym pomieszczeniu prostopadłe rogi dają te trzy kierunki i każdemu z nich możemy skojarzyć oś: X, Y, Z.
Przestrzeń ta jest również euklidesowa, a odległość między dwoma punktami A i B jest obliczana w następujący sposób:
d = √
Istoty ludzkie nie mogą dostrzec więcej niż trzech wymiarów przestrzennych (lub euklidesowych).
Jednak ze ściśle matematycznego punktu widzenia możliwe jest zdefiniowanie n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.
W tej przestrzeni punkt ma współrzędne: (x1, x2, x3,… .., xn), a odległość między dwoma punktami wynosi:
d = √.
Czwarty wymiar i czas
Rzeczywiście, w teorii względności czas jest traktowany jako jeszcze jeden wymiar i jest z nim związana współrzędna.
Należy jednak wyjaśnić, że ta współrzędna związana z czasem jest liczbą urojoną. Dlatego oddzielenie dwóch punktów lub wydarzeń w czasoprzestrzeni nie jest euklidesowe, ale raczej jest zgodne z miernikiem Lorentza.
Czterowymiarowy hipersześcian (tesserakt) nie żyje w czasoprzestrzeni, należy do czterowymiarowej hiperprzestrzeni euklidesowej.
Rysunek 4. Rzut 3D czterowymiarowego hipersześcianu w prostym obrocie wokół płaszczyzny, która dzieli figurę od przodu do lewej, od tyłu do prawej i od góry do dołu. Źródło: Wikimedia Commons.
Współrzędne hipersześcianu
Współrzędne wierzchołków n-sześcianu wyśrodkowanego na początku uzyskuje się wykonując wszystkie możliwe permutacje następującego wyrażenia:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Gdzie a jest długością krawędzi.
-The objętość z n-sześcianu krawędzi oznacza: (a / 2) N (2 n ) = a n .
- Najdłuższa przekątna to odległość między przeciwległymi wierzchołkami.
-Następujące są przeciwległe wierzchołki w kwadracie : (-1, -1) i (+1, +1).
-A w sześcianie : (-1, -1, -1) i (+1, +1, +1).
-Najdłuższa przekątna n-sześcianu mierzy:
d = √ = √ = 2√n
W tym przypadku przyjęto, że bok jest a = 2. Dla n-sześcianu boku dowolnego będzie to:
d = a√n.
-Tesseract ma każdy z 16 wierzchołków połączony z czterema krawędziami. Poniższy rysunek pokazuje, jak wierzchołki są połączone w tesserakt.
Rysunek 5. Przedstawiono 16 wierzchołków czterowymiarowego hipersześcianu i sposób ich połączenia. Źródło: Wikimedia Commons.
Rozkładanie hipersześcianu
Regularną figurę geometryczną, na przykład wielościan, można rozłożyć na kilka figur o mniejszych wymiarach.
W przypadku 2-sześcianu (kwadratu) można go podzielić na cztery segmenty, czyli cztery 1-sześcian.
Podobnie 3-kostkę można rozłożyć na sześć 2-kostek.
Rysunek 6. N-sześcian można rozłożyć na kilka (n-1) -cube. Źródło: Wikimedia Commons.
4-kostkę (tesserakt) można rozłożyć na osiem 3-kostek.
Poniższa animacja przedstawia rozkładanie tesseraktu.
Rysunek 7. 4-wymiarowy hipersześcian można rozłożyć na osiem trójwymiarowych kostek. Źródło: Wikimedia Commons.
Rysunek 8. Trójwymiarowa projekcja czterowymiarowego hipersześcianu wykonującego podwójny obrót wokół dwóch prostopadłych płaszczyzn. Źródło: Wikimedia Commons.
Bibliografia
- Kultura naukowa. Hypercube, wizualizacja czwartego wymiaru. Odzyskany z: culturacientifica.com
- Epsilony. Czterowymiarowy hipersześcian lub tesserakt. Odzyskany z: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Metoda uzyskiwania tesseraktu z rozwoju hipersześcianu (4D). Odzyskany z: researchgate.net
- Wikibooks. Matematyka, wielościany, hipersześciany. Odzyskany z: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hypercube. Odzyskany z: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Odzyskany z: en.wikipedia.com