MODUŁ YOUNGA: RACHUNEK RÓŻNICZKOWY, ZASTOSOWANIA, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2026

Przez Younga i moduł sprężystości jest stałe dotyczące wytrzymałości na rozciąganie lub ściskanie z odpowiednim wzrostem lub spadkiem długości o obiekt w tych sił.

Siły zewnętrzne przyłożone do obiektów mogą nie tylko zmienić stan ich ruchu, ale mogą również zmienić ich kształt, a nawet złamać lub złamać.

Rysunek 1. Ruchy kota są pełne elastyczności i gracji. Źródło: Pixabay.

Moduł Younga służy do badania zmian zachodzących w materiale, gdy zewnętrzna siła rozciągająca lub ściskająca jest przyłożona. Jest bardzo przydatny w przedmiotach takich jak inżynieria czy architektura.

Model swoją nazwę zawdzięcza brytyjskiemu naukowcowi Thomasowi Youngowi (1773-1829), który przeprowadził badania materiałowe, proponując miarę sztywności różnych materiałów.

Jaki jest model Younga?

Model Younga jest miarą sztywności. W materiałach o małej sztywności (kolor czerwony) występuje większe odkształcenie pod wpływem obciążenia rozciągającego lub ściskającego. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Jak bardzo obiekt może ulec deformacji? Jest to coś, o czym inżynierowie często chcą wiedzieć. Odpowiedź będzie zależeć od właściwości materiału i jego wymiarów.

Na przykład możesz porównać dwa pręty wykonane z aluminium o różnych wymiarach. Każda ma inną powierzchnię przekroju i inną długość i obie są poddawane tej samej sile rozciągającej.

Oczekiwane zachowanie będzie następujące:

- Im większa grubość (przekrój) pręta, tym mniejsze rozciągnięcie.

- Im dłuższa długość początkowa, tym większy końcowy odcinek.

Ma to sens, bo przecież doświadczenie pokazuje, że próba odkształcenia gumki to nie to samo, co próba zrobienia tego stalowym prętem.

Parametr zwany modułem sprężystości materiału jest wskaźnikiem jego odpowiedzi sprężystej.

Jak to jest obliczane?

Będąc lekarzem, Young chciał poznać rolę elastyczności tętnic w prawidłowym krążeniu krwi. Ze swoich doświadczeń doszedł do następującego empirycznego związku:

Możliwe jest graficzne przedstawienie zachowania materiału pod działaniem naprężeń, jak pokazano na poniższym rysunku.

Rysunek 2. Wykres zależności naprężenia od odkształcenia dla materiału. Źródło: wykonane samodzielnie.

Od początku do punktu A.

W pierwszej sekcji, która biegnie od początku do punktu A, wykres jest linią prostą. Tam obowiązuje prawo Hooke'a:

F = kx

Gdzie F jest wielkością siły, która przywraca materiał do jego pierwotnego stanu, x jest odkształceniem, jakiego doświadcza, ak jest stałą zależną od obiektu poddanego naprężeniu.

Rozważane tutaj odkształcenia są niewielkie, a zachowanie jest doskonale elastyczne.

Od A do B

Od A do B materiał również zachowuje się elastycznie, ale związek między naprężeniem a odkształceniem nie jest już liniowy.

Od B do C.

Między punktami B i C materiał ulega trwałej deformacji, nie mogąc powrócić do swojego pierwotnego stanu.

Od C.

Jeśli materiał nadal się rozciąga od punktu C, ostatecznie pęka.

Matematycznie obserwacje Younga można podsumować następująco:

Stres ∝ Odkształcenie

Gdzie stała proporcjonalności jest właśnie modułem sprężystości materiału:

Naprężenie = moduł sprężystości x odkształcenie

Istnieje wiele sposobów deformowania materiałów. Trzy najczęstsze rodzaje naprężeń, którym poddawany jest obiekt, to:

- Napięcie lub rozciąganie.

- Kompresja.

- Cięcie lub ścinanie.

Podkreśleniem, któremu często poddawane są materiały, na przykład w budownictwie cywilnym lub częściach samochodowych, jest trakcja.

