ALGEBRA WEKTORÓW: PODSTAWY, WIELKOŚCI, WEKTORY - MATEMATYKA

Wektor Algebra jest gałąź matematycznych, które systemy badania równań liniowych, wektory, macierze, przestrzeni wektorowej i przekształceń liniowych. Dotyczy to m.in. dziedzin inżynierii, rozwiązywania równań różniczkowych, analizy funkcjonalnej, badań operacyjnych, grafiki komputerowej.

Inną dziedziną, którą zajęła się algebra liniowa, jest fizyka, ponieważ dzięki niej można było rozwijać badanie zjawisk fizycznych, opisując je za pomocą wektorów. Umożliwiło to lepsze zrozumienie wszechświata.

Podstawy

Algebra wektorów wywodzi się z badań nad kwaternionami (rozszerzenie liczb rzeczywistych) 1, i, j i k, a także z geometrii kartezjańskiej promowanej przez Gibbsa i Heaviside'a, którzy zdali sobie sprawę, że wektory będą służyć jako narzędzie reprezentują różne zjawiska fizyczne.

Algebra wektorów jest badana na podstawie trzech podstaw:

Geometrycznie

Wektory są reprezentowane przez linie o orientacji, a operacje takie jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie przez liczby rzeczywiste są definiowane metodami geometrycznymi.

Analitycznie

Opis wektorów i ich operacji odbywa się za pomocą liczb, zwanych składowymi. Ten typ opisu jest wynikiem reprezentacji geometrycznej, ponieważ używany jest układ współrzędnych.

Aksjomatycznie

Dokonuje się opisu wektorów, niezależnie od układu współrzędnych lub dowolnego typu reprezentacji geometrycznej.

Badanie postaci w przestrzeni odbywa się poprzez ich reprezentację w układzie odniesienia, który może mieć jeden lub więcej wymiarów. Wśród głównych systemów są:

- Układ jednowymiarowy, który jest linią, na której punkt (O) reprezentuje początek, a inny punkt (P) określa skalę (długość) i jej kierunek:

- Prostokątny układ współrzędnych (dwuwymiarowy), który składa się z dwóch prostopadłych linii nazywanych osią x i osią y, które przechodzą przez punkt początkowy (O); w ten sposób płaszczyzna jest podzielona na cztery obszary zwane kwadrantami. W tym przypadku punkt (P) na płaszczyźnie jest określony przez odległości istniejące między osiami i P.

- Układ współrzędnych biegunowych (dwuwymiarowy). W tym przypadku system składa się z punktu O (początek), który jest nazywany biegunem, i promienia o początku w O, zwanego osią biegunową. W tym przypadku punkt P płaszczyzny w odniesieniu do bieguna i osi bieguna jest określony przez kąt (Ɵ), który jest tworzony przez odległość między punktem początkowym a punktem P.

- Prostokątny układ trójwymiarowy, utworzony przez trzy prostopadłe linie (x, y, z), których początek stanowi punkt O w przestrzeni. Powstają trzy płaszczyzny współrzędnych: xy, xz i yz; przestrzeń zostanie podzielona na osiem regionów zwanych oktanami. Odniesienie do punktu P w przestrzeni jest określone przez odległości istniejące między płaszczyznami a P.

Magnitudes

Wielkość to wielkość fizyczna, którą można policzyć lub zmierzyć za pomocą wartości liczbowej, tak jak w przypadku niektórych zjawisk fizycznych; Jednak często trzeba umieć opisać te zjawiska innymi czynnikami niż liczbowe. Dlatego wielkości są podzielone na dwa typy:

Wielkość skalarna

Są to wielkości zdefiniowane i przedstawione numerycznie; to znaczy przez moduł wraz z jednostką miary. Na przykład:

a) Czas: 5 sekund.

b) Masa: 10 kg.

c) Pojemność: 40 ml.

d) Temperatura: 40 ºC.

Wielkość wektora

Są to wielkości, które są definiowane i reprezentowane przez moduł wraz z jednostką, a także przez zmysł i kierunek. Na przykład:

a) Prędkość: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) przyspieszenie: 13 m / s ² ; S 45º E.

c) Siła: 280 N, 120º.

d) Waga: -40 ĵ kg-f.

Wielkości wektorowe są graficznie reprezentowane przez wektory.

Co to są wektory?

Wektory są graficznymi reprezentacjami wielkości wektorów; to znaczy są to odcinki linii, których końcowym końcem jest wierzchołek strzały.

Są one określone przez jego moduł lub długość segmentu, jego kierunek, który jest wskazywany przez końcówkę jego strzałki i jego kierunek zgodnie z linią, do której należy. Pochodzenie wektora jest również znane jako punkt aplikacji.

Elementy wektora są następujące:

Moduł

Jest to odległość od początku do końca wektora, reprezentowana przez liczbę rzeczywistą wraz z jednostką. Na przykład:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Adres

Jest to miara kąta istniejącego między osią x (od strony dodatniej) a wektorem, jak również punkty kardynalne (północ, południe, wschód i zachód).

Sens

Daje go grot strzałki umieszczony na końcu wektora, wskazujący, dokąd zmierza.

Klasyfikacja wektorów

Ogólnie wektory są klasyfikowane jako:

Naprawiono wektor

Jest to taki, którego punkt zastosowania (pochodzenie) jest ustalony; to znaczy, pozostaje połączony z punktem w przestrzeni, więc nie może się w nim poruszać.

Wolny wektor

Może swobodnie poruszać się w przestrzeni, ponieważ jego początek przesuwa się w dowolne miejsce bez zmiany modułu, kierunku lub kierunku.

Wektor suwaka

To taki, który może przenosić swój początek wzdłuż linii działania bez zmiany swojego modułu, kierunku lub kierunku.

Właściwości wektorów

Do głównych właściwości wektorów należą:

Wektory soczewki zespołowe

Są to wektory swobodne, które mają ten sam moduł, kierunek (lub są równoległe) i mają sens jako wektor ślizgowy lub wektor ustalony.

Wektory równoważne

Występuje, gdy dwa wektory mają ten sam kierunek (lub są równoległe), ten sam zwrot i pomimo posiadania różnych modułów i punktów zastosowania, wywołują te same efekty.

Równość wektorów

Mają ten sam moduł, kierunek i zwrot, nawet jeśli ich punkty początkowe są różne, co pozwala równoległemu wektorowi na translację bez wpływu na to.

Wektory przeciwne

To takie, które mają ten sam moduł i kierunek, ale ich znaczenie jest odwrotne.

Wektor jednostkowy

To taki, w którym moduł jest równy jednostce (1). Uzyskuje się to poprzez podzielenie wektora przez jego moduł i służy do określenia kierunku i zwrotu wektora, w płaszczyźnie lub w przestrzeni, przy użyciu bazowych lub znormalizowanych wektorów jednostkowych, którymi są:

Wektor zerowy

Jest to taki, którego moduł jest równy 0; to znaczy, że jej punkt początkowy i końcowy pokrywają się w tym samym punkcie.

Składowe wektora

Składnikami wektora są wartości rzutów wektora na osie układu odniesienia; W zależności od rozkładu wektora, który może znajdować się na dwu lub trójwymiarowej osi, otrzymamy odpowiednio dwie lub trzy składowe.

Składnikami wektora są liczby rzeczywiste, które mogą być dodatnie, ujemne lub nawet zerowe (0).

Zatem, jeśli mamy wektor Ā, którego początek jest w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie xy (dwuwymiarowy), rzut na oś x wynosi Āx, a rzut na oś y - Āy. Zatem wektor zostanie wyrażony jako suma wektorów składowych.

Przykłady

Pierwszy przykład

Mamy wektor Ā, który zaczyna się od początku i podane są współrzędne jego końców. Zatem wektor Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm.

Jeśli wektor Ā działa na początku trójwymiarowego trójkątnego układu współrzędnych (w przestrzeni) x, y, z, aż do innego punktu (P), rzuty na jego osie będą wynosić Āx, Āy i Āz; w ten sposób wektor zostanie wyrażony jako suma jego trzech wektorów składowych.

Drugi przykład

Mamy wektor Ā, który zaczyna się od początku i podane są współrzędne jego końców. Zatem wektor Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm.

Wektory, które mają współrzędne prostokątne, można wyrazić za pomocą wektorów bazowych. W tym celu każda współrzędna musi być pomnożona tylko przez jej odpowiedni wektor jednostkowy, w taki sposób, aby dla płaszczyzny i przestrzeni były one następujące:

Dla samolotu: Ā = A _x i + A _y j.

Dla przestrzeni: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Operacje wektorowe

Istnieje wiele wielkości, które mają moduł, zwrot i kierunek, takie jak między innymi przyspieszenie, prędkość, przemieszczenie, siła.

Są one stosowane w różnych dziedzinach nauki i aby je zastosować, w niektórych przypadkach konieczne jest wykonanie takich operacji, jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wektorów i skalarów.

dodawanie i odejmowanie wektorów

Dodawanie i odejmowanie wektorów jest uważane za pojedynczą operację algebraiczną, ponieważ odejmowanie można zapisać jako sumę; na przykład odejmowanie wektorów Ā i Ē można wyrazić jako:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Istnieją różne metody dodawania i odejmowania wektorów: mogą być graficzne lub analityczne.

Metody graficzne

Używane, gdy wektor ma moduł, kierunek i kierunek. W tym celu narysowane są linie, które tworzą figurę, która później pomaga określić wynik. Do najbardziej znanych należą:

Metoda równoległoboku

Aby dodać lub odjąć dwa wektory, wybiera się wspólny punkt na osi współrzędnych - który będzie reprezentował punkt początkowy wektorów - zachowując jego moduł, kierunek i kierunek.

Linie są następnie rysowane równolegle do wektorów, aby utworzyć równoległobok. Wynikowy wektor to przekątna, która biegnie od punktu początkowego obu wektorów do wierzchołka równoległoboku:

Metoda trójkąta

W tej metodzie wektory są umieszczane jeden po drugim, zachowując ich moduły, kierunki i kierunki. Wynikowy wektor będzie połączeniem początku pierwszego wektora z końcem drugiego wektora:

Metody analityczne

Można dodać lub odjąć dwa lub więcej wektorów metodą geometryczną lub wektorową:

Metoda geometryczna

Kiedy dwa wektory tworzą trójkąt lub równoległobok, m) .push ({});

- Właściwość dystrybucyjna skalara: jeśli wektor zostanie pomnożony przez sumę dwóch skalarów, jest to równe pomnożeniu wektora dla każdego skalara.

Mnożenie wektorów

Mnożenie lub iloczyn wektorów można wykonać jako dodawanie lub odejmowanie, ale robienie tego w ten sposób traci fizyczne znaczenie i prawie nigdy nie występuje w zastosowaniach. Z tego powodu najczęściej używanymi rodzajami produktów są iloczyn skalarny i wektorowy.

Iloczyn skalarny

Znany jest również jako iloczyn skalarny dwóch wektorów. Gdy moduły dwóch wektorów zostaną pomnożone przez cosinus najmniejszego kąta utworzonego między nimi, otrzymamy skalar. Aby wyrazić iloczyn skalarny między dwoma wektorami, umieszcza się między nimi punkt, który można zdefiniować jako:

Wartość kąta istniejącego między dwoma wektorami będzie zależeć od tego, czy są one równoległe, czy prostopadłe; więc musisz:

- Jeśli wektory są równoległe i mają ten sam zwrot, cosinus 0º = 1.

- Jeśli wektory są równoległe i mają przeciwne kierunki, cosinus 180º = -1.

- Jeśli wektory są prostopadłe, cosinus 90º = 0.

Kąt ten można również obliczyć, wiedząc, że:

Iloczyn skalarny ma następujące właściwości:

- Właściwość przemienna: kolejność wektorów nie zmienia wartości skalarnej.

-Własność dystrybucyjna: jeśli skalar jest pomnożony przez sumę dwóch wektorów, jest równy pomnożeniu skalara dla każdego wektora.

Produkt wektorowy

Mnożenie wektora lub iloczyn wektorowy dwóch wektorów A i B da w wyniku nowy wektor C i jest wyrażany za pomocą skrzyżowania wektorów:

Nowy wektor będzie miał swoje własne cechy. W ten sposób:

- Kierunek: ten nowy wektor będzie prostopadły do płaszczyzny, która jest określona przez oryginalne wektory.

- Kierunek: określany jest za pomocą reguły prawej ręki, gdzie wektor A obraca się w kierunku B, wskazując palcami kierunek obrotu, a kciukiem zaznacza kierunek wektora.

- Moduł: jest określany przez pomnożenie modułów wektorów AxB przez sinus najmniejszego kąta, jaki istnieje między tymi wektorami. Wyraża się:

Wartość kąta, który istnieje między dwoma wektorami, będzie zależeć od tego, czy są one równoległe czy prostopadłe. Można więc stwierdzić, co następuje:

- Jeśli wektory są równoległe i mają ten sam zwrot, sinus 0º = 0.

- Jeśli wektory są równoległe i mają przeciwne kierunki, sinus 180º = 0.

- Jeśli wektory są prostopadłe, sinus 90º = 1.

Kiedy iloczyn wektorowy jest wyrażony w postaci wektorów bazowych, otrzymujemy: