GRANICA FERMATA: Z CZEGO SIĘ SKŁADA I ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Granica Fermata to metoda numeryczna używana do wyznaczania wartości nachylenia prostej, która jest styczna do funkcji w pewnym punkcie jej domeny. Służy również do uzyskiwania punktów krytycznych funkcji. Jego wyrażenie definiuje się jako:

Jest oczywiste, że Fermat nie znał podstaw wyprowadzenia, jednak to jego badania skłoniły grupę matematyków do zbadania linii stycznych i ich zastosowań w rachunku różniczkowym.

Jaka jest granica Fermata?

Polega ona na podejściu 2 punktów, które w poprzednich warunkach tworzą sieczną do funkcji z przecięciem parami wartości.

Zbliżając zmienną do wartości „a”, para punktów jest zmuszona do spotkania. W ten sposób poprzednio sieczna linia staje się styczna do punktu (a; f (a)).

Wartość ilorazu (x - a), obliczona w punkcie „a”, daje nieokreśloność granic typu K między zerem (K / 0). Tam, gdzie za pomocą różnych technik faktoringu można złamać te nieokreśloności.

Najczęściej stosowane techniki operacyjne to:

-Różnica kwadratów (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); Istnienie elementu (a - b) w większości przypadków implikuje czynnik upraszczający wyrażenie (x - a) w ilorazie granicy Fermata.

- Uzupełnianie kwadratów (topór ² + bx); Po wypełnieniu kwadratów uzyskuje się dwumian Newtona, w którym jeden z jego 2 czynników jest uproszczony za pomocą wyrażenia (x - a), łamiąc nieokreśloność.

- koniugat (a + b) / (a ​​+ b); Mnożenie i dzielenie wyrażenia przez koniugat pewnego czynnika może być bardzo pomocne w przełamaniu nieokreśloności.

- Wspólny czynnik; W wielu przypadkach wynik działania licznika granicy Fermata f (x) - f (a) ukrywa współczynnik (x - a) potrzebny do rozłożenia. W tym celu dokładnie obserwuje się, które elementy są powtarzane w każdym czynniku wyrażenia.

Stosowanie granicy Fermata dla maksimów i minimów

Chociaż granica Fermata nie rozróżnia między maksimami i minimami, ponieważ może jedynie identyfikować punkty krytyczne zgodnie z jej definicją, jest powszechnie stosowana do obliczania szczytów lub podłóg funkcji w płaszczyźnie.

Podstawowa znajomość graficznej teorii funkcji w połączeniu z tym twierdzeniem może wystarczyć do ustalenia wartości maksymalnych i minimalnych między funkcjami. W rzeczywistości punkty przegięcia można zdefiniować za pomocą twierdzenia o wartości średniej oprócz twierdzenia Fermata.

Sześcienna przypowieść

Najbardziej znaczący paradoks dla Fermata wynikał z badania paraboli sześciennych. Ponieważ jego uwaga była skierowana na styczne funkcji dla danego punktu, natknął się na problem zdefiniowania tej stycznej w punkcie przegięcia funkcji.

Ustalenie stycznej do punktu wydawało się niemożliwe. Tak zaczyna się badanie, które doprowadziłoby do rachunku różniczkowego. Zdefiniowane później przez ważnych przedstawicieli matematyki.

Maximus i minimous

Badanie maksimów i minimów funkcji było wyzwaniem dla klasycznej matematyki, gdzie do ich zdefiniowania potrzebna była jednoznaczna i praktyczna metoda.

Fermat stworzył metodę opartą na działaniu małych wartości różnicowych, które po procesach faktoringowych są eliminowane, ustępując miejsca poszukiwanej wartości maksymalnej i minimalnej.

Zmienna ta będzie musiała zostać oszacowana w oryginalnym wyrażeniu, aby określić współrzędną wspomnianego punktu, która wraz z kryteriami analitycznymi zostanie określona jako maksimum lub minimum wyrażenia.

metoda

W swojej metodzie Fermat posługuje się dosłowną symboliką Viety, która polegała na wyłącznym używaniu wielkich liter: samogłosek dla niewiadomych i spółgłosek dla znanych wielkości.

W przypadku wartości radykalnych Fermat zaimplementował określony proces, który później zostanie wykorzystany do faktoryzacji granic nieokreśloności nieskończoności między nieskończonością.

Proces ten polega na podzieleniu każdego wyrażenia przez wartość zastosowanej różnicy. W przypadku Fermata posłużył się literą E, gdzie po podzieleniu przez najwyższą potęgę E poszukiwana wartość punktu krytycznego staje się czytelna.

Historia

Granica Fermata jest w rzeczywistości jednym z najmniej znanych elementów na długiej liście matematyka. Jego studia poszły od liczb pierwszych do stworzenia podstaw do obliczeń.

Z kolei Fermat znany był z ekscentryczności w stosunku do swoich hipotez. Powszechne było dla niego pozostawienie pewnego rodzaju wyzwania innym matematykom tamtych czasów, kiedy miał już rozwiązanie lub dowód.

Miał wiele sporów i sojuszy z różnymi matematykami tamtych czasów, którzy albo kochali, albo nienawidzili z nim pracy.

Jego ostatnie twierdzenie było głównym powodem jego światowej sławy, w którym stwierdził, że uogólnienie twierdzenia Pitagorasa dla dowolnego stopnia „n” jest niemożliwe. Twierdził, że ma na to ważny dowód, ale zmarł przed opublikowaniem tego.

Ta demonstracja musiała czekać około 350 lat. W 1995 roku matematycy Andrew Wiles i Richard Taylor położyli kres niepokojowi pozostawionemu przez Fermata, pokazując, że miał rację dzięki ważnemu dowodowi swojego ostatniego twierdzenia.

Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Zdefiniuj nachylenie stycznej do krzywej f (x) = x ² w punkcie (4, 16)

Podstawiając wyrażenie granicy Fermata mamy:

Współczynniki (x - 4) są uproszczone

Oceniając masz

M = 4 + 4 = 8

Ćwiczenie 2

Zdefiniuj punkt krytyczny wyrażenia f (x) = x ² + 4x za pomocą granicy Fermata

Przeprowadzane jest strategiczne grupowanie elementów w celu pogrupowania par XX ₀

Rozwija się najmniejsze kwadraty

Obserwuj wspólny czynnik XX _{0 i wyodrębnij}

Wyrażenie można teraz uprościć i przełamać nieokreśloność

W minimalnych punktach wiadomo, że nachylenie stycznej jest równe zeru. W ten sposób możemy wyrównać znalezione wyrażenie do zera i obliczyć wartość X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Aby uzyskać brakującą współrzędną, wystarczy ocenić punkt w oryginalnej funkcji

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

Punkt krytyczny to P (-2, -4).

Bibliografia

1. Prawdziwa analiza. A Historical Approach Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5 sierpnia. 1999.
2. Kariera matematyczna Pierre de Fermata, 1601-1665: wydanie drugie. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5 czerwca. 2018
3. Od Fermata do Minkowskiego: wykłady z teorii liczb i jej rozwoju historycznego. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Ostatnie twierdzenie Fermata: genetyczne wprowadzenie do algebraicznej teorii liczb. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14 stycznia 2000
5. Fermat Days 85: Mathematics for Optimization. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1 stycznia. 1986