METODA EULERA: DO CZEGO SŁUŻY, PROCEDURA I ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Metoda Eulera jest najbardziej podstawową i prostą procedurą służącą do znajdowania rozwiązań numerycznych zbliżonych do zwykłego równania różniczkowego pierwszego rzędu, pod warunkiem, że znany jest warunek początkowy.

Zwykłe równanie różniczkowe (ODE) to równanie, które wiąże nieznaną funkcję pojedynczej zmiennej niezależnej z jej pochodnymi.

Kolejne przybliżenia metodą Eulera. Źródło: Oleg Alexandrov

Jeśli największa pochodna, która pojawia się w równaniu, jest stopnia pierwszego, to jest to zwykłe równanie różniczkowe pierwszego stopnia.

Najbardziej ogólny sposób zapisania równania pierwszego stopnia to:

x = x ₀

y = y ₀

Jaka jest metoda Eulera?

Ideą metody Eulera jest znalezienie numerycznego rozwiązania równania różniczkowego w przedziale między X ₀ a X _f .

Po pierwsze, przedział jest dyskretyzowany w n + 1 punktów:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Które otrzymujemy w ten sposób:
x _i = x ₀ + ih

Gdzie h jest szerokością lub krokiem podprzedziałów:

Przy warunku początkowym można również poznać pochodną na początku:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Ta pochodna przedstawia nachylenie stycznej do krzywej funkcji y (x) dokładnie w punkcie:

Ao = (x _o , y _o )

Następnie przybliżona prognoza wartości funkcji y (x) jest wykonywana w następującym punkcie:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Uzyskano wówczas kolejny przybliżony punkt rozwiązania, który odpowiadałby:

A ₁ = (x ₁ , y ₁ )

Procedura jest powtarzana w celu uzyskania kolejnych punktów

A ₂ , A ₃ …, x _n

Na rysunku pokazanym na początku niebieska krzywa przedstawia dokładne rozwiązanie równania różniczkowego, a czerwona przedstawia kolejne przybliżone punkty uzyskane w procedurze Eulera.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

I ) Niech równanie różniczkowe będzie:

Przy warunku początkowym x = a = 0; i _a = 1

Korzystając z metody Eulera, uzyskaj przybliżone rozwiązanie y na współrzędnej X = b = 0,5, dzieląc przedział na n = 5 części.

Rozwiązanie

Wyniki liczbowe podsumowano w następujący sposób:

Z którego wynika, że ​​rozwiązanie Y dla wartości 0,5 wynosi 1,4851.

Uwaga: do wykonania obliczeń wykorzystano darmowy program Smath Studio.

Ćwiczenie 2

II ) Kontynuując równanie różniczkowe z ćwiczenia I), znajdź dokładne rozwiązanie i porównaj je z wynikiem otrzymanym metodą Eulera. Znajdź błąd lub różnicę między dokładnym a przybliżonym wynikiem.

Rozwiązanie

Dokładne rozwiązanie nie jest trudne do znalezienia. Pochodna funkcji sin (x) jest znana jako funkcja cos (x). Dlatego rozwiązanie y (x) będzie:

y (x) = sin x + C

Aby warunek początkowy został spełniony i (0) = 1, stała C musi być równa 1. Dokładny wynik jest następnie porównywany z przybliżonym:

Stwierdzono, że w obliczonym przedziale przybliżenie ma trzy cyfry znaczące precyzji.

Ćwiczenie 3

III ) Rozważmy równanie różniczkowe i jego warunki początkowe podane poniżej:

y '(x) = - y ²

Przy warunku początkowym x ₀ = 0; i ₀ = 1

Użyj metody Eulera, aby znaleźć przybliżone wartości rozwiązania y (x) w przedziale x =. Użyj kroku h = 0,1.

Rozwiązanie

Metoda Eulera jest bardzo odpowiednia do stosowania z arkuszem kalkulacyjnym. W tym przypadku użyjemy arkusza kalkulacyjnego geogebra, darmowego programu o otwartym kodzie źródłowym.

Arkusz kalkulacyjny na rysunku zawiera trzy kolumny (A, B, C) pierwsza to zmienna x, druga kolumna to zmienna y, a trzecia to pochodna y '.

Wiersz 2 zawiera początkowe wartości X, Y, Y '.

Krok wartości 0,1 został umieszczony w komórce pozycji bezwzględnej ($ D $ 4).

Początkowa wartość y0 znajduje się w komórce B2, a y1 w komórce B3. Aby obliczyć y _1, stosuje się wzór:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Ta formuła arkusza kalkulacyjnego miałaby postać Numer B3: = B2 + $ D 4 $ * C3.

Podobnie y2 znajdowałoby się w komórce B4, a jego formuła została przedstawiona na poniższym rysunku:

Rysunek przedstawia również wykres dokładnego rozwiązania oraz punkty A, B,…, P przybliżonego rozwiązania metodą Eulera.

Dynamika Newtona i metoda Eulera

Dynamikę klasyczną opracował Izaak Newton (1643-1727). Pierwotną motywacją Leonarda Eulera (1707-1783) do rozwinięcia swojej metody było właśnie rozwiązanie równania drugiego prawa Newtona w różnych sytuacjach fizycznych.

Drugie prawo Newtona jest zwykle wyrażane jako równanie różniczkowe drugiego stopnia:

Gdzie x oznacza położenie obiektu w czasie t. Wspomniany obiekt ma masę mi jest poddawany działaniu siły F. Funkcja f jest powiązana z siłą i masą w następujący sposób:

Aby zastosować metodę Eulera, wymagane są początkowe wartości czasu t, prędkości v i położenia x.

Poniższa tabela wyjaśnia, w jaki sposób wychodząc od wartości początkowych t1, v1, x1 można uzyskać przybliżenie prędkości v2 i położenia x2 w chwili t2 = t1 + Δt, gdzie Δt oznacza niewielki wzrost i odpowiada krokowi w metodzie Euler.

Ćwiczenie 4

IV ) Jednym z podstawowych problemów mechaniki jest blok masy M przywiązany do sprężyny (lub sprężyny) o stałej sprężystości K.

Drugie prawo Newtona dla tego problemu wyglądałoby następująco:

W tym przykładzie dla uproszczenia weźmiemy M = 1 i K = 1. Znajdź przybliżone rozwiązania pozycji x i prędkości v metodą Eulera na przedziale czasu, dzieląc przedział na 12 części.

Przyjmij 0 jako moment początkowy, prędkość początkową 0 i pozycję początkową 1.

Rozwiązanie

Wyniki liczbowe przedstawiono w poniższej tabeli:

Wyświetlane są również wykresy pozycji i prędkości w zakresie od 0 do 1,44.

Proponowane ćwiczenia do domu

Ćwiczenie 1

Użyj arkusza kalkulacyjnego, aby określić przybliżone rozwiązanie, używając metody Eulera dla równania różniczkowego:

y '= - Exp (-y) z warunkami początkowymi x = 0, y = -1 w przedziale x =

Zacznij od kroku 0,1. Wykreśl wynik.

Ćwiczenie 2

Korzystając z arkusza kalkulacyjnego, znajdź numeryczne rozwiązania następującego równania kwadratowego, w którym y jest funkcją niezależnej zmiennej t.

y '' = - 1 / y² przy warunku początkowym t = 0; i (0) = 0,5; y '(0) = 0

Znajdź rozwiązanie w przedziale z krokiem 0,05.

Wykreśl wynik: y vs t; y 'vs t

Bibliografia

1. Metoda Eurlera Zaczerpnięte z wikipedia.org
2. Euler solver. Zaczerpnięte z en.smath.com