LINIA PROSTOPADŁA: CHARAKTERYSTYKA, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Linia prostopadła to taka, która tworzy kąt 90 ° w stosunku do innej linii, krzywej lub powierzchni. Zauważ, że kiedy dwie proste są prostopadłe i leżą na tej samej płaszczyźnie, kiedy się przecinają, tworzą cztery identyczne kąty, każdy po 90º.

Jeśli jeden z kątów nie jest 90 °, mówi się, że linie są ukośne. Prostopadłe linie są powszechne w projektowaniu, architekturze i konstrukcji, na przykład sieć rurociągów na poniższym obrazku.

Rysunek 1. Sieć rur pod kątem prostym i liczne prostopadłe linie. Ile kątów 90º można policzyć na tym obrazku? Źródło: Piqsels.

Orientacja prostopadłych może być różna, jak te pokazane poniżej:

Rysunek 2. Proste prostopadłe na płaszczyźnie. Źródło: F. Zapata.

Niezależnie od położenia, prostopadłe do siebie linie są rozpoznawane przez określenie kąta między nimi jako 90 ° za pomocą kątomierza.

Zauważ, że w przeciwieństwie do równoległych linii na płaszczyźnie, które nigdy się nie przecinają, prostopadłe zawsze robią to w punkcie P, zwanym stopą jednej z prostych z drugiej. Dlatego dwie prostopadłe linie również są sieczne.

Każda prosta ma do niej nieskończone prostopadłe, ponieważ po prostu przesuwając odcinek AB w lewo lub w prawo na odcinku CD, będziemy mieli nowe prostopadłe z inną stopą.

Jednak prostopadła przechodząca przez środek segmentu nazywana jest dwusieczną tego segmentu.

Przykłady prostych prostopadłych

W krajobrazie miejskim powszechne są linie prostopadłe. Na poniższym rysunku (rysunek 3) wyróżniono tylko kilka z wielu prostopadłych linii, które można zobaczyć w prostej elewacji tego budynku i jego elementach, takich jak drzwi, kanały, stopnie i inne:

Rysunek 3. Na elewacji takiego zwykłego budynku znajduje się duża liczba prostopadłych linii. Źródło: Richard Kang przez Flickr.

Dobrą rzeczą jest to, że trzy prostopadłe do siebie proste pomagają nam ustalić położenie punktów i obiektów w przestrzeni. Są to osie współrzędnych określone jako oś x, oś y i oś z, wyraźnie widoczne w rogu prostokątnego pokoju, takiego jak ten poniżej:

Rysunek 4. Układ osi kartezjańskich składa się z trzech prostopadłych do siebie linii, z których każda ma preferowany kierunek w przestrzeni. Left Image Credits: treybunn 2 via Flickr. Właściwy obraz; Needpix.

W panoramie miasta po prawej stronie zauważalna jest również prostopadłość między wieżowcem a ziemią. Pierwszą, którą powiedzielibyśmy, jest wzdłuż osi z, podczas gdy ziemia jest płaszczyzną, która w tym przypadku jest płaszczyzną xy.

Jeśli podłoże stanowi płaszczyznę xy, wieżowiec jest również prostopadły do ​​dowolnej alei lub ulicy, co gwarantuje jego stabilność, ponieważ nachylona konstrukcja jest niestabilna.

A na ulicach wszędzie tam, gdzie są prostokątne narożniki, są prostopadłe linie. Wiele alejek i ulic ma układ prostopadły, o ile pozwala na to ukształtowanie terenu i warunki geograficzne.

Aby wyrazić skróconą prostopadłość między liniami, segmentami lub wektorami, używany jest symbol ⊥. Na przykład, jeśli linia L ₁ jest prostopadła do linii L ₂ , piszemy:

L ₁ ⊥ L ₂

Więcej przykładów prostych prostopadłych

- W projekcie linie prostopadłe są bardzo obecne, ponieważ wiele typowych obiektów jest opartych na kwadratach i prostokątach. Te czworoboki charakteryzują się wewnętrznymi kątami 90º, ponieważ ich boki są równoległe dwa na dwa:

Rysunek 5. Kwadraty i prostokąty są częścią wielu projektów, takich jak proste kartonowe pudełko do przechowywania towarów. Źródło: F. Zapata.

- Boiska, na których uprawia się różne sporty, wyznaczają liczne kwadraty i prostokąty. Te z kolei zawierają prostopadłe linie.

- Dwa z segmentów tworzących trójkąt prostokątny są do siebie prostopadłe. Nazywa się to nogami, podczas gdy pozostała linia nazywa się przeciwprostokątną.

- Linie wektora pola elektrycznego są prostopadłe do powierzchni przewodnika w równowadze elektrostatycznej.

- W przypadku przewodnika naładowanego linie i powierzchnie ekwipotencjalne są zawsze prostopadłe do pola elektrycznego.

- W rurociągach lub systemach przewodów używanych do transportu różnych rodzajów płynów, takich jak gaz, który pojawia się na rysunku 1, powszechnie stosuje się kolanka prostokątne. W związku z tym tworzą prostopadłe linie, tak jest w przypadku kotłowni:

Rysunek 6. Rury w kotłowni. Źródło: Wikimedia Commons. Roger McLassus / CC BY-SA (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)

Ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Narysuj dwie prostopadłe linie za pomocą linijki i kompasu.

Rozwiązanie

Jest to bardzo proste, wykonując następujące kroki:

- Rysowana jest pierwsza linia o nazwie AB (czarna).

-Powyżej (lub poniżej, jeśli wolisz) AB zaznacz punkt P, przez który przejdzie prostopadła. Jeśli P jest tuż powyżej (lub poniżej) środka AB, ta prostopadła jest dwusieczną odcinka AB.

-Z kompasem wyśrodkowanym na P, narysuj okrąg, który przecina AB w dwóch punktach, zwanych A 'i B' (czerwony).

-Kompas jest otwarty w punkcie A'P, jest wyśrodkowany na A 'i rysowany jest obwód, który przechodzi przez P (zielony).

-Powtórz poprzedni krok, ale teraz otwierając pomiar długości odcinka B'P (zielony). Oba łuki obwodu przecinają się w punkcie Q poniżej P i oczywiście w tym drugim.

-Punkty P i Q są połączone linijką i linia prostopadła (niebieska) jest gotowa.

- Na koniec wszystkie konstrukcje pomocnicze należy dokładnie usunąć, pozostawiając tylko te prostopadłe.

Rysunek 6. Rysowanie linii prostopadłych za pomocą linijki i kompasu. Źródło: Wikimedia Commons.

- Ćwiczenie 2

Dwie linie L ₁ i L ₂ są prostopadłe jeśli ich odpowiednich tras m ₁ i m ₂ spełniają ten związek:

m ₁ = -1 / m ₂

Mając linię y = 5x - 2, znajdź prostą do niej prostopadłą i przechodzącą przez punkt (-1, 3).

Rozwiązanie

-Pierwsze to nachylenie prostej prostopadłej m _⊥ , jak wskazano w oświadczeniu. Nachylenie oryginalnej linii to m = 5, współczynnik towarzyszący „x”. Więc:

m _⊥ = -1/5

-Następnie konstruuje się równanie prostej prostopadłej y _⊥, zastępując wcześniej znalezioną wartość:

y _⊥ = -1 / 5x + b

-Następnie wartość b jest określana za pomocą punktu podanego w instrukcji, (-1,3), ponieważ prostopadła musi przez nią przechodzić:

y = 3

x = -1

Zastępowanie:

3 = -1/5 (-1) + b

Znajdź wartość b:

b = 3- (1/5) = 14/5

-Na koniec, budowane jest końcowe równanie:

i _⊥ = -1 / 5x + 14/5

Bibliografia

1. Baldor, A. 2004. Geometria płaszczyzny i przestrzeni. Publikacje kulturalne.
2. Clemens, S. 2001. Geometria z zastosowaniami i rozwiązywaniem problemów. Addison Wesley.
3. Matematyka to zabawa. Proste prostopadłe. Odzyskany z: mathisfun.com.
4. Instytut Monterey. Prostopadłe linie. Odzyskany z: montereyinstitute.org.
5. Wikipedia. Prostopadłe linie. Odzyskane z: es.wikipedia.org.