Interpolacja liniowa jest metodą, która pochodzi ogólnym interpolacji Newtona i przybliżenie dla określenia nieznanych wartości, która znajduje się pomiędzy dwoma podanymi numerami; to znaczy, znajduje się wartość pośrednia. Stosuje się go również do funkcji przybliżonych, w których znane są wartości f (a) if (b), a chcemy poznać związek pośredni funkcji f (x) .
Istnieją różne typy interpolacji, takie jak liniowa, kwadratowa, sześcienna i wyższych stopni, przy czym najprostsza to przybliżenie liniowe. Cena, jaką trzeba zapłacić za pomocą interpolacji liniowej, polega na tym, że wynik nie będzie tak dokładny, jak w przypadku przybliżeń wykorzystujących funkcje wyższych stopni.
Definicja
Interpolacja liniowa to proces, który umożliwia wyprowadzenie wartości między dwiema dobrze zdefiniowanymi wartościami, które mogą znajdować się w tabeli lub na wykresie liniowym.
Na przykład, jeśli wiesz, że 3 litry mleka są warte 4 USD, a 5 litrów 7 USD, ale chcesz wiedzieć, jaka jest wartość 4 litrów mleka, interpolujesz, aby określić tę wartość pośrednią.
metoda
Aby oszacować wartość pośrednią funkcji, funkcja f (x) jest aproksymowana za pomocą linii r (x) , co oznacza, że funkcja zmienia się liniowo z „x” dla sekcji „x = a” i „x = b "; to znaczy dla wartości „x” w przedziale (x 0 , x 1 ) i (y 0 , y 1 ) wartość „y” jest określona linią między punktami i jest wyrażona zależnością:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Aby interpolacja była liniowa, wielomian interpolacji musi być stopnia pierwszego (n = 1), tak aby pasował do wartości x 0 i x 1.
Interpolacja liniowa opiera się na podobieństwie trójkątów w taki sposób, że wyprowadzając geometrycznie z poprzedniego wyrażenia można otrzymać wartość „y”, która reprezentuje nieznaną wartość „x”.
W ten sposób musisz:
a = tan Ɵ = (przeciwległa noga 1 ÷ sąsiednia noga 1 ) = (przeciwległa noga 2 ÷ sąsiednia noga 2 )
Inaczej mówiąc, jest to:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Szukając «i» na podstawie wyrażeń, mamy:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(r - r 0 ) = (r 1 - r 0 ) *
W ten sposób otrzymujemy ogólne równanie interpolacji liniowej:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Ogólnie interpolacja liniowa daje niewielki błąd w rzeczywistej wartości prawdziwej funkcji, chociaż błąd jest minimalny w porównaniu z intuicyjnym wyborem liczby zbliżonej do tej, którą chcesz znaleźć.
Ten błąd pojawia się podczas próby przybliżenia wartości krzywej linią prostą; W takich przypadkach rozmiar przedziału należy zmniejszyć, aby przybliżenie było dokładniejsze.
Aby uzyskać lepsze wyniki dotyczące aproksymacji, do wykonywania interpolacji zaleca się stosowanie funkcji stopni 2, 3 lub nawet wyższych. W takich przypadkach twierdzenie Taylora jest bardzo użytecznym narzędziem.
Rozwiązane ćwiczenia
Ćwiczenie 1
W poniższej tabeli przedstawiono liczbę bakterii przypadających na jednostkę objętości podczas inkubacji po x godzinach. Chcesz wiedzieć, jaka jest objętość bakterii na czas 3,5 godziny.
Rozwiązanie
Tabela referencyjna nie określa wartości, która wskazuje ilość bakterii w czasie 3,5 godziny, ale istnieją wartości górne i dolne odpowiadające odpowiednio czasowi 3 i 4 godzin. W ten sposób:
x 0 = 3 i 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 i 1 = 135
Teraz równanie matematyczne jest stosowane w celu znalezienia wartości interpolowanej, która jest następująca:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Następnie podstawiane są odpowiednie wartości:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
W ten sposób otrzymano, że przez czas 3,5 godziny liczba bakterii wynosi 113, co stanowi poziom pośredni między objętością bakterii istniejących w czasie 3 i 4 godzin.
Ćwiczenie 2
Luis ma fabrykę lodów i chce przeprowadzić badanie, aby określić dochód, jaki miał w sierpniu na podstawie poniesionych wydatków. Administrator firmy tworzy wykres, który wyraża tę zależność, ale Luis chce wiedzieć:
Jaki będzie dochód w sierpniu, jeśli poniesiono wydatek w wysokości 55 000 USD?
Rozwiązanie
Przedstawiono wykres z wartościami dochodów i wydatków. Luis chce wiedzieć, jakie byłyby dochody za sierpień, gdyby fabryka miała wydatek 55 000 dolarów. Ta wartość nie jest bezpośrednio odzwierciedlona na wykresie, ale wartości są wyższe i niższe.
Najpierw tworzy się tabelę, w której można łatwo powiązać wartości:
Teraz wzór interpolacji służy do określenia wartości y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Następnie podstawiane są odpowiednie wartości:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) *
y = 56 000 + (22 000) *
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56 000 + 12936
y = 68 936 USD.
Jeśli wydatek w wysokości 55 000 USD został poniesiony w sierpniu, dochód wyniósł 68 936 USD.
Bibliografia
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Edukacja Pearson.
- Harpe, P. d. (2000). Tematy w teorii grup geometrycznych. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Interpolacja liniowa ”, Encyclopedia of Mathematics.
- , JM (1998). Elementy metod numerycznych w inżynierii. UASLP.
- , E. (2002). Chronologia interpolacji: od starożytnej astronomii do współczesnego przetwarzania sygnałów i obrazów. Postępowanie IEEE.
- numeryczne, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.