MACIERZ ODWROTNA: OBLICZENIA I ĆWICZENIE ROZWIĄZANE - MATEMATYKA - 2025

Macierz odwrotna danej matrycy jest matryca, że pomnożony przez oryginału daje macierz identyczności. Macierz odwrotna jest przydatna do rozwiązywania układów równań liniowych, stąd tak ważna jest umiejętność jej obliczania.

Macierze są bardzo przydatne w fizyce, inżynierii i matematyce, ponieważ są kompaktowym narzędziem do rozwiązywania złożonych problemów. Użyteczność macierzy zwiększa się, gdy są one odwracalne i znana jest również ich odwrotność.

Rysunek 1. Przedstawiono ogólną macierz 2 × 2 i jej macierz odwrotną. (Przygotowane przez Ricardo Péreza)

W dziedzinach przetwarzania graficznego, Big Data, Data Mining, Machine Learning i innych, wydajne i szybkie algorytmy są wykorzystywane do oceny macierzy odwrotnej macierzy nxn z bardzo dużym n, rzędu tysięcy lub milionów.

Aby zilustrować użycie macierzy odwrotnej w obsłudze układu równań liniowych, zaczniemy od najprostszego ze wszystkich: macierzy 1 × 1.

Najprostszy przypadek: rozważane jest równanie liniowe jednej zmiennej: 2 x = 10.

Chodzi o to, aby znaleźć wartość x, ale zostanie wykonana „macierz”.

Macierz M = (2), która mnoży wektor (x), to macierz 1 × 1, która daje wektor (10):

M (x) = (10)

Odwrotność macierzy M jest oznaczona przez M ^-1 .

Ogólny sposób zapisu tego „układu liniowego” jest następujący:

MX = B, gdzie X to wektor (x), a B to wektor (10).

Z definicji macierz odwrotna to ta, która pomnożona przez pierwotną macierz daje macierz tożsamości I:

M ^-1 M = I

W rozważanym przypadku macierz M ^-1 jest macierzą (½), to znaczy M ^-1 = (½) ponieważ M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Aby znaleźć nieznany wektor X = (x), w proponowanym równaniu oba elementy są mnożone przez macierz odwrotną:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Osiągnięto równość dwóch wektorów, które są równe tylko wtedy, gdy odpowiadające im elementy są równe, to znaczy x = 5.

Obliczanie odwrotności macierzy

Motywacją do obliczenia macierzy odwrotnej jest znalezienie uniwersalnej metody rozwiązania układów liniowych, takich jak następujący układ 2 × 2:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Podążając za krokami przypadku 1 × 1, zbadanego w poprzedniej sekcji, zapisujemy układ równań w postaci macierzowej:

Rysunek 2. Układ liniowy w postaci macierzowej.

Zauważ, że ten system jest zapisany w zwartej notacji wektorowej w następujący sposób:

MX = B

gdzie

Następnym krokiem jest znalezienie odwrotności M.

Metoda 1: Stosowanie eliminacji Gaussa

Zastosowana zostanie metoda eliminacji Gaussa. Polegająca na wykonywaniu elementarnych operacji na wierszach macierzy, są to:

- Pomnóż wiersz przez liczbę niezerową.

- Dodaj lub odejmij kolejny wiersz z wiersza lub wielokrotność innego wiersza.

- Zamień rzędy.

Celem tych operacji jest przekształcenie oryginalnej macierzy w macierz tożsamości.

Gdy to jest zrobione, w macierzy M dokładnie te same operacje są stosowane do macierzy tożsamości. Gdy po kilku operacjach na wierszach M jest przekształcane do macierzy jednostkowej, to ta, która była pierwotnie jednostką, stanie się macierzą odwrotną M, czyli M ^-1 .

1- Proces zaczynamy od napisania macierzy M, a obok niej macierzy jednostkowej:

2- Dodajemy dwa wiersze i wynik umieszczamy w drugim wierszu, w ten sposób otrzymujemy zero w pierwszym elemencie drugiego rzędu:

3- Mnożymy drugi wiersz przez -1, aby uzyskać 0 i 1 w drugim rzędzie:

4- Pierwszy wiersz mnoży się przez ½:

5- Drugi i pierwszy są dodawane, a wynik jest umieszczany w pierwszym rzędzie:

6- Teraz, aby zakończyć proces, pierwszy wiersz jest mnożony przez 2, aby otrzymać macierz identyczności w pierwszym wierszu i macierz odwrotną oryginalnej macierzy M w drugim:

To jest do powiedzenia:

Rozwiązanie systemowe

Po uzyskaniu macierzy odwrotnej układ równań rozwiązuje się, stosując macierz odwrotną do obu elementów zwartego równania wektorowego:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Który wyraźnie wygląda następująco:

Następnie przeprowadza się mnożenie macierzy w celu uzyskania wektora X:

Metoda 2: użycie dołączonej matrycy

W tej drugiej metodzie, macierz odwrotna jest obliczana z matrycy sprzężonego oryginalnej macierzy A .

Załóżmy, że macierz A jest dana przez:

gdzie _{i, j} jest element w rzędzie i oraz j kolumny macierzy A .

Sprzężenie macierzy A będzie nazywane Adj (A), a jego elementy to:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

gdzie Ai, j jest komplementarna dolna matryca otrzymać eliminując wierszu ii kolumnowej j oryginalnej macierzy A . Słupki ¦ ¦ wskazują, że wyznacznik jest obliczany, czyli ¦Ai, j¦ jest wyznacznikiem drugorzędnej macierzy komplementarnej.

Formuła macierzy odwrotnej

Wzór na znalezienie macierzy odwrotnej zaczynając od sąsiedniej macierzy oryginalnej macierzy jest następujący:

Jest odwrotnością macierz A , A ^-1 jest transpozycją z adjoint z A dzieli się przez determinanty A .

Transpozycja ^T macierzy A otrzymuje się przez wymianę rzędy kolumn, to znaczy pierwszy rząd się w pierwszej kolumnie i w drugim rzędzie się w drugiej kolumnie i tak dalej, aż do n rzędów oryginalnej matrycy zakończone.

Ćwiczenie rozwiązane

Niech macierz A będzie następująca:

Każdy element macierzy sprzężonej A jest obliczany: Adj (A)

W rezultacie macierz sprzężona A, Adj (A) jest następująca:

Następnie oblicza się wyznacznik macierzy A, det (A):

Ostatecznie otrzymujemy odwrotną macierz A:

Bibliografia

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Przekaż publikację.
2. Awol Assen (2013) A Study on the Computation of the Determinants of a 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Wprowadzenie do algebry liniowej. ESIC Editorial.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30-sekundowa matematyka: 50 teorii matematycznych, które najbardziej poszerzają umysł. Ivy Press Limited.
7. Matryca. Wydawnictwo akademickie Lap Lambert.