Formuły

Kiedy przedmiot o długości L jest rozciągany lub napinany, jest poddawany ciągnięciu, które powoduje zmianę jego długości. Schemat tej sytuacji przedstawiono na rysunku 3.

Wymaga to przyłożenia siły o wielkości F na jednostkę powierzchni do jego końców, aby spowodować rozciąganie w taki sposób, że jego nowa długość staje się L + DL.

Wysiłek włożony w odkształcenie obiektu będzie równy tej sile na jednostkę powierzchni, podczas gdy doświadczane odkształcenie wynosi ΔL / L.

Rysunek 3. Obiekt poddany trakcji lub rozciągnięciu, ulega wydłużeniu. Źródło: wykonane samodzielnie.

Oznaczając moduł Younga jako Y i zgodnie z powyższym:

Odpowiedź leży w fakcie, że odkształcenie wskazuje na względne odkształcenie w stosunku do pierwotnej długości. To nie to samo, co pręt o długości 1 m rozciąga się lub kurczy o 1 cm, ponieważ konstrukcja o długości 100 metrów jest jednakowo odkształcana o 1 cm.

W celu prawidłowego funkcjonowania części i konstrukcji obowiązuje tolerancja w zakresie dopuszczalnych względnych odkształceń.

Równanie do obliczenia odkształcenia

Jeśli powyższe równanie zostanie przeanalizowane w następujący sposób:

- Im większe pole przekroju, tym mniejsze odkształcenie.

- Im dłuższa długość, tym większe odkształcenie.

- Im wyższy moduł Younga, tym mniejsze odkształcenie.

Jednostki naprężenia odpowiadają niutonom / metr kwadratowy (N / m ² ). Są to także jednostki ciśnienia, które w systemie międzynarodowym noszą imię Pascal. Z drugiej strony odkształcenie ΔL / L jest bezwymiarowe, ponieważ jest ilorazem dwóch długości.

Jednostki systemu angielskiego to lb / in ² i są również używane bardzo często. Współczynnik konwersji, aby przejść od jednego do drugiego, wynosi: 14,7 funta / cal ² = 1,01325 x 10 ⁵ Pa

Prowadzi to do tego, że moduł Younga również ma jednostki ciśnienia. Wreszcie, powyższe równanie można wyrazić, aby obliczyć Y:

W materiałoznawstwie ich elastyczna odpowiedź na różne wysiłki jest ważna, aby wybrać najbardziej odpowiedni dla każdego zastosowania, niezależnie od tego, czy jest to produkcja skrzydła samolotu, czy łożyska samochodowego. Właściwości materiału, który ma być użyty, mają decydujące znaczenie dla oczekiwanej reakcji.

Aby wybrać najlepszy materiał, należy znać naprężenia, jakim będzie poddawany dany element; i konsekwentnie wybierz materiał, który ma właściwości najbardziej zgodne z projektem.

Na przykład skrzydło samolotu musi być mocne, lekkie i zdolne do zginania. Materiały użyte do budowy budynków muszą być w dużym stopniu odporne na ruchy sejsmiczne, ale muszą mieć też pewną elastyczność.

Inżynierowie projektujący skrzydła samolotów, a także ci, którzy wybierają materiały konstrukcyjne, muszą korzystać z wykresów naprężenie-odkształcenie, takich jak ten pokazany na rysunku 2.

Pomiary mające na celu określenie najbardziej odpowiednich właściwości sprężystych materiału można przeprowadzić w wyspecjalizowanych laboratoriach. W związku z tym istnieją znormalizowane testy, którym poddawane są próbki, którym poddawane są różne naprężenia, a następnie mierzone są wynikające z nich odkształcenia.

Przykłady

Jak już wspomniano powyżej, Y nie zależy od wielkości lub kształtu przedmiotu, ale od właściwości materiału.

Kolejna bardzo ważna uwaga: aby powyższe równanie miało zastosowanie, materiał musi być izotropowy, to znaczy jego właściwości muszą pozostać niezmienione przez cały czas.

Nie wszystkie materiały są izotropowe: są takie, których odpowiedź sprężysta zależy od określonych parametrów kierunkowych.

Odkształcenie analizowane w poprzednich segmentach jest tylko jednym z wielu, na jakie może być narażony materiał. Na przykład pod względem naprężenia ściskającego jest przeciwieństwem naprężenia rozciągającego.

