MORGAN LAWS - MATEMATYKA - 2026

L oczy Morgan są reguły wnioskowania stosowane w rachunku zdań, które określają, co wynika z zaprzeczając alternatywą i koniunkcję zdań lub zmiennych zdaniowych. Prawa te zostały określone przez matematyka Augustusa De Morgana.

Prawa Morgana stanowią bardzo przydatne narzędzie do wykazania słuszności rozumowania matematycznego. Później zostały uogólnione w ramach koncepcji zbiorów przez matematyka George'a Boole'a.

To uogólnienie dokonane przez Boole'a jest całkowicie równoważne z pierwotnymi prawami Morgana, ale zostało opracowane specjalnie dla zbiorów, a nie dla zdań. To uogólnienie jest również znane jako prawa Morgana.

Przegląd logiki zdań

Zanim przyjrzymy się, czym konkretnie są prawa Morgana i jak są używane, warto przypomnieć sobie kilka podstawowych pojęć z logiki zdań. (Aby uzyskać więcej informacji, zobacz artykuł o logice zdań).

W dziedzinie logiki matematycznej (lub zdaniowej) wnioskowanie jest wnioskiem wyprowadzonym z zestawu przesłanek lub hipotez. Wniosek ten, wraz z przytoczonymi wcześniej przesłankami, daje początek tak zwanemu rozumowaniu matematycznemu.

Takie rozumowanie musi zostać udowodnione lub odrzucone; to znaczy, nie wszystkie wnioski i wnioski w rozumowaniu matematycznym są słuszne.

Błąd

Fałszywy wniosek oparty na pewnych hipotezach, które uważa się za prawdziwe, nazywany jest błędem. Błędy mają tę szczególną cechę, że są argumentami, które wydają się poprawne, ale matematycznie tak nie jest.

Logika zdań jest dokładnie odpowiedzialna za rozwój i dostarczanie metod, za pomocą których bez żadnej dwuznaczności można potwierdzić lub obalić rozumowanie matematyczne; to znaczy wyciągnąć ważny wniosek z przesłanek. Metody te znane są jako reguły wnioskowania, których częścią są prawa Morgana.

Propozycje

Podstawowymi elementami logiki zdań są zdania. Zdania to stwierdzenia, o których można powiedzieć, że są ważne lub nie, ale nie mogą być jednocześnie prawdziwe lub fałszywe. W tej kwestii nie powinno być dwuznaczności.

Tak jak liczby można łączyć poprzez operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, tak zdania mogą być obsługiwane za pomocą dobrze znanych łączników logicznych (lub łączników): negacja (¬, „nie”), dysjunkcja (V , „Lub”), koniunkcja (Ʌ, „i”), warunkowa (→, „jeśli…, to…”) i dwuwarunkowa (↔, „jeśli i tylko jeśli”).

Mówiąc bardziej ogólnie, zamiast rozważać konkretne zdania, rozważane są zmienne zdań, które reprezentują jakiekolwiek zdania, i są one zwykle oznaczane małymi literami p, q, r, s itd.

Formuła zdaniowa to połączenie zmiennych zdaniowych za pomocą niektórych łączników logicznych. Innymi słowy, jest to zbiór zmiennych zdaniowych. Zazwyczaj są oznaczone greckimi literami.

Mówi się, że formuła zdaniowa logicznie implikuje inną formułę, gdy to drugie jest prawdziwe za każdym razem, gdy to pierwsze jest prawdziwe. Jest to oznaczone przez:

Kiedy logiczna implikacja między dwoma formułami zdaniowymi jest odwrotna - to znaczy, gdy poprzednia implikacja jest również ważna w przeciwnym sensie - o formułach mówi się, że są logicznie równoważne i jest oznaczane przez

Równoważność logiczna jest rodzajem równości między formułami zdaniowymi i pozwala w razie potrzeby zastąpić jedno drugim.

Prawa Morgana

Prawa Morgana składają się z dwóch logicznych równoważności między dwiema formami zdań, a mianowicie:

Prawa te pozwalają na oddzielenie negacji dysjunkcji lub koniunkcji jako negacji zaangażowanych zmiennych.

Pierwszą można odczytać następująco: negacja dysjunkcji jest równa koniunkcji negacji. A drugi brzmi tak: negacja koniunkcji jest dysjunkcją negacji.

Innymi słowy, zaprzeczanie dysjunkcji dwóch zmiennych zdaniowych jest równoważne koniunkcji negacji obu zmiennych. Podobnie zaprzeczanie koniunkcji dwóch zmiennych zdaniowych jest równoważne z dysjunkcją negacji obu zmiennych.

Jak wspomniano wcześniej, zastąpienie tej logicznej równoważności pomaga udowodnić ważne wyniki, wraz z innymi istniejącymi regułami wnioskowania. Dzięki nim możesz uprościć wiele formuł zdaniowych, aby były bardziej przydatne w pracy.

Poniżej znajduje się przykład matematycznego dowodu wykorzystującego reguły wnioskowania, w tym prawa Morgana. W szczególności wykazano, że formuła:

Odpowiada:

To ostatnie jest prostsze do zrozumienia i rozwinięcia.

Demonstracja

Warto wspomnieć, że słuszność praw Morgana można wykazać matematycznie. Jednym ze sposobów jest porównanie tabel prawdy.

Zestawy

Te same reguły wnioskowania i pojęcia logiki stosowane do zdań można również rozwinąć, biorąc pod uwagę zbiory. To właśnie jest znane jako algebra Boole'a od matematyka George'a Boole'a.

Aby rozróżnić przypadki, konieczna jest zmiana notacji i przeniesienie do zbiorów wszystkich już widzianych pojęć logiki zdań.

Zestaw to zbiór przedmiotów. Zbiory oznaczane są dużymi literami A, B, C, X, … a elementy zestawu małymi literami a, b, c, x itd. Gdy element a należy do zbioru X, oznacza to:

Gdy nie należy do X, zapis jest następujący:

Sposobem na przedstawienie zbiorów jest umieszczenie ich elementów w nawiasach klamrowych. Na przykład zbiór liczb naturalnych jest reprezentowany przez:

Zbiory mogą być również reprezentowane bez pisania jawnej listy ich elementów. Można je wyrazić w postaci {:}. Dwukropek czyta się jako „taki, że”. Po lewej stronie dwóch punktów umieszczona jest zmienna reprezentująca elementy zbioru, a po prawej stronie właściwość lub warunek, który spełniają. To jest:

Na przykład zbiór liczb całkowitych większych niż -4 można wyrazić jako:

Lub równoważnie i bardziej w skrócie, jak:

Podobnie, poniższe wyrażenia reprezentują odpowiednio zbiory liczb nieparzystych i parzystych:

Suma, przecięcie i uzupełnienia zbiorów

Następnie zobaczymy analogi łączników logicznych w przypadku zbiorów, które są częścią podstawowych operacji między zbiorami.

Unia i skrzyżowanie

Związek i przecięcie zbiorów definiuje się odpowiednio w następujący sposób:

Weźmy na przykład pod uwagę zestawy:

Więc musisz:

Komplement

Uzupełnienie zbioru tworzą elementy, które nie należą do tego zbioru (tego samego typu, co oryginał). Uzupełnienie zbioru A oznaczamy:

Na przykład w przypadku liczb naturalnych dopełnieniem zbioru liczb parzystych jest liczba nieparzysta i odwrotnie.

Aby określić dopełnienie zbioru, uniwersalny lub główny zbiór rozważanych elementów musi być od początku jasny. Na przykład rozpatrywanie dopełnienia zbioru nad liczbami naturalnymi nie jest tym samym, co nad liczbami wymiernymi.

Poniższa tabela przedstawia relację lub analogię, jaka istnieje między operacjami na wcześniej zdefiniowanych zbiorach a łącznikami logiki zdań:

Prawa Morgana dla zbiorów

Wreszcie, prawa Morgana dotyczące zestawów to:

Słowami: dopełnieniem związku jest przecięcie dopełnień, a dopełnieniem przecięcia jest suma dopełnień.

Matematyczny dowód pierwszej równości byłby następujący:

Dowód drugiego jest analogiczny.

Bibliografia

1. Almaguer, G. (2002). Matematyka 1. Od redakcji Limusa.
2. Aylwin, CU (2011). Logika, zbiory i liczby. Mérida - Wenezuela: Rada ds. Publikacji, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Wprowadzenie do teorii liczb. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Podstawowy kurs teorii liczb. Uniwersytet Północny.
5. Cofré, A. i Tapia, L. (1995). Jak rozwijać matematyczne logiczne rozumowanie. Wydawnictwo Uniwersyteckie.
6. Guevara, MH (nd). Teoria liczb. EUNED.
7. Saragossa, AC (sf). Teoria liczb Wizja redakcyjna Libros.