HOMOTEKA: WŁAŚCIWOŚCI, RODZAJE I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

Rozszerzenie geometryczna zmiana w płaszczyźnie, która począwszy od punktu zwanego środka (O), przy czym odległości są mnożone przez wspólny czynnik. W ten sposób każdy punkt P odpowiada innemu iloczynowi punktu P 'transformacji, a te są wyrównane z punktem O.

Tak więc homotecia dotyczy zgodności między dwoma figurami geometrycznymi, w których przekształcone punkty nazywane są homotetycznymi, a te są wyrównane ze stałym punktem i segmentami równoległymi do siebie.

Homothecy

Homothecy to transformacja, która nie ma przystającego obrazu, ponieważ z figury zostanie uzyskana jedna lub więcej postaci o rozmiarze większym lub mniejszym niż oryginalna figura; to znaczy, że homotecia przekształca wielokąt w inny podobny.

Aby homotecja została spełniona, punkt do punktu i linia do linii muszą odpowiadać, tak aby pary punktów homotycznych były wyrównane z trzecim stałym punktem, który jest środkiem homoteci.

Podobnie pary łączących je linii muszą być równoległe. Zależność między takimi segmentami jest stałą zwaną współczynnikiem homotencji (k); w taki sposób, że homotecję można zdefiniować jako:

Aby przeprowadzić tego typu przemianę, zaczynamy od wybrania dowolnego punktu, który będzie środkiem homotencji.

Od tego momentu dla każdego wierzchołka figury, która ma zostać przekształcona, rysowane są odcinki linii. Skala, w jakiej dokonuje się odtworzenia nowej figury, jest określona przez stosunek homotencji (k).

Nieruchomości

Jedną z głównych właściwości homotetyczności jest to, że z powodu homotetycznego powodu (k) wszystkie figury homotetyczne są podobne. Wśród innych wyróżniających się właściwości są:

- Centrum homotecji (O) jest jedynym podwójnym punktem i to jest przekształcane w siebie; to znaczy nie zmienia się.

- Linie przechodzące przez środek są przekształcane w siebie (są podwójne), ale punkty, które ją tworzą, nie są podwójne.

- Linie, które nie przechodzą przez środek, są przekształcane w równoległe; w ten sposób kąty homothecy pozostają takie same.

- Obraz odcinka według jednorodności środka O i stosunku k jest odcinkiem równoległym do tego i ma k-krotność jego długości. Na przykład, jak widać na poniższym obrazku, odcinek AB przez homothecy da w wyniku inny odcinek A'B ', taki, że AB będzie równoległy do ​​A'B', a k będzie:

- kąty homotetyczne są przystające; to znaczy mają tę samą miarę. Dlatego obraz kąta jest kątem o tej samej amplitudzie.

Z drugiej strony mamy, że jednomyślność zmienia się jako funkcja wartości jej stosunku (k) i mogą wystąpić następujące przypadki:

- Jeśli stała k = 1, wszystkie punkty są stałe, ponieważ same się przekształcają. W ten sposób figura homotetyczna pokrywa się z pierwotną, a transformacja zostanie nazwana funkcją tożsamości.

- Jeśli k ≠ 1, jedynym stałym punktem będzie środek homotetyki (O).

- Jeśli k = -1, homotecja staje się centralną symetrią (C); tj. występuje obrót wokół C, pod kątem 180 ^lub .

- Jeśli k> 1, rozmiar przekształconej figury będzie większy niż rozmiar oryginału.

- Jeśli 0 <k <1, rozmiar przekształconej figury będzie mniejszy niż oryginał.

- Jeśli -1 <k <0, rozmiar przekształconej figury będzie mniejszy i zostanie on obrócony względem oryginału.

- Jeśli k <-1, rozmiar przekształconej figury będzie większy i zostanie obrócony w stosunku do oryginału.

Rodzaje

Homotecę można również podzielić na dwa typy, w zależności od wartości jej stosunku (k):

Bezpośrednia homoteka

Występuje, gdy stała k> 0; to znaczy punkty homotetyczne znajdują się po tej samej stronie w stosunku do środka:

Współczynnik proporcjonalności lub stosunek podobieństwa między bezpośrednimi liczbami homotetycznymi zawsze będzie dodatni.

Odwróć homotecję

Występuje, gdy stała k <0; to znaczy punkty początkowe i ich homotetyka znajdują się na przeciwnych końcach w stosunku do środka homotetyki, ale są z nią wyrównane. Środek będzie znajdował się między dwiema postaciami:

Współczynnik proporcjonalności lub stosunek podobieństwa między odwrotnymi liczbami homotetycznymi zawsze będzie ujemny.

Kompozycja

Gdy kilka ruchów jest wykonywanych kolejno, aż do uzyskania figury równej oryginałowi, następuje kompozycja ruchów. Kompozycja kilku części jest również ruchem.

Kompozycja między dwoma domami rodzi nową homotecję; to znaczy, istnieje iloczyn homotetii, w których środek zostanie wyrównany ze środkiem dwóch pierwotnych przekształceń, a stosunek (k) jest iloczynem dwóch stosunków.

Tak więc w składzie dwóch homotek H ₁ (O ₁ , k ₁ ) i H ₂ (O ₂ , k ₂ ), pomnożenie ich stosunków: k ₁ xk ₂ = 1 da w wyniku homotencję współczynnika k ₃ = k ₁ xk ₂ . Centrum tej nowej homoteki (O ₃ ) będzie zlokalizowane na linii O ₁ O ₂ .

Homothecia odpowiada płaskiej i nieodwracalnej zmianie; Jeśli zastosowane zostaną dwie homotetyki, które mają ten sam środek i proporcje, ale z innym znakiem, uzyskana zostanie oryginalna figura.

Przykłady

Pierwszy przykład

Zastosuj homotecję do danego wielokąta środka (O), znajdującego się 5 cm od punktu A i którego stosunek wynosi k = 0,7.

Rozwiązanie

Dowolny punkt jest wybrany jako środek homoteci i od tego punktu przez wierzchołki figury przeciągane są promienie:

Odległość od środka (O) do punktu A wynosi OA = 5; Dzięki temu można określić odległość jednego z punktów homotetycznych (OA '), wiedząc również, że k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Proces można wykonać dla każdego wierzchołka lub narysować homotetyczny wielokąt, pamiętając, że oba wielokąty mają równoległe boki:

Ostatecznie transformacja wygląda następująco:

Drugi przykład

Zastosuj homotecję do danego wielokąta ze środkiem (O), znajdującym się 8,5 cm od punktu C i którego stosunek y k = -2.

Rozwiązanie

Odległość od środka (O) do punktu C wynosi OC = 8,5; Na podstawie tych danych można wyznaczyć odległość jednego z punktów homotetycznych (OC '), wiedząc również, że k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Po narysowaniu odcinków wierzchołków przekształconego wielokąta, mamy, że punkty początkowe i ich homotetyka znajdują się na przeciwnych końcach względem środka:

Bibliografia

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Rysunek techniczny: zeszyt ćwiczeń.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Powinowactwo, homologia i homothecy.
3. Baer, ​​R. (2012). Algebra liniowa i geometria rzutowa. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Matematyka ogólna, prawdopodobieństwa i statystyka.
5. Meserve, BE (2014). Podstawowe pojęcia geometrii. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Wprowadzenie do algebry. Przywróć.