Podane równania odnoszą się do obu przypadków, a wartości Y są prawie zawsze takie same (materiały izotropowe).

Godnym uwagi wyjątkiem jest beton lub cement, które są bardziej odporne na ściskanie niż przyczepność. Dlatego należy ją wzmocnić, gdy wymagana jest odporność na rozciąganie. Wskazanym do tego materiałem jest stal, która jest bardzo odporna na rozciąganie i rozciąganie.

Przykłady konstrukcji poddawanych naprężeniom obejmują kolumny i łuki budowlane, klasyczne elementy budowlane w wielu starożytnych i współczesnych cywilizacjach.

Rysunek 4. Pont Julien, rzymska konstrukcja z 3 pne w południowej Francji.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Drut stalowy o długości 2,0 m w instrumencie muzycznym ma promień 0,03 mm. Kiedy linka jest poddawana naprężeniu 90 N: o ile zmienia się jej długość? Dane: moduł Younga stali wynosi 200 x 10 ⁹ N / m ²

Rozwiązanie

Należy obliczyć pole przekroju poprzecznego A = πR ² = π. (0,03 x ^10-3 m) ² = 2,83 x ^10-9 m ²

Naprężenie to naprężenie na jednostkę powierzchni:

Ponieważ struna jest naprężona, oznacza to, że się wydłuża.

Nowa długość to L = L _o + DL, gdzie L _o to długość początkowa:

L = 2,32 m

Ćwiczenie 2

Kolumna marmur, którego powierzchnia przekroju poprzecznego wynosi 2,0 m ^2, obsługuje masę 25000 kg. Odnaleźć:

a) Wysiłek w kręgosłupie.

b) Szczep.

c) O ile krótsza jest kolumna, jeśli jej wysokość wynosi 12 m?

Rozwiązanie

a) Wysiłek kolumny wynika z ciężaru 25000 kg:

P = mg = 25000 kg x 9,8 m / s ² = 245 000 N

Dlatego wysiłek jest następujący:

b) Odkształcenie ΔL / L:

c) ΔL jest wariacją długości wyrażoną przez:

ΔL = 2,45 x ^10-6 x 12 m = 2,94 x ^10-5 m = 0,0294 mm.

Nie oczekuje się, że marmurowa kolumna znacznie się skurczy. Należy zauważyć, że chociaż moduł Younga jest niższy w marmurze niż w stali, a kolumna również wytrzymuje znacznie większą siłę, jej długość prawie się nie zmienia.

Z drugiej strony, w przypadku liny z poprzedniego przykładu zmienność jest znacznie bardziej odczuwalna, chociaż stal ma znacznie wyższy moduł Younga.

Jego duża powierzchnia przekroju interweniuje w kolumnę, dzięki czemu jest znacznie mniej odkształcalna.

O Thomasie Youngu

Portret Thomasa Younga z 1822 roku. Thomas Lawrence / domena publiczna

Nazwa modułu sprężystości pochodzi od nazwiska Thomasa Younga (1773-1829), wszechstronnego brytyjskiego naukowca, który wniósł wielki wkład w naukę w wielu dziedzinach.

Jako fizyk Young nie tylko badał falową naturę światła, ujawnioną w słynnym eksperymencie z podwójną szczeliną, ale był także lekarzem, lingwistą, a nawet pomógł rozszyfrować niektóre egipskie hieroglify na słynnym kamieniu z Rosetty.

Był członkiem Towarzystwa Królewskiego, Królewskiej Szwedzkiej Akademii Nauk, Amerykańskiej Akademii Umiejętności czy Francuskiej Akademii Nauk, wśród innych szlachetnych instytucji naukowych.

Należy jednak zauważyć, że koncepcja modelu została wcześniej opracowana przez Leonhara Eulera (1707-1873), a naukowcy tacy jak Giordano Riccati (1709-1790) przeprowadzili już eksperyment, który pozwoliłby zastosować model Younga w praktyce. .

Bibliografia

1. Bauer, W. 2011. Fizyka dla inżynierii i nauki. Tom 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Fizyka: Zasady z zastosowaniami. Wydanie szóste. Prentice Hall. 238–249.