MIARY TENDENCJI CENTRALNEJ DLA DANYCH ZBIORCZYCH (PRZYKŁADY) - MATEMATYKA - 2026

Te miary tendencji centralnej zgrupowanych danych są wykorzystywane w statystykach do opisania pewnych zachowań grupy dostarczanych danych, takich jak to, co cenią oni są blisko, co jest średnią z danych zebranych, między innymi.

Przy pobieraniu dużej ilości danych warto je pogrupować, aby mieć lepszą ich kolejność, a tym samym móc obliczyć pewne miary tendencji centralnej.

Do najpowszechniej stosowanych miar tendencji centralnej należą średnia arytmetyczna, mediana i tryb. Te liczby mówią o pewnych cechach danych zebranych w pewnym eksperymencie.

Aby skorzystać z tych miar, musisz najpierw wiedzieć, jak grupować zbiór danych.

Dane zgrupowane

Aby pogrupować dane, należy najpierw obliczyć zakres danych, który uzyskuje się odejmując najwyższą wartość od najniższej wartości danych.

Następnie wybierana jest liczba „k”, czyli liczba klas, w których chcemy pogrupować dane.

Zakres jest dzielony przez „k”, aby otrzymać amplitudę grup, które mają być grupowane. Ta liczba to C = R / k.

Na koniec rozpoczyna się grupowanie, dla którego wybierana jest liczba mniejsza niż najniższa wartość uzyskanych danych.

Liczba ta będzie dolną granicą pierwszej klasy. Do tego dodaje się C. Uzyskana wartość będzie górną granicą pierwszej klasy.

Następnie do tej wartości dodaje się C i uzyskuje się górną granicę drugiej klasy. W ten sposób przystępujemy do uzyskania górnej granicy ostatniej klasy.

Po pogrupowaniu danych można obliczyć średnią, medianę i modę.

Aby zilustrować sposób obliczania średniej arytmetycznej, mediany i postaci, przejdziemy do przykładu.

Przykład

Dlatego podczas grupowania danych otrzymamy tabelę podobną do poniższej:

Trzy główne miary tendencji centralnej

Teraz przejdziemy do obliczenia średniej arytmetycznej, mediany i trybu. Powyższy przykład posłuży do zilustrowania tej procedury.

1- Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna polega na pomnożeniu każdej częstotliwości przez średnią z przedziału. Następnie wszystkie te wyniki są dodawane, a na końcu dzielone przez łączne dane.

Korzystając z poprzedniego przykładu, można by otrzymać, że średnia arytmetyczna jest równa:

(4 * 2 + 4 * 4 + 6 * 6 + 4 * 8) / 18 = (8 + 16 + 36 + 32) / 18 = 5,11111

Oznacza to, że średnia wartość danych w tabeli wynosi 5,11111.

2- Średni

Aby obliczyć medianę zbioru danych, najpierw uporządkuj wszystkie dane od najmniejszego do największego. Mogą wystąpić dwa przypadki:

- Jeśli liczba danych jest nieparzysta, medianą są dane znajdujące się w samym środku.

- Jeśli liczba danych jest parzysta, mediana jest średnią z dwóch danych znajdujących się w środku.

Jeśli chodzi o dane zgrupowane, medianę oblicza się w następujący sposób:

- Oblicza się N / 2, gdzie N to dane ogółem.

- Pierwszy przedział, w którym skumulowana częstotliwość (suma częstotliwości) jest większy niż N / 2, jest przeszukiwany i wybierana jest dolna granica tego przedziału, zwana Li.

Medianę określa następujący wzór:

Me = Li + (Ls-Li) * (N / 2 - Skumulowana częstotliwość przed Li) / częstotliwość [Li, Ls)

Ls jest górną granicą wspomnianego powyżej przedziału.

Jeśli używana jest poprzednia tabela danych, N / 2 = 18/2 = 9. Skumulowane częstotliwości wynoszą 4, 8, 14 i 18 (po jednej na każdy wiersz tabeli).

Dlatego należy wybrać trzeci przedział, ponieważ skumulowana częstotliwość jest większa niż N / 2 = 9.

Więc Li = 5 i Ls = 7. Stosując powyższą formułę należy:

Me = 5 + (7-5) * (9-8) / 6 = 5 + 2 * 1/6 = 5 + 1/3 = 16/3 ≈ 5,3333.

3- Moda

Tryb to wartość o najwyższej częstotliwości spośród wszystkich zgrupowanych danych; to znaczy jest to wartość, która jest powtarzana najczęściej w początkowym zbiorze danych.

W przypadku bardzo dużej ilości danych do obliczenia trybu zgrupowanych danych używana jest następująca formuła:

Mo = Li + (Ls-Li) * (częstotliwość Li - Częstotliwość L (i-1)) / ((częstotliwość Li - Częstotliwość L (i-1)) + (częstotliwość Li - Częstotliwość L ( i + 1)))

Przedział [Li, Ls) to przedział, w którym znajduje się najwyższa częstotliwość. W przykładzie wykonanym w tym artykule tryb jest określony przez:

Mo = 5 + (7-5) * (6-4) / ((6-4) + (6-4)) = 5 + 2 * 2/4 = 5 + 1 = 6.

Inna formuła używana do uzyskania przybliżonej wartości trybu jest następująca:

Mo = Li + (Ls-Li) * (częstotliwość L (i + 1)) / (częstotliwość L (i-1) + częstotliwość L (i + 1)).

Przy tej formule konta wyglądają następująco:

Mo = 5 + (7-5) * 4 / (4 + 4) = 5 + 2 * 4/8 = 5 + 1 = 6.

Bibliografia

1. Bellhouse, DR (2011). Abraham De Moivre: Wprowadzenie klasycznego prawdopodobieństwa i jego zastosowań. CRC Press.
2. Cifuentes, JF (2002). Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa. Narodowy Uniwersytet Kolumbii.
3. Daston, L. (1995). Klasyczne prawdopodobieństwo w oświeceniu. Princeton University Press.
4. Larson, HJ (1978). Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i wnioskowania statystycznego. Redakcja Limusa.
5. Martel, PJ i Vegas, FJ (1996). Prawdopodobieństwo i statystyka matematyczna: zastosowania w praktyce klinicznej i zarządzaniu zdrowiem. Wydania Díaz de Santos.
6. Vázquez, AL i Ortiz, FJ (2005). Statystyczne metody pomiaru, opisu i kontroli zmienności. Ed. University of Cantabria.
7. Vázquez, SG (2009). Podręcznik matematyki dotyczący dostępu do uniwersytetu. Od redakcji Centro de Estudios Ramon Areces SA.