TOŻSAMOŚCI PITAGOREJSKIE: DEMONSTRACJA, PRZYKŁAD, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Tożsamości pitagorejskie to wszystkie równania trygonometryczne, które zachowują się dla dowolnej wartości kąta i są oparte na twierdzeniu Pitagorasa. Najbardziej znaną z tożsamości pitagorejskich jest podstawowa tożsamość trygonometryczna:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Rysunek 1. Pitagoraskie tożsamości trygonometryczne.

Kolejne ważne i używam pitagorejskiej tożsamości stycznej i siecznej:

Tan ² (α) + 1 = Sek ² (α)

I pitagorejska tożsamość trygonometryczna obejmująca cotangens i cosecans:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Demonstracja

Stosunki trygonometryczne sinus i cosinus są przedstawiane na okręgu o promieniu jeden (1) zwanym okręgiem trygonometrycznym. Wspomniany okrąg ma swój środek w początku współrzędnych O.

Kąty są mierzone od dodatniej półosi osi X, na przykład kąt α na rysunku 2 (patrz poniżej). W kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, jeśli kąt jest dodatni, a zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jeśli jest to kąt ujemny.

Rysowany jest promień o początku O i kącie α, który przecina okrąg jednostkowy w punkcie P.Punkt P jest rzutowany prostopadle na poziomą oś X, dając początek punktowi C.Podobnie P jest rzutowane prostopadle na pionową oś Y, dając miejsce do punktu S.

Mamy prawy trójkąt OCP w C.

Sinus i cosinus

Należy pamiętać, że sinus z ilorazu trygonometrycznego definiuje się na prawym trójkącie w następujący sposób:

Sinus kąta trójkąta to stosunek lub iloraz nogi przeciwnej do kąta i przeciwprostokątnej trójkąta.

Zastosowany do trójkąta OCP z rysunku 2 wyglądałby tak:

Sen (α) = CP / OP

ale CP = OS i OP = 1, więc:

Sen (α) = OS

Co oznacza, że ​​rzut OS na osi Y ma wartość równą sinusowi wyświetlanego kąta. Należy zaznaczyć, że maksymalna wartość sinusa kąta (+1) występuje, gdy α = 90º, a minimalna (-1), gdy α = -90º lub α = 270º.

Rysunek 2. Okrąg trygonometryczny przedstawiający związek między twierdzeniem Pitagorasa a podstawową tożsamością trygonometryczną. (Opracowanie własne)

Podobnie, cosinus kąta jest ilorazem nogi sąsiadującej z kątownikiem i przeciwprostokątnej trójkąta.

Zastosowany do trójkąta OCP z rysunku 2 wyglądałby tak:

Cos (α) = OC / OP

ale OP = 1, więc:

Cos (α) = OC

Oznacza to, że rzut OC na oś X ma wartość równą sinusowi podanego kąta. Należy zauważyć, że maksymalna wartość cosinusa (+1) występuje, gdy α = 0º lub α = 360º, natomiast minimalna wartość cosinusa to (-1), gdy α = 180º.

Podstawowa tożsamość

Dla trójkąta prostokątnego OCP w C stosuje się twierdzenie Pitagorasa, które stwierdza, że ​​suma kwadratu nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej:

CP ² + OC ² = OP ²

Ale zostało już powiedziane, że CP = OS = Sen (α), że OC = Cos (α) i że OP = 1, więc poprzednie wyrażenie można przepisać jako funkcję sinusa i cosinusa kąta:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Oś stycznej

Tak jak oś X na okręgu trygonometrycznym jest osią cosinusową, a oś Y osią sinusoidalną, tak samo istnieje oś styczna (patrz rysunek 3), która jest dokładnie styczną do okręgu jednostkowego w punkcie B o współrzędnych (1, 0).

Jeśli chcesz poznać wartość stycznej kąta, kąt jest rysowany z dodatniej półosi X, przecięcie kąta z osią stycznej definiuje punkt Q, długość odcinka OQ jest styczną kąt.

Dzieje się tak, ponieważ z definicji styczna kąta α jest przeciwległym ramieniem QB między sąsiednim ramieniem OB. Oznacza to, że Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Rysunek 3. Okrąg trygonometryczny przedstawiający oś stycznej i pitagorejską tożsamość stycznej. (Opracowanie własne)

Pitagorejska tożsamość stycznej

Tożsamość pitagorejskiej stycznej można udowodnić, biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny OBQ w punkcie B (rysunek 3). Stosując twierdzenie Pitagorasa do tego trójkąta, otrzymujemy BQ ² + OB ² = OQ ² . Ale zostało już powiedziane, że BQ = Tan (α), że OB = 1 i że OQ = Sec (α), więc podstawiając w równości pitagorejskiej za trójkąt prostokątny OBQ mamy:

Tan ² (α) + 1 = Sek ² (α).

Przykład

Sprawdź, czy tożsamości pitagorejskie są spełnione w prawym trójkącie odnóg AB = 4 i BC = 3.

Rozwiązanie: Nogi są znane, należy określić przeciwprostokątną, czyli:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Kąt ∡BAC będzie nazywany α, ∡BAC = α. Teraz określa się stosunki trygonometryczne:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Czyli α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Rozpoczyna się podstawową tożsamością trygonometryczną:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Stwierdza się, że jest spełniony.

- Następną tożsamością pitagorejską jest tożsamość stycznej:

Tan ² (α) + 1 = Sek ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

I stwierdza się, że tożsamość stycznej jest zweryfikowana.

- w podobny sposób jak cotangens:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Stwierdza się, że jest on również spełniony, dzięki czemu zadanie weryfikacji tożsamości pitagorejskiej dla danego trójkąta zostało zakończone.

Rozwiązane ćwiczenia

Udowodnij następujące tożsamości, w oparciu o definicje stosunków trygonometrycznych i tożsamości pitagorejskiej.

Ćwiczenie 1

Udowodnij, że Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Rozwiązanie: Po prawej stronie rozpoznajemy niezwykły iloczyn mnożenia dwumianu przez jego koniugat, który, jak wiemy, jest różnicą kwadratów:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Następnie termin z sinusem po prawej stronie przechodzi na lewą stronę ze zmienionym znakiem:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Zauważając, że podstawowa tożsamość trygonometryczna została osiągnięta, więc wyciąga się wniosek, że dane wyrażenie jest tożsamością, to znaczy, że jest prawdziwe dla dowolnej wartości x.

Ćwiczenie 2

Wychodząc od podstawowej tożsamości trygonometrycznej i używając definicji stosunków trygonometrycznych, zademonstruj pitagorejską tożsamość cosecansa.

Rozwiązanie: Podstawową tożsamością jest:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Obaj członkowie są podzieleni przez Sen ² (x), a mianownik jest podzielony na pierwszego członka:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Jest to uproszczone:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) to tożsamość (inna niż pitagorejska), która jest weryfikowana przez samą definicję stosunków trygonometrycznych. To samo dzieje się z następującą tożsamością: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Wreszcie musisz:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Bibliografia

1. Baldor J. (1973). Geometria płaszczyzny i przestrzeni ze wstępem do trygonometrii. Kultura Ameryki Środkowej. AC
2. CEA (2003). Elementy geometrii: z ćwiczeniami i geometrią kompasu. Uniwersytet Medellin.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematyka 2. Grupo Od redakcji Patria.
4. IGER. (sf). Matematyka w pierwszym semestrze Tacaná. IGER.
5. Jr. geometria. (2014). Wielokąty. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren i Hornsby. (2006). Matematyka: rozumowanie i zastosowania (wydanie dziesiąte). Edukacja Pearson.
7. Patiño, M. (2006). Matematyka 5. Od redakcji Progreso.
8. Wikipedia. Tożsamości i wzory trygonometryczne. Odzyskany z: es.wikipedia.com