INDUKCJA MAGNETYCZNA: WZORY, SPOSÓB JEJ OBLICZANIA I PRZYKŁADY - FIZYCZNY - 2025

Indukcja magnetyczna lub indukcja magnetyczna zmienia się środowisko spowodowane przez obecność prądów elektrycznych. Modyfikują charakter otaczającej ich przestrzeni, tworząc pole wektorowe.

Wektorowa indukcja magnetyczna, gęstość strumienia magnetycznego lub po prostu pole magnetyczne B ma trzy charakterystyczne cechy: natężenie wyrażone wartością liczbową, kierunek, a także sens nadawany w każdym punkcie przestrzeni. Wyróżniono go pogrubioną czcionką, aby odróżnić go od wielkości czysto liczbowych lub skalarnych.

Reguła prawego kciuka do określenia kierunku i zwrotu wektora indukcji magnetycznej. Źródło: Jfmelero

Reguła prawego kciuka służy do określenia kierunku i kierunku pola magnetycznego wywołanego przez przewód przewodzący prąd, jak pokazano na powyższym rysunku.

Kciuk prawej ręki powinien wskazywać kierunek prądu. Następnie obrót pozostałych czterech palców wskazuje na kształt litery B , która na rysunku jest reprezentowana przez koncentryczne czerwone kółka.

W takim przypadku kierunek B jest styczny do obwodu współśrodkowego z drutem, a kierunek jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara.

Indukcję magnetyczną B w systemie międzynarodowym mierzy się w Tesli (T), jednak częściej mierzy się ją w innej jednostce zwanej Gauss (G). Obie jednostki zostały nazwane odpowiednio na cześć Nikoli Tesli (1856-1943) i Carla Friedricha Gaussa (1777-1855) za ich niezwykły wkład w naukę o elektryczności i magnetyzmie.

Jakie są właściwości indukcji magnetycznej lub gęstości strumienia magnetycznego?

Kompas umieszczony w pobliżu przewodu pod napięciem zawsze ustawi się w jednej linii z B. Duński fizyk Hans Christian Oersted (1777-1851) jako pierwszy zauważył to zjawisko na początku XIX wieku.

A kiedy prąd ustanie, kompas ponownie wskazuje północ geograficzną, jak zawsze. Ostrożnie zmieniając położenie kompasu, otrzymujesz mapę kształtu pola magnetycznego.

Mapa ta ma zawsze kształt okręgów współśrodkowych względem przewodu, jak opisano na początku. W ten sposób B.

Nawet jeśli drut nie jest prosty, wektor B utworzy wokół niego koncentryczne okręgi. Aby określić kształt pola, wyobraź sobie bardzo małe odcinki drutu, tak małe, że wydają się prostoliniowe i otoczone koncentrycznymi okręgami.

Linie pola magnetycznego wytwarzane przez przewodzącą prąd pętlę z drutu. Źródło: Pixabay.com

Wskazuje to na ważną właściwość linii pola magnetycznego B : nie mają one początku ani końca, są zawsze zamkniętymi krzywymi.

Prawo Biota-Savarta

XIX wiek to początek ery elektryczności i magnetyzmu w nauce. 1820 niedaleko francuskich fizyków Jean Marie Biota (1774/62) i Félix Savart (1791/41) odkrył prawo, które nosi jego imię, a który oblicza wektor B .

Dokonali następujących obserwacji dotyczących udziału w polu magnetycznym wytwarzanego przez odcinek drutu o różnej długości dl przenoszący prąd elektryczny I:

• Wielkość B maleje wraz z odwrotnością kwadratu odległości do drutu (ma to sens: z dala od przewodu natężenie B musi być mniejsze niż w pobliskich punktach).
• Wielkość B jest proporcjonalna do natężenia prądu I, który przepływa przez drut.
• Kierunek B jest styczny do okręgu o promieniu r wyśrodkowanym na drucie, a kierunek B jest określony, jak powiedzieliśmy, za pomocą reguły prawego kciuka.

Iloczyn krzyżowy lub iloczyn krzyżowy jest odpowiednim narzędziem matematycznym do wyrażenia ostatniego punktu. Aby ustalić iloczyn wektorowy, potrzebne są dwa wektory, które są zdefiniowane w następujący sposób:

• d l jest wektorem, którego wielkość jest długością odcinka różniczkowego dl
• r jest wektorem, który biegnie od przewodu do punktu, w którym chcesz znaleźć pole

Formuły

Wszystko to można połączyć w wyrażenie matematyczne:

Stała proporcjonalności niezbędna do ustalenia równości to przenikalność magnetyczna wolnej przestrzeni μ _o = 4π 10 ^-7 Tm / A

To wyrażenie to prawo Biota i Savarta, które pozwala nam obliczyć pole magnetyczne bieżącego segmentu.

Taki segment z kolei musi być częścią większego i bardziej zamkniętego obwodu: dystrybucji prądu.

Warunek, że obwód jest zamknięty, jest konieczny do przepływu prądu elektrycznego. Prąd elektryczny nie może płynąć w otwartych obwodach.

Na koniec, aby znaleźć całkowite pole magnetyczne wspomnianego rozkładu prądu, każdy wkład każdej różnicy segmentu D L są dodawane . Jest to równoważne całkowaniu w całej dystrybucji:

Aby zastosować prawo Biota-Savarta i obliczyć wektor indukcji magnetycznej, należy wziąć pod uwagę kilka bardzo ważnych punktów:

• Iloczyn poprzeczny między dwoma wektorami zawsze daje inny wektor.

• 

• Dogodnie jest znaleźć iloczyn wektorowy przed przystąpieniem do rozdzielania całki, a następnie rozwiązuje się całkę każdego z otrzymanych osobno składowych.
• Konieczne jest nakreślenie sytuacji i ustalenie odpowiedniego układu współrzędnych.
• Ilekroć obserwuje się istnienie jakiejś symetrii, należy ją wykorzystać, aby zaoszczędzić czas obliczeń.
• Gdy istnieją trójkąty, twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinus są pomocne w ustalaniu zależności geometrycznej między zmiennymi.

Jak to jest obliczane?

Poniższe zalecenia dotyczą praktycznego przykładu obliczenia B dla drutu prostego.

Przykład

Oblicz wektor pola magnetycznego, które wytwarza bardzo długi prostoliniowy drut w punkcie P w przestrzeni, zgodnie z przedstawionym rysunkiem.

Geometria niezbędna do obliczenia pola magnetycznego w punkcie P nieskończenie długiego przewodu prądowego. Źródło: wykonane samodzielnie.

Z rysunku musisz:

• Drut jest skierowany w kierunku pionowym, a prąd I płynie do góry. Ten kierunek to + y w układzie współrzędnych, którego początek znajduje się w punkcie O.

• 

• W tym przypadku, zgodnie z regułą prawego kciuka, B w punkcie P jest skierowane do wnętrza kartki, dlatego na rysunku zaznaczone jest małym kółkiem i „x”. Ten adres zostanie przyjęty jako -z.
• Trójkąt prostokątny, którego odnogi są y i R, wiąże obie zmienne zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: r ² = R ² + y ²

Wszystko to jest podstawiane w całce. Iloczyn poprzeczny lub krzyż jest wskazywany przez jego wielkość oraz kierunek i sens:

Proponowana całka znajduje się w tabeli całek lub jest rozwiązywana przez odpowiednie podstawienie trygonometryczne (czytelnik może sprawdzić wynik za pomocą y = Rtg θ):

Wynik jest zgodny z oczekiwaniami: wielkość pola maleje wraz z odległością R i rośnie proporcjonalnie do natężenia prądu I.

Chociaż nieskończenie długi drut jest idealizacją, otrzymane wyrażenie jest bardzo dobrym przybliżeniem pola długiego drutu.

Dzięki prawu Biota i Savarta można znaleźć pole magnetyczne o innych wysoce symetrycznych rozkładach, takich jak pętla kołowa przewodząca prąd lub wygięte druty łączące segmenty prostoliniowe i krzywoliniowe.

Oczywiście, aby analitycznie rozwiązać proponowaną całkę, problem musi mieć wysoki stopień symetrii. W innym przypadku alternatywą jest numeryczne rozwiązanie całki.

Bibliografia

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizyka dla nauki i inżynierii. Głośność 2. Meksyk. Cengage Learning Editors. 367-